陳 寧，鄭杰基，范世珣，李華峰，范大鵬*

(1. 國防科技大學(xué) 智能科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410073;2.南京航空航天大學(xué) 航空學(xué)院，江蘇 南京 210016)

1 引 言

近年來，隨著超聲電機(jī)在空間機(jī)器人、生物醫(yī)學(xué)微操作設(shè)備等領(lǐng)域的應(yīng)用，其速度與位置控制精度的要求也越來越高[1-2]。而超聲電機(jī)將壓電陶瓷的微觀高頻振動轉(zhuǎn)化為輸出轉(zhuǎn)子的宏觀旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的過程中，非線性、多變量、強(qiáng)耦合的特性引起了系統(tǒng)模型的不確定性[3]，使電機(jī)呈現(xiàn)出復(fù)雜的動力學(xué)行為，難以獲得精確的模型。同時，由于μs級調(diào)控、μm級振動的特點(diǎn)，能否充分利用微觀特性使電機(jī)更精細(xì)地判斷與調(diào)整運(yùn)動狀態(tài)，成為最終速度位置控制性能優(yōu)劣的根本性問題。

在速度控制層面，重點(diǎn)是如何實現(xiàn)電機(jī)的速度平穩(wěn)性控制，人們主要采用速度閉環(huán)控制[4-5]和頻率跟蹤控制[6]兩種方式。傳統(tǒng)的速度閉環(huán)控制既從結(jié)構(gòu)上缺乏位置環(huán)的輔助作用，也忽略了超聲電機(jī)μs級快速定位的優(yōu)勢。而在頻率跟蹤控制上則涌現(xiàn)出以孤極電壓[7]、阻抗角[8-10]為反饋量的多種控制方式，但由于頻率跟蹤截取的多為定轉(zhuǎn)子摩擦傳力前的陶瓷機(jī)電信號，難以實現(xiàn)較好的控制效果。近年來，隨著控制理論的發(fā)展，學(xué)者提出了諸如模糊控制[11]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[12]、混沌控制[13]等超聲電機(jī)速度控制策略。雖然取得了一定成果，但是多數(shù)因模型集獲取困難及訓(xùn)練復(fù)雜等原因難以在工程上廣泛應(yīng)用[14-15]。從位置控制來看，主要難點(diǎn)在于高分辨率定位，這需要精確的開環(huán)或閉環(huán)步進(jìn)運(yùn)動，特別是開環(huán)步進(jìn)模式下的高分辨率運(yùn)動，對于緊湊空間的精密定位應(yīng)用是很有意義的。若想把握開環(huán)步進(jìn)運(yùn)動的規(guī)律，需要盡可能地細(xì)化其中的啟動關(guān)斷過程，尤其是當(dāng)周期數(shù)較小時(N≤10)，關(guān)斷過程的動態(tài)特性對步進(jìn)位移量的影響不能忽略[16]。因此，為了實現(xiàn)高分辨率的步進(jìn)運(yùn)動，有必要分析少周期數(shù)條件下關(guān)斷過程的規(guī)律，并提出行之有效的位置增量預(yù)測方法。

綜合上述分析，速度平穩(wěn)性控制與位置分辨率控制構(gòu)成了超聲電機(jī)控制性能提升的兩個核心問題。二者均要建立在對電機(jī)參數(shù)調(diào)控機(jī)理以及微觀狀態(tài)演變的建模分析上。因此，本文從連續(xù)運(yùn)動與步進(jìn)運(yùn)動兩種模型機(jī)理進(jìn)行研究，目的在于充分利用電機(jī)的自身特性，運(yùn)用工程上快速易行的方法實現(xiàn)控制目標(biāo)。在速度平穩(wěn)性控制上，提出并辨識了多輸入多輸出速度模型，設(shè)計了雙環(huán)復(fù)合的速度控制策略；在位置分辨率控制上，開展了電機(jī)步進(jìn)運(yùn)動特性尤其是關(guān)斷過程速度規(guī)律的研究，提出步進(jìn)量預(yù)測模型，并通過優(yōu)化驅(qū)動參數(shù)實現(xiàn)電機(jī)的高分辨率步進(jìn)運(yùn)動。

2 連續(xù)運(yùn)動與步進(jìn)運(yùn)動機(jī)理分析

超聲電機(jī)在兩相正弦波的共同激勵下工作，通過驅(qū)動參數(shù)和波形關(guān)斷時間的控制可以實現(xiàn)連續(xù)運(yùn)動與步進(jìn)運(yùn)動，分別對兩種模型及其影響因素進(jìn)行分析。

