王雅靜，黃 鈺，申 晉，徐亞南，張雯雯，毛 帥

(山東理工大學 電氣與電子工程學院，山東 淄博 255000)

1 引 言

與單角度測量相比，多角度動態(tài)光散射顆粒測量技術通過對散射樣品進行多角度測量，避免了測量未知樣品時散射角度選取不當造成的偏差，進而獲得更加準確的粒度分布[1-3]。然而，角度數(shù)量增多帶來的優(yōu)勢也受到諸多因素的制約，包括角度數(shù)量[4-5]、角度組合方式[6]以及不同散射角的權重計算[7]等。其中，角度權重的計算是動態(tài)光散射由單一散射角擴展至多個散射角獲取散射光動態(tài)信息的關鍵環(huán)節(jié)[1-2]，角度權重的求取會受到角度誤差和信號噪聲等因素的影響[5]。信號噪聲作為影響動態(tài)光散射測量準確性的重要因素，在數(shù)據(jù)反演過程中直接影響粒度分布，這在單角度測量中有較多的分析和研究[8-11]，而在角度加權條件下則未被關注。隨著散射角數(shù)量的增加，信號噪聲也隨之增加，噪聲在角度加權條件下對測量結果的影響，在很大程度上決定了多角度動態(tài)光散角度加權方式在實際測量中的適用性。

角度權重可以通過理論計算得到，即根據(jù)Mie 散射理論計算相應散射角的光強，得到對應的權重系數(shù)；也可通過實測數(shù)據(jù)，包括測量對應散射角的靜態(tài)散射光強或利用各散射角的光強自相關函數(shù)(基線)，計算相應的權重系數(shù)。一般認為，理論方法求取角度權重系數(shù)時，角度權重系數(shù)不受自相關數(shù)據(jù)中信號噪聲的影響，而實測法求取角度權重系數(shù)時，自相關數(shù)據(jù)中含有的噪聲會通過角度權重的計算影響顆粒粒度反演結果。然而，在近年來的實際應用中，多采用實測方法而非理論方法求取角度權重。這其中既有角度誤差影響的原因[12]，也與實測方法逐步改進有關[13]，但從信號噪聲的視角，兩種加權方法對噪聲的抑制作用仍不清晰。本文通過光強均值法[1]和迭代遞歸法[14]對測量信號噪聲影響的抑制作用進行研究，分析和評估噪聲環(huán)境下角度加權方法對粒度反演的影響，進而為不同測量環(huán)境下，特別是為多角度動態(tài)光散射在線測量時角度加權法的選擇提供依據(jù)。

2 不同散射角對粒度信息的貢獻差異表征與角度加權機理

r=1,2,…,R，j=1,2,…,Ns，

(1)

i=1,2,…,N，j=1,2,…,Ns，

(2)

式中：衰減線寬Γ=DTq2，顆粒平移擴散系數(shù)DT=KBT/3πηD，散射矢量q=4πn[sin2(θr/2)]/λ，n，λ分別為懸浮介質的折射率、真空中光的波長；hθr(Di)為顆粒粒度光強分布，表示散射角θr處粒度在[Di,Di+1]的所有顆粒的散射光強分數(shù)。歸一化的散射光強分數(shù)為：

(3)

散射光強分數(shù)為:

hθr(Di)=kθrCI,θr(Di)f(Di),

(4)

其中：kθr為角度權重系數(shù)；CI,θr(Dr)為Mie散射

光強分數(shù)，表示粒度為Di的顆粒在角θr處的散射光強分數(shù)；f(Di)代表粒度為Di的顆粒在角θr對散射光的貢獻。

將式(4)帶入式(2)得到:

(5)

式(5)的矩陣形式為:

(6)

則多角度電場自相關函數(shù)的矩陣形式為:

(7)

式中：g=[gθ1;gθ2;...;gθm]，為多角度電場自相關數(shù)據(jù)；A=[kθ1Aθ1;kθ2Aθ2; ...;kθmAθm]，為相應的核矩陣；f為待求粒度分布。

在散射光場中，散射強度分布與散射顆粒粒度分布滿足:

X(θr,Di)=C(θr,Di)f(Di),

(8)

