李月明

摘 要：解二元一次方程組的基本思想就是“消元”，把二元方程轉(zhuǎn)化為一元方程，將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少，逐一解決。代入消元法和加減消元法是解二元一次方程組的基本方法。在解答與二元一次方程組有關(guān)的計(jì)算過(guò)程中，許多學(xué)生往往只生硬地套用兩種基本方法，解題過(guò)程繁冗而準(zhǔn)確率低。一些實(shí)際問(wèn)題中，可以根據(jù)具體特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，巧妙靈活地消元，求出二元一次方程組的解，促進(jìn)運(yùn)算的準(zhǔn)確度和速度。

關(guān)鍵詞：消元 整體換元 等量轉(zhuǎn)化 運(yùn)算

一、狀況分析

學(xué)生已完成代入消元法和加減消元法兩種解二元一次方程組的基本方法，并會(huì)熟練解答一些簡(jiǎn)單的二元一次方程組。

但當(dāng)教師出示例1：解二元一次方程組

學(xué)生花了大量時(shí)間，解答情況如圖表1：

圖表說(shuō)明：

A：不會(huì)解答;

B：只會(huì)化簡(jiǎn)②式;

C：能化簡(jiǎn)兩式，但計(jì)算錯(cuò)誤;

D：通過(guò)大量化簡(jiǎn)，成功解題。

通過(guò)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生面對(duì)題目，沒(méi)有經(jīng)過(guò)觀察、思考，就盲目地循著基本套路走。顯然，由于前置知識(shí)的扎實(shí)程度、知識(shí)之間的應(yīng)用遷移能力和有效計(jì)算能力等因素的影響，大部分學(xué)生難以勝任此類問(wèn)題。^[1]

根據(jù)課題組的研究，為提高學(xué)生計(jì)算能力，僅有兩種基本方法不夠，后面的教學(xué)需立足實(shí)驗(yàn)班學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)能力，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行一些簡(jiǎn)便方法的補(bǔ)充，引導(dǎo)學(xué)生靈活、巧妙地消元，減少運(yùn)算過(guò)程的障礙，以期快速、準(zhǔn)確完成二元一次方程組的計(jì)算。^[2]

二、方法拓展

本次課題的實(shí)驗(yàn)班是平行班，學(xué)生普遍在小學(xué)升上初中時(shí)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)薄弱，計(jì)算能力欠缺，計(jì)算出錯(cuò)率高，故本次補(bǔ)充的內(nèi)容緊緊依托學(xué)生現(xiàn)有水平進(jìn)行適度拓展。

1.仔細(xì)觀察，整體換元

[方法分析]通過(guò)觀察兩個(gè)方程的特點(diǎn)，有共性：，用整體換元法解方程組可化繁為簡(jiǎn)，避開(kāi)去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等整理方程的復(fù)雜程序，大量減少運(yùn)算量，還可快速、精準(zhǔn)地求出方程組的解，尤其減輕計(jì)算能力薄弱學(xué)生的心理負(fù)擔(dān)，增強(qiáng)其自信運(yùn)算，能學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

2.善于比較，等量轉(zhuǎn)化

例2：解二元一次方程組

要解這道二元一次方程組，若先化簡(jiǎn)，再用代入消元法或加減消元法，則計(jì)算容量較大，特別是約公分母，往往是學(xué)生容易出錯(cuò)的高難區(qū)，學(xué)生感覺(jué)非常吃力。

通過(guò)比較方程組中兩個(gè)二元一次方程的結(jié)構(gòu)，不難發(fā)現(xiàn)，把任意一個(gè)方程中的兩個(gè)未知數(shù)互換位置，恰好得到另一個(gè)方程。不難驗(yàn)證，有。這時(shí)，可把方程組的求解轉(zhuǎn)化為取原方程組中任意一個(gè)方程與聯(lián)立的方程組，其解即為原方程組的解。

解： 由題意可知，原方程組與以下方程組的解相同

[方法分析]通過(guò)比較兩個(gè)方程的結(jié)構(gòu)，挖掘方程組中未知數(shù)的本質(zhì)，其含有恒等量關(guān)系：，運(yùn)用等量轉(zhuǎn)化法使問(wèn)題的解決直觀、有明晰的方向，方法靈活，激發(fā)學(xué)生積極參與運(yùn)算問(wèn)題的興趣，潛移默化地幫助學(xué)生養(yǎng)成比較，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思考習(xí)慣。

三、學(xué)習(xí)效果

在課題組的精心研究下，補(bǔ)充了整體換元和等量轉(zhuǎn)化的方法，使學(xué)生學(xué)會(huì)分析具體問(wèn)題的特點(diǎn)，巧妙消元，高效解決問(wèn)題。并以當(dāng)堂檢測(cè)檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

[當(dāng)堂檢測(cè)]若方程組的解、滿足，則的值是多少？

通過(guò)限時(shí)訓(xùn)練，學(xué)生基本能自主解決，大致有以下的一些解法：

[解法一]把k看作常數(shù)，運(yùn)用基本的代入消元法或加減消元法，求出用含的代數(shù)式來(lái)表示和，，，代入，即可求出k=6。

[解法二]通過(guò)觀察方程的共性，運(yùn)用整體思想，

從圖表明顯地看到，通過(guò)方法拓展，精簡(jiǎn)了過(guò)程的運(yùn)算，很大一部分畏懼計(jì)算的同學(xué)變得有信心，敢于動(dòng)手，嘗試巧妙方法并正確運(yùn)算;大多數(shù)學(xué)生更傾向整體換元，因其整體性，有效化繁為簡(jiǎn)，使計(jì)算更快更精準(zhǔn)，提高了他們的計(jì)算能力，同時(shí)滲透了整體思想，促進(jìn)學(xué)生思維品質(zhì)再上一個(gè)臺(tái)階。

總之，在解決二元一次方程組相關(guān)問(wèn)題時(shí)，要仔細(xì)觀察，善于比較，靈活地選用恰當(dāng)?shù)牡姆椒?，精?zhǔn)快速地解決問(wèn)題。特別是在某些特定的情況下，選用整體換元和等量轉(zhuǎn)化的思想和方法，問(wèn)題的解決更能起到事倍功半的效果。

參考文獻(xiàn)

[1]綦春霞.中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與內(nèi)容分析[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2016.

[2]余文森.核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課堂教學(xué)[M].上海：上海教育出版社，2017.