2.1 連續(xù)運(yùn)動機(jī)理

2.1.1 多參數(shù)調(diào)速模型

超聲電機(jī)的運(yùn)動及控制的實質(zhì)在于改變行波的振幅、速度以及質(zhì)點(diǎn)的橢圓軌跡，其相應(yīng)的控制量有兩相驅(qū)動電壓幅值(u)、頻率(f)和相位差(α)。由行波的運(yùn)動方程可知，波峰處的切向速度可以表示為：

(1)

式中:ξ為定子振幅，h為定子厚度的一半，ω=2πf為驅(qū)動的角頻率，n為行波振動的波節(jié)數(shù)?？梢钥闯?，一定頻率和相位差的峰值速度與定子振幅ξ呈線性關(guān)系，而定子振幅ξ與電壓幅值u成正比，因此速度值νs與激勵幅值u滿足線性關(guān)系。同時根據(jù)文獻(xiàn)[14-15]，在一定幅值和相位差條件下定子速度峰值與頻率呈指數(shù)關(guān)系?？紤]到相位差不為±90°時，定子的兩相駐波波形不正交，在帶來波形畸變的同時也將使速度變化規(guī)律更加復(fù)雜，因此在控制時只考慮相位差α為±90°時的速度模型，從而將轉(zhuǎn)子速度的穩(wěn)態(tài)值等效為定子的切向速度峰值。進(jìn)一步整合超聲電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的動態(tài)傳遞函數(shù)H(s)，得到的轉(zhuǎn)子速度表達(dá)式為：

vr=(au+b)e(cf+d)H(s),

(2)

式中a,b,c,d為待定系數(shù)，將通過后面的辨識獲得。

2.1.2 速度平穩(wěn)性及表征

超聲電機(jī)的速度時刻處在變化當(dāng)中，主要成因是電機(jī)軸線在加工和裝配過程中存在角度偏差，使得摩擦界面接觸不平衡，周向壓力分布不均[17]。定性來看，超聲電機(jī)在工作狀態(tài)下，接觸壓力大的一側(cè)接觸范圍較大，阻止區(qū)較大，定子振幅較小，導(dǎo)致速度偏小；而接觸壓力小的一側(cè)接觸范圍窄，驅(qū)動區(qū)相對較大，定子振幅較大，速度較高[18]。由于速度分布在周向的不一致，超聲電機(jī)轉(zhuǎn)動一圈，速度將會產(chǎn)生持續(xù)的周期性波動，從而加重定轉(zhuǎn)子相對速度差異帶來的滑移，在增加摩擦損耗降低效率的同時還會影響電機(jī)服役壽命。為了減少這類誤差，不僅需要改進(jìn)定轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)、提高制造精度，還需要研究波動誤差抑制或補(bǔ)償方法。

(3)

式中νr為電機(jī)實時測得的速度。顯然速度平穩(wěn)性控制的最終目標(biāo)就是盡可能降低控制殘差的占比。

2.2 步進(jìn)運(yùn)動機(jī)理

步進(jìn)運(yùn)動是指超聲電機(jī)在間歇性的電壓激勵下產(chǎn)生的反復(fù)啟停運(yùn)動過程，其速度規(guī)律不再是連續(xù)運(yùn)動狀態(tài)下速度均化的結(jié)果，而是包含了啟動、運(yùn)行、關(guān)斷等響應(yīng)全過程。假設(shè)當(dāng)驅(qū)動信號周期數(shù)發(fā)生變化時，啟動后的轉(zhuǎn)速曲線是沿著同一軌跡逐漸延伸的。如圖1所示，將啟停過程轉(zhuǎn)速曲線以關(guān)斷點(diǎn)Ai為界分為啟動與關(guān)斷兩個階段，并定義Bi為關(guān)斷后電機(jī)運(yùn)動的自鎖點(diǎn)。

圖1 不同周期數(shù)的速度曲線Fig.1 Speed curves under different period numbers

顯然，在不同的周期數(shù)條件下，啟動階段與關(guān)斷階段的速度函數(shù)可以分別表示為：

(4)

(5)

式中：ξs與ξp代表啟動階段與關(guān)斷階段的阻尼系數(shù)，ωs與ωpi則表征各自傳遞函數(shù)的諧振頻率，Ks與Kp為各自的增益系數(shù)。

此時可以采用面積包絡(luò)法計算位移增量，通過計算速度曲線與坐標(biāo)軸的面積得到步進(jìn)量Si，如式(6)所示：

(6)