式中Mie散射光強分數(shù)CI,θr(Di)作為換算因子，可由Mie理論計算得到，其分布如圖1(a)所示。

圖1 散射角對不同粒度顆粒的影響

散射光強分布不僅受顆粒大小影響，還與散射角度有關。在散射顆粒大于350 nm時，Mie散射光強隨散射角呈振蕩變化(圖1(b))，同一顆粒體系的散射光在不同散射角存在很大差異，這正是多角度測量大于350 nm顆粒時，能夠兼顧不同角度散射光強的貢獻，得到更為準確的測量結果的原因。多角度測量，需要確定散射角θr處對粒度分布信息貢獻的差異，這一差異是通過角度權重系數(shù)進行表征的。由式(3)和式(4)得到理想角度權重系數(shù):

(9)

其中f(Di)是未知的，因此不能用于求取角度權重系數(shù)。但從式(9)可以看出，權重系數(shù)kθr與顆粒在散射角度θr處散射光強均值的倒數(shù)〈Iθt〉-1具有比例關系，定義無量綱的角度權重系數(shù)比為散射角θr處角度權重系數(shù)與散射角θ1處的角度權重系數(shù)的比，根據(jù)兩者關系即可獲得角度權重系數(shù)。式(7)可寫成:

(10)

2 不同噪聲水平下兩種加權方法對反演結果的影響分析

為定量分析信號噪聲通過加權對測量結果的影響，采用半對數(shù)函數(shù)及其組合模擬3組單峰S1(200 nm)，S2(450 nm)，S3(600 nm)和1組雙峰顆粒S4(500/800 nm)的數(shù)據(jù)，計算在6個角度(30°，50°，70°，90°，110°和130°)的光強自相關數(shù)據(jù)，同時采用光強均值法及迭代遞歸法進行角度加權，利用截斷奇異值方法對自相關函數(shù)進行反演。半對數(shù)函數(shù)表達式為:

(11)

式中：f(Di)是顆粒粒度分布，a為分布系數(shù)，D1為峰值處顆粒粒度，σ1為標準偏差。通過調整半對數(shù)函數(shù)參數(shù)可以獲得相應的粒度分布。4組顆粒體系的參數(shù)如表1所示。模擬實驗條件為：KB=1.380 7×10-23J/K，分散介質折射率n=1.33，入射光在真空中的波長λ=632.8 nm，絕對溫度為T=298.15 K，介質黏度系數(shù)η=0.89×10-9g/(nm·s)。

信號噪聲添加形式為：

(12)

表1 4組顆粒的模擬參數(shù)

為定量評價顆粒粒度的反演效果，引入峰值粒度誤差E、峰值P，峰值比R和分布誤差V4個性能指標。對于單峰與雙峰分布顆粒系分別采用E，P，V與E，R，V描述反演結果與真實分布的接近程度。峰值粒度誤差越??；峰值與模擬峰值越接近；模擬分布的峰值比與反演分布的峰值比越接近；分布誤差越小，表示反演的顆粒粒度分布與實際粒度分布越接近。

R=P1:P2:…Pn

(13)

式中：Dsim和Dinv分別表示模擬分布和反演分布中峰值粒度，P表示峰值，fsim和finv分別表示模擬分布和反演分布。

圖2～圖5分別為4組顆粒體系的反演結果。表2～表5為4組顆粒體系反演的性能參數(shù)。其中，“Sim PSD”代表模擬粒度分布，“Wa”代表光強均值角度加權方法，“Wir”為迭代遞歸角度加權方法。

圖2 200 nm單峰顆粒在不同噪聲下光強均值和迭代遞歸法的反演結果Fig.2 PSDs of 200 nm unimodal particle using Wa and Wir methods at different noise levels

從圖2和表2可以看出，對于200 nm單峰小顆粒體系，無信號噪聲時，采用兩種方法進行角度加權，反演得到的峰值誤差結果無顯著差異，但迭代遞歸方法加權對小顆粒粒度分布略有展寬，表現(xiàn)出較大的分布誤差。隨著噪聲的增加，迭代遞歸法方法加權所得反演結果的性能指標無顯著變化，而光強均值法進行角度加權所得結果的峰值誤差明顯增大，分布誤差也隨之增大。

