曲 揚，羅永峰，朱釗辰，黃青隆

(同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院， 上海 200092)

自汶川大地震以來，我國地震災(zāi)害的機理研究、監(jiān)測預(yù)警、結(jié)構(gòu)抗震設(shè)防和鑒定加固體系深度革新[1]，在此背景下，地震反應(yīng)分析對象從原有的一維、單體結(jié)構(gòu)逐漸向多維化、區(qū)域化的建筑群過渡，其中大跨度網(wǎng)格結(jié)構(gòu)作為最常見的公共建筑結(jié)構(gòu)形式，其多維性能化抗震設(shè)計的研究狀況滯后于工程應(yīng)用的現(xiàn)象越發(fā)明顯.目前，大跨度網(wǎng)格結(jié)構(gòu)在強震下彈塑性反應(yīng)多采用時程分析方法計算，但該方法依賴于地震波的選擇，且計算代價較高[2].鑒于此，脫胎于反應(yīng)譜理論發(fā)展而來的推覆分析方法，由于概念清晰、計算簡便，常用于推定結(jié)構(gòu)在罕遇地震作用下的彈塑性行為，該方法計算精度能夠滿足抗震性能化設(shè)計需求[3].

源于經(jīng)典Pushover方法基本假定，推覆分析方法在具體實踐中需面臨荷載模式的確定這一關(guān)鍵問題.侯愛波等[4]在對不同荷載模式的適用性進(jìn)行深入研究后認(rèn)為，對于振型豐富且復(fù)雜的結(jié)構(gòu)形式，應(yīng)采用考慮結(jié)構(gòu)多階振型的荷載模式進(jìn)行推覆分析.相陽等[5]采用SRSS(平方和開平方根)方法對振型位移進(jìn)行組合，給出了適用于網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的推覆荷載模式，但該荷載模式僅考慮了結(jié)構(gòu)的自振特性，并未考慮地震動輸入的特性.Ohsaki等[6]針對大跨度格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)提出了一種多模態(tài)線性組合的推覆分析方法，雖然考慮了位移耦合和多階振型，但多次組合模態(tài)進(jìn)行推覆分析的方法，既缺乏物理意義解釋，也喪失了簡潔性.Poursha等[7]基于對不同振型坐標(biāo)相關(guān)性的分析，給出了適用于多高層結(jié)構(gòu)的振型向量線性組合的荷載模式，但該方法需事先根據(jù)彈性譜計算振型坐標(biāo)的相關(guān)性，且針對網(wǎng)格結(jié)構(gòu)及多維地震激勵的適用性尚未被驗證.

自Chopra提出模態(tài)推覆分析方法后，推覆分析的熱點逐漸由多振型問題轉(zhuǎn)向多維化問題，已有國內(nèi)外學(xué)者對此進(jìn)行了深入研究.Reyes等[8]基于模態(tài)推覆分析方法和主軸模型，率先提出了三維模態(tài)推覆分析方法，該方法對多振型響應(yīng)進(jìn)行CQC(完全二次項平方根)組合、對多維響應(yīng)進(jìn)行SRSS組合，從而得到結(jié)構(gòu)總響應(yīng).但該方法僅討論了結(jié)構(gòu)在水平兩維激勵下的動力響應(yīng)，并未涉及對大跨度網(wǎng)格結(jié)構(gòu)尤為重要的豎向地震作用.為擺脫多維模態(tài)推覆分析方法對主軸模型的依賴，Manoukas等[9]引入了兩維地震動輸入呈線性關(guān)系的基本假定，基于一個能夠同時考慮兩維激勵和響應(yīng)的等效單自由度體系，提出了兩維多模態(tài)推覆分析方法，通過一次模態(tài)推覆即可同時考慮兩維響應(yīng)，但該方法相比三維模態(tài)推覆分析方法實際上并未減少所需選取的振型階數(shù)，且計算精度并無顯著提升.王豐等[10]引入了兩維彈性反應(yīng)譜呈線性相關(guān)關(guān)系的假定，針對多高層結(jié)構(gòu)提出了兩階段多維推覆分析方法，通過改進(jìn)的需求譜求解目標(biāo)性能點，但該方法確定荷載模式時僅考慮了基底剪力，顯然不適用于多維耦合的網(wǎng)格結(jié)構(gòu).針對已有推覆分析成果尚未涉及網(wǎng)格結(jié)構(gòu)豎向地震作用的現(xiàn)狀，楊木旺[11]沿用Pushover方法的思路，利用基于延性系數(shù)的方法建立了彈塑性豎向需求譜，從而提出了評估網(wǎng)格結(jié)構(gòu)豎向抗震性能的Pushdown方法，但該方法仍無法考慮多維位移耦合效應(yīng).