式中:N為激勵波形的周期數(shù)，fs為激勵電壓的頻率，tp為最終的關(guān)斷時間。

3 高精度測試裝置

為了辨識超聲電機(jī)的速度模型，也為了能在控制中實現(xiàn)更高的速度位置分辨精度，本文在多參數(shù)綜合測控系統(tǒng)中的編碼器進(jìn)行替換。所選用的編碼器為美國MicroE Systems公司的分立式增量編碼器，主要由光柵盤、讀數(shù)頭及細(xì)分電路構(gòu)成，如圖2所示。其中，光柵刻線數(shù)為16384(214)，即物理細(xì)分為14位，而細(xì)分電路模塊對讀數(shù)頭輸出的脈沖信號進(jìn)行1 024(210)的細(xì)分處理，即電氣細(xì)分為10位。兩者綜合后編碼器的整體分辨位數(shù)為24位，檢測分辨率為0.375 μrad，能夠滿足超聲電機(jī)高精度控制的反饋與評估需求。所采用的電機(jī)為新研的PMR60-PI1電機(jī)，集成了新型壓電陶瓷與摩擦功能材料，具有較好的工作穩(wěn)定性。

圖2 高精度編碼器組成Fig.2 Composition of high-precision encoder

4 模型辨識及控制實驗

為了實現(xiàn)電機(jī)的高精度速度與位置控制，對模型中的待定參數(shù)進(jìn)行辨識和分析，進(jìn)而提出有針對性的高平穩(wěn)性速度控制策略與高分辨率位置控制策略。

4.1 高平穩(wěn)性速度控制

4.1.1 連續(xù)運(yùn)動多參數(shù)模型辨識

在多參數(shù)模型辨識環(huán)節(jié)，設(shè)定電壓幅值為[200 V,260 V]，頻率測試區(qū)間為[42 kHz ,44 kHz]，在相應(yīng)的幅值與頻率作用下，求取電機(jī)運(yùn)行10 s后的平均速度，得到的穩(wěn)態(tài)速度點(diǎn)如圖3所示。

圖3 幅值-頻率-速度關(guān)系的三維曲面Fig.3 Three-dimensional speed curves under different amplitudes and frequencies

按照線性關(guān)系與指數(shù)關(guān)系相乘的表達(dá)式，利用Levenbert-Maquetety規(guī)則下的非線性最小二乘算法對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到的綜合模型為：

νr(u,f)=(9.39u+10.29 )e(58.16 -1.411f).

(7)

在辨識分析系統(tǒng)動態(tài)部分時，以幅值為輸入，速度為輸出，掃頻區(qū)間為0.1～200 Hz，得到如圖4所示的幅頻與相頻曲線。可以看出，不同驅(qū)動參數(shù)歸一化后的掃頻曲線吻合度比較好，可以統(tǒng)一用一種傳遞函數(shù)進(jìn)行表征。

圖4 不同驅(qū)動參數(shù)的幅值掃頻曲線Fig.4 Amplitude sweeping curves under different driving parameters

運(yùn)用最小二乘算法對圖4中歸一化后的掃頻模型進(jìn)行辨識，參數(shù)速度模型的動態(tài)部分可以表示為:

H(s)=

(8)

結(jié)合上述穩(wěn)態(tài)部分與動態(tài)部分，在Simulink上建立起如圖5所示的超聲電機(jī)多參數(shù)調(diào)速模型。

圖5 多參數(shù)調(diào)速模型Fig.5 Multi-parameter speed model

4.1.2 雙環(huán)復(fù)合速度控制策略

4.1.2.1 仿真分析

圖6 速度平穩(wěn)性控制框圖Fig.6 Control diagram of speed stability

從控制框圖上看，單一速度環(huán)控制時速度誤差的表達(dá)式為：

(9)

而采用“位置環(huán)+速度環(huán)”雙環(huán)控制所獲得的速度誤差表達(dá)式為:

(10)

因而兩個誤差的比值為:

(11)

如果在實施時，通過調(diào)節(jié)能控制:

(12)

當(dāng)速度指令為72 (°)/s時，設(shè)計速度環(huán)PI控制器的參數(shù)Kp=2，Ki=150，位置環(huán)PI控制器的參數(shù)為Kp=70，Ki=1。通過仿真獲得式(11)誤差傳遞函數(shù)的波特圖，如圖7所示。結(jié)果證實了當(dāng)電機(jī)的速度波動處于10 Hz的頻帶內(nèi)，所提出的雙環(huán)控制器都能有效補(bǔ)償波動影響，在仿真條件下能夠獲得優(yōu)于單環(huán)控制的效果。