表2 200 nm顆粒在不同噪聲水平下光強均值法和迭代遞歸法的性能參數(shù)

圖3 450 nm單峰顆粒在不同噪聲下光強均值和迭代遞歸法的反演結果Fig.3 PSDs of 450 nm unimodal particle using Wa and Wir methods at different noise levels

對于450 nm單峰中等粒徑顆粒(圖3和表3)，在無信號噪聲時，采用兩種方法進行角度加權，反演得到的性能參數(shù)無顯著差異，光強均值法進行角度加權，所得峰值誤差略有增大。隨著噪聲的增加，光強均值法所得峰值誤差呈愈加明顯的趨勢，分布誤差也隨之增大。迭代遞歸方法加權所得的峰值誤差和分布誤差隨噪聲增加也有增大的趨勢，但增幅明顯小于光強均值法。

表3 450 nm顆粒在不同噪聲水平下光強均值法和迭代遞歸法的性能參數(shù)

圖4 600 nm單峰顆粒在不同噪聲下光強均值和迭代遞歸法的反演結果Fig.4 PSDs of 600 nm unimodal particles using Wa and Wir methods at different noise levels

表4 600nm顆粒在不同噪聲水平下光強均值法和迭代遞歸法的性能參數(shù)

Tab.4 Performance parameters of 600 nm unimodal particles using Wa and Wir methods at different noise levels

Noise levelMethodPeak positon/nmEPVδSim PSD60000.0400Wa6050.0080.0280.275 7Wir5970.0050.0360.113 50.001Wa5930.0100.0210.465 8Wir5950.0080.0310.266 40.01Wa5940.0100.0230.440 5Wir5900.0160.0290.369 3

對于600 nm單峰大顆粒(圖4和表4)，表現(xiàn)出與450 nm單峰中等粒徑顆粒相同的結果，即在無信號噪聲時，采用兩種角度加權方法反演得到的性能參數(shù)無顯著差異，光強均值法加權所得峰值誤差略大。隨著噪聲的增加，光強均值法所得峰值誤差和分布誤差的增大更為顯著。

圖5 500/800 nm雙峰顆粒在不同噪聲下光強均值和迭代遞歸法的反演結果Fig.5 PSDs of 500/800 nm bimodal particles using Wa and Wir at different noise levels

表5 500/800nm顆粒在不同噪聲水平下光強均值法和迭代遞歸法的性能參數(shù)

Tab.5 Performance parameters of 500/800 nm bimodal particles using Wa and Wir methods at different noise levels

Noise levelMethodPeak positon/nmERVδSim PSD500/80001∶2.65800Wa504/7920.008/0.011∶1.8280.251 7Wir512/8020.024/0.0251∶2.1330.421 10.001Wa480/8080.04/0.011∶1.3200.461 3Wir509/7920.018/0.011∶1.4360.353 50.01Wa486/8080.28/0.011∶1.7690.505 2Wir504/7920.08/0.011∶0.9860.460 8

對于500/800 nm雙峰分布(圖5和表5)，在無信號噪聲時，兩種角度加權方法得到的性能參數(shù)無顯著差異，但迭代遞歸方法加權表現(xiàn)出較大的分布誤差。但隨著噪聲增加，光強均值法進行角度加權所得結果的分布誤差越來越大，迭代遞歸法方法加權所得結果則趨于減小。

上述結果可以看出，在無噪聲情況下，兩種角度加權方法得到的反演結果沒有顯著差異，作為理論方法的光強均值法加權，由于是根據(jù)Mie 散射理論直接計算所有散射角的權重，避免了權重隨機誤差導致的偏差。而迭代遞歸方法角度加權系通過第一個參考角度逐個計算各角度的權重，其權重計算依賴第一個參考角選擇和后續(xù)角度的修正。對于小顆粒，由于不同角度的散射光強沒有顯著變化(圖2)，導致后續(xù)角度沒有修正作用，這一情況隨著顆粒的增大有所改善。