針對上述問題，本文通過對振型響應(yīng)進(jìn)行合理的線性組合，構(gòu)造了兩維地震激勵下的格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)的變形模式，在對兩維地震動輸入進(jìn)行適當(dāng)簡化的基礎(chǔ)上，建立了基于給定變形模式的等效單自由度體系，并推導(dǎo)了其動力方程，進(jìn)而給出了等效單自由度體系的A-D格式能力曲線，從而提出了大跨度格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)在兩維地震激勵下動力響應(yīng)的簡化評估方法，并總結(jié)了簡化方法的計算步驟.選取一個大跨度柱承格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)為分析對象，對結(jié)構(gòu)分別在硬土和軟土場地若干條地震波兩維分量激勵下的動力響應(yīng)進(jìn)行計算，并與時程法計算結(jié)果進(jìn)行對比，以驗證簡化方法的適用性與實用性.

1 簡化評估方法基本理論

1.1 變形模式的構(gòu)造

根據(jù)振型疊加法，結(jié)構(gòu)體系的總響應(yīng)常采用CQC或SRSS振型響應(yīng)組合法進(jìn)行計算，但CQC方法過于復(fù)雜，實用性低，SRSS方法忽略振型間相互影響，且采用SRSS組合時，式中僅出現(xiàn)被不規(guī)則放大的正向位移響應(yīng)，而無負(fù)向位移響應(yīng)，造成變形模式進(jìn)一步失真，尤其不適用于振型復(fù)雜的大跨度網(wǎng)格結(jié)構(gòu).此外，基于振型疊加法的模態(tài)推覆分析方法，需對選取的每一階振型均進(jìn)行一次推覆分析，對于有效質(zhì)量參與系數(shù)累積緩慢的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，對多階振型進(jìn)行模態(tài)推覆分析在一定程度上犧牲了推覆分析方法的簡潔性.基于此，本節(jié)給出線性組合振型響應(yīng)進(jìn)而構(gòu)造變形模式的方法，從而兼顧地震動輸入特性和多階振型的影響，將多階振型推覆分析縮減為一次.

對于線彈性體系，結(jié)構(gòu)在地震作用下的動力響應(yīng)u(t)可擴(kuò)展表示為

(1)

式中：φl、ql(t)分別為第l階振型的振型向量和廣義振型坐標(biāo).

根據(jù)結(jié)構(gòu)動力學(xué)，第l階振型的響應(yīng)ul(t)為

ul=ΓlDl(t)φl

(2)

式中：Γl、Dl(t)分別為第l階振型的振型參與系數(shù)和譜位移.從而式(1)可寫為

(3)

對于非線性體系，地震作用下的位移響應(yīng)仍可按線彈性體系的模態(tài)分解方法(式(3))進(jìn)行擴(kuò)展分解，但隨著結(jié)構(gòu)進(jìn)入彈塑性階段，由于剛度退化，振型已不同于線彈性階段，若仍按照式(3)形式采用線彈性階段的振型組合得到結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)，可通過振型組合系數(shù)的形式考慮非線性體系的彈塑性發(fā)展以及各階振型的相關(guān)性(如文獻(xiàn)[5-7]).

有效質(zhì)量參與系數(shù)反映振型空間分布與動力輸入空間分布間的相似程度，是衡量結(jié)構(gòu)振型反應(yīng)對結(jié)構(gòu)整體振動反應(yīng)貢獻(xiàn)的合理指標(biāo).一般而言，振型的有效質(zhì)量參與系數(shù)越高，則該階振型對于結(jié)構(gòu)整體響應(yīng)的控制作用往往越顯著，其振型組合系數(shù)越高[12-13].因此，針對格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)，為考慮橫向和豎向位移的耦合，同時兼顧地震動輸入特性和多階振型的相互影響，本文以有效質(zhì)量參與系數(shù)作為振型組合系數(shù)，構(gòu)造兩維地震激勵下目標(biāo)性能點處的變形模式Φr為

Φr=∑rnΓnDnφn

(4)

式中：rn為第n階振型的有效質(zhì)量參與系數(shù).計算時，可依據(jù)有效質(zhì)量參與系數(shù)遴選結(jié)構(gòu)主振型，并使其累積值達(dá)到抗震規(guī)范的要求.