圖7 誤差比值掃頻曲線Fig.7 Sweeping curves with error ratio of different period numbers

從圖7可以看出，雙環(huán)控制能夠獲得比單環(huán)控制更小的穩(wěn)態(tài)誤差。這是由于雙環(huán)控制既能夠得到更高的幅值及相位裕度，也可以充分發(fā)揮超聲電機(jī)快速定位的優(yōu)勢，使得速度環(huán)控制后的殘差在位置環(huán)內(nèi)進(jìn)一步得到消除，從而提升整體的速度控制精度。

4.1.2.2 實驗結(jié)果

與仿真相似，當(dāng)速度指令為72 (°)/s時，通過調(diào)節(jié)，設(shè)計速度環(huán)PI控制器的參數(shù)Kp=2，Ki=150，位置環(huán)PI控制器的參數(shù)Kp=70，Ki=1。通過實驗，將單速度環(huán)控制與雙環(huán)復(fù)合控制的速度控制效果進(jìn)行比較(圖8)，可以發(fā)現(xiàn)雙環(huán)復(fù)合控制的控制誤差(0.44%)約為單速度環(huán)控制誤差(0.89%)的一半，說明雙環(huán)復(fù)合的方法能夠進(jìn)一步補(bǔ)償速度環(huán)的殘差。

圖8 速度平穩(wěn)性控制對比Fig.8 Block diagram of performance evaluation

將雙環(huán)復(fù)合的控制策略應(yīng)用到40,50,60,70 (°)/s的恒速控制中，結(jié)果如圖9所示。由圖可知，每組控制后上升時間約為22 ms，速度穩(wěn)定度均低于0.44%。

圖9 速度平穩(wěn)性控制效果Fig.9 Control results of speed stability

4.2 步進(jìn)運(yùn)動位置控制

通過驅(qū)動電源對超聲電機(jī)實施控制，即由驅(qū)動電源的通、斷，使電機(jī)產(chǎn)生間歇性的起、停動作而實現(xiàn)步進(jìn)運(yùn)動[18]。為了獲得不同參數(shù)條件下的步進(jìn)運(yùn)動規(guī)律，測試了不同周期數(shù)的轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線，進(jìn)而提出步進(jìn)量的預(yù)測與控制模型。

4.2.1 步進(jìn)量模型辨識

為了得到步進(jìn)量預(yù)測的穩(wěn)定區(qū)間，測試了不同周期數(shù)的轉(zhuǎn)速曲線，如圖10所示?？梢钥闯?，周期數(shù)較少的啟動曲線與周期數(shù)較多的啟動曲線部分重疊，表明了相同激勵參數(shù)條件下的電機(jī)啟動過程呈現(xiàn)較好的可重復(fù)性，而從關(guān)斷后過零部分的速度響應(yīng)看，不同周期數(shù)的關(guān)斷曲線也表現(xiàn)出了相似的振蕩特征。

圖10 不同周期數(shù)的啟停速度響應(yīng)曲線Fig.10 Startup-stopping speed response under different period numbers

結(jié)合圖1與式(4)，對速度響應(yīng)曲線進(jìn)行分段二階函數(shù)的辨識。首先是啟動段，通過辨識可以得到的啟動階段的傳遞函數(shù)Gs為：

(13)

其次是關(guān)斷段速度傳遞函數(shù)的辨識，圖11為辨識得到的關(guān)斷段的增益、阻尼系數(shù)、固有頻率以及每一個周期數(shù)下的關(guān)斷點(diǎn)速度。

辨識結(jié)果表明，周期數(shù)小于10時模型參數(shù)的變化趨勢相對穩(wěn)定，這是由于周期數(shù)在[1,10]之內(nèi)時，速度仍處于上升的初始階段，未到達(dá)階躍響應(yīng)的上升節(jié)點(diǎn)，即穩(wěn)態(tài)速度的0.707，沒有突破彈性波動的極限，因此斷電后的回復(fù)過程相對比較接近，綜合曲線后確定關(guān)斷過程阻尼系數(shù)在0.012，自然頻率為4 200 rad/s。對辨識后的參數(shù)與關(guān)斷點(diǎn)速度之間的關(guān)系進(jìn)一步進(jìn)行探索，如圖12所示，模型增益與關(guān)斷點(diǎn)轉(zhuǎn)速成正比，且比例系數(shù)為0.197。根據(jù)上述分析，建立了如式(14)所示的關(guān)斷速度的傳遞函數(shù)，該表達(dá)式將關(guān)斷過程的傳遞函數(shù)與關(guān)斷點(diǎn)的速度相互關(guān)聯(lián)，從而實現(xiàn)了啟動段與關(guān)斷段的銜接。