隨著信號噪聲的增加，兩種角度加權方法得到的反演結果都呈現(xiàn)變差的趨勢，主要表現(xiàn)在峰值和分布誤差變大。但是，迭代遞歸方法角度加權的反演誤差顯著低于光強均值法。產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因在于其權重計算方式：迭代遞歸方法是從參考角開始逐次增加角度反演粒度分布，每次反演結果和上一次結果進行比較后計算各角度的權重，每次的權重計算都是對上一次計算結果的調整和更新，通過角度權重的調整抵消噪聲導致的粒度分布誤差，從而顯現(xiàn)出“去噪”性能。

3 實驗數(shù)據(jù)的反演分析

為了驗證模擬結論，對306/974 nm的標準聚苯乙烯乳膠顆粒組成的雙峰顆粒體系進行了測量。測量實驗條件為：He-Ne激光器，測量溫度298.15 K，分散介質為1 mmol/L NaCl配制的懸濁液，散射角分別為30°，50°，70°，90°，110°和130°。對獲得的動態(tài)光散射數(shù)據(jù)分別采用光強均值法和迭代遞歸法進行角度加權處理數(shù)據(jù)，并采用截斷奇異值反演算法進行反演獲得粒度分布，用L曲線法獲得正則參數(shù)，反演結果和性能參數(shù)分別如圖6和表6所示。

圖6 306/974 nm雙峰顆粒在光強均值法和迭代遞歸法的反演結果Fig.6 PSDs of 306/974 nm bimodal particles using Wa and Wir methods

表6 306/974nm雙峰顆粒在不同角度加權方法下的性能參數(shù)

Tab.6 Performance parameters of 306/974 nm bimodal particles at different angular weighting methods

MethodPeak positon/nmERWa254/10920.170/0.1210.484∶1Wir278/10680.092/0.0970.453∶1

從圖6和表6可以看出，對于306/974 nm雙峰顆粒體系，與采用光強均值法處理數(shù)據(jù)相比，采用迭代遞歸方法處理數(shù)據(jù)進行角度加權時，小顆粒峰值粒度誤差由0.170降到了0.092，大顆粒峰值粒度誤差由0.121降到了0.097，峰值高度比分別為0.484∶1和0.453∶1。

4 結 論

在多角度動態(tài)光散射顆粒測量中，信號噪聲對測量結果有著極大的影響，角度加權是左右噪聲對測量結果影響的一個重要因素。不同的角度加權方法對測量信號噪聲影響的抑制作用不同，通過光強均值及迭代遞歸角度加權方法研究測量信號噪聲影響的抑制作用。對于單峰小顆粒粒度分布，無信號噪聲時，采用光強均值法和迭代遞歸方法進行角度加權，反演得到的峰值誤差結果無顯著差異，但迭代遞歸方法加權對小顆粒粒度分布略有展寬。隨著噪聲的增加，迭代遞歸法加權所得反演結果的性能指標無顯著變化，而光強均值法進行角度加權所得結果的峰值誤差明顯增大，分布誤差也隨之增大。對于中、大顆粒，在無信號噪聲時，采用兩種方法進行角度加權，反演得到的性能參數(shù)無顯著差異，光強均值法進行角度加權，所得的峰值誤差略有增大。隨著噪聲的增加，光強均值法所得峰值誤差增加呈愈加明顯的趨勢，分布誤差也隨之增大。迭代遞歸方法加權所得的峰值誤差和分布誤差也隨噪聲增加趨于增大，但增幅明顯小于光強均值法。對于雙峰分布，迭代遞歸法角度加權反演的分布誤差隨著噪聲增加也呈現(xiàn)出小于光強均值法角度加權所得誤差的趨勢。該結果與常規(guī)認知不相吻合，其原因在于迭代遞歸法通過在各個散射角逐次反演和比較粒度分布，通過角度權重的“修正”抵消了噪聲導致的粒度分布誤差，從而顯現(xiàn)出抵御噪聲影響的“去噪”性能，而采用光強均值法計算角度權重，盡管權重計算采用無噪聲的理論數(shù)據(jù)，但它對由于角度增加引起的信號噪聲增加卻無抑制作用。因此，在噪聲較大的測量環(huán)境下，如現(xiàn)場測量等，宜采用迭代遞歸方法進行多角度測量的角度加權。