圖11 辨識得到的關(guān)斷階段的模型參數(shù)Fig.11 Identified parameters of stopping process

圖12 5Kp/vstop與之間的數(shù)值關(guān)系Fig.12 Relationship between 5Kp/vstop and

(14)

聯(lián)合關(guān)斷點(diǎn)前后的辨識結(jié)果，通過式(5)進(jìn)一步獲得不同周期數(shù)的步進(jìn)位移增量，和實驗結(jié)果對比(圖13)發(fā)現(xiàn)，辨識結(jié)果吻合度在85%以上，并且具有較好的一致性，說明所提出的兩階段二階模型能夠有效地預(yù)測超聲電機(jī)周期數(shù)在10以內(nèi)的步進(jìn)運(yùn)動規(guī)律。

圖13 不同周期數(shù)的擬合結(jié)果Fig.13 Fitting results under different period numbers

4.2.2 高分辨率步進(jìn)運(yùn)動

依據(jù)步進(jìn)量預(yù)測模型，控制激勵電壓幅值和頻率分別為200 V和43 kHz，在周期數(shù)區(qū)間[1,10]內(nèi)尋找運(yùn)行穩(wěn)定且定位可靠的參數(shù)使電機(jī)實現(xiàn)開環(huán)狀態(tài)下的微步進(jìn)運(yùn)動。圖14為周期數(shù)為2.1的步進(jìn)曲線，由圖可知，通過周期數(shù)的控制實現(xiàn)了3.3 μrad的步進(jìn)量。從位移響應(yīng)上看，不同時間片的運(yùn)動在啟動階段的瞬時響應(yīng)上存在一定的差異，有些階段的超調(diào)量大，有些階段的超調(diào)量小，但是在穩(wěn)定階段的表現(xiàn)則比較接近。

圖14 施加周期數(shù)調(diào)控后的步進(jìn)結(jié)果Fig.14 Stepwise curves under adjustment of period number

通過不同周期數(shù)步進(jìn)狀態(tài)的分析與整合，對超聲電機(jī)所能達(dá)到的極限步進(jìn)分辨率進(jìn)行測試。設(shè)置驅(qū)動幅值為178 V，驅(qū)動頻率為44.6 kHz，周期數(shù)為4.7，可以得到如圖15所示的步進(jìn)運(yùn)動結(jié)果。由圖可知，超聲電機(jī)的步進(jìn)運(yùn)動可以達(dá)到現(xiàn)有編碼器的極限分辨率，即0.375 μrad。

圖15 開環(huán)步進(jìn)位移曲線Fig.15 Open-loop stepwise position curve

4.2.3 角度定位控制

在傳統(tǒng)的位置閉環(huán)控制中，當(dāng)實際位置超過期望值需要解決速度換向時的突變問題,在增加控制系統(tǒng)復(fù)雜性的同時也會影響最終的位置精度。為解決這一問題，設(shè)計了一種分段逼近的控制方法。為了實現(xiàn)全局范圍內(nèi)的穩(wěn)定運(yùn)動，在以幅值為變化量，保持頻率為44 kHz的基礎(chǔ)上，具體的分段控制方法如下：當(dāng)實際位置與指令位置之差大于10°時，速度指令為50 (°)/s；當(dāng)差值大于5°小于10°時，速度指令為20 (°)/s；當(dāng)差值大于0.1°小于5°時，速度指令為10 (°)/s；差值達(dá)到0.1°時，斷開其中速度環(huán)，同時切換到步進(jìn)運(yùn)動模式，整個定位調(diào)整時間不超過1 s。

(15)

圖16 電機(jī)定位控制效果Fig.16 Positioning control performances

5 結(jié) 論

針對超聲電機(jī)不同的控制模式，本文提出了針對性的控制策略,在穩(wěn)速控制上建立并辨識了多參數(shù)調(diào)速模型，采用“速度環(huán)+位置環(huán)”的雙環(huán)控制策略使速度穩(wěn)定性達(dá)到0.44%；在步進(jìn)運(yùn)動控制上，通過驅(qū)動參數(shù)調(diào)控與周期數(shù)控制實現(xiàn)了0.375 μrad的位置分辨率；在角度定位控制上，通過逐步逼近方法達(dá)到了1.7 μrad的定位精度。

本文充分發(fā)揮超聲電機(jī)響應(yīng)快，可定脈沖控制的優(yōu)點(diǎn)，提出了有針對性的速度穩(wěn)定性與位置分辨率控制策略，不僅能夠保證控制精度，也能有效簡化控制結(jié)構(gòu)，對于推進(jìn)壓電驅(qū)動功能部件在高端裝備的應(yīng)用具有積極意義。