基于式(4)構(gòu)造的變形模式，僅需對結(jié)構(gòu)實施一次非線性推覆分析，計算結(jié)果即可較為全面地反映地震動輸入特性及各主振型對結(jié)構(gòu)總響應(yīng)的貢獻(xiàn).

1.2 動力方程的轉(zhuǎn)化

(5)

式中：u(t)為由于兩維地震激勵產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)體系動力位移向量；M和C分別為結(jié)構(gòu)體系的質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣；lx和lz分別為x向和z向影響因子；Fs(t)為結(jié)構(gòu)體系恢復(fù)力向量，與當(dāng)前變形狀態(tài)和加載歷史相關(guān).

現(xiàn)假定兩維地震動輸入呈相關(guān)關(guān)系，即

(6)

式中：κ為比例系數(shù).于是，式(5)右邊的有效地震力peff(t)可簡化為

(7)

式中：lxz=lx+κlz為兩維等效影響因子.

假定結(jié)構(gòu)體系在兩維地震激勵下的變形模式為Φr，則動力位移向量為

u(t)=Φrqr(t)

(8)

式中：qr(t)為對應(yīng)變形模式Φr的廣義坐標(biāo).

(9)

(10)

(11)

(12)

取等效振型參與系數(shù)Γr=Lr/Mr，令qr(t)=ΓrDr(t)，代入式(12)整理得到

(13)

式(13)即為與原MDF體系相對應(yīng)的等效單自由度(Equivalent Single Degree of Freedom, ESDF)體系的基本動力方程，其中等效位移響應(yīng)Dr(t)與結(jié)構(gòu)整體動力位移響應(yīng)u(t)滿足如下關(guān)系

u(t)=ΓrΦrDr(t)

(14)

(15)

1.3 兩維地震動輸入的簡化

文獻(xiàn)[9]和[10]均引入了兩維地震動輸入呈線性相關(guān)關(guān)系的基本假定進(jìn)行研究，雖大大簡化了理論推導(dǎo)過程，但其基本假定中線性相關(guān)系數(shù)的取值均未考慮地震動輸入特性，即對于不同的地震動，兩維輸入的線性相關(guān)關(guān)系不變，與實際不符.本節(jié)基于地震動輸入、彈性反應(yīng)譜、結(jié)構(gòu)峰值位移響應(yīng)量三者之間的對應(yīng)關(guān)系，提出改進(jìn)的兩維地震動輸入簡化方法.

(19)

對于兩維地震動輸入呈相關(guān)關(guān)系這一基本假定(式(6))，其關(guān)鍵是確定比例系數(shù)κ，結(jié)合式(17)和(19)可知：

(20)

(21)

1.4 ESDF體系的建立

本節(jié)采用非線性推覆分析轉(zhuǎn)化得到Ar-Dr關(guān)系，從而建立ESDF體系.

取結(jié)構(gòu)動力變形模式為Φr，則結(jié)構(gòu)體系的位移響應(yīng)ur為

ur=ΓrDrΦr

(22)

設(shè)線彈性體系的恢復(fù)力增量ΔFs為

ΔFs=ΚΔur=ΓrΔDrΚΦr=

(23)

從而推覆荷載增量ΔFr可表示為

ΔFr=ΔFs=ΔχrMΦr

(24)

根據(jù)式(15)，偽加速度增量ΔAr和等效位移增量ΔDr分別為

(25)

(26)

進(jìn)入非線性階段，由于剛度退化，振型已不同于線彈性階段，但考慮到振型相互之間耦聯(lián)性仍較弱，推覆分析的推覆荷載增量ΔFr仍可采用式(24)表示，因而，此時結(jié)構(gòu)體系的恢復(fù)力增量ΔFs可以表示為

ΔFs=ΔFr=ΔχrMΦr

(27)

從而偽加速度增量ΔAr為

(28)

(29)

至此，通過對結(jié)構(gòu)進(jìn)行非線性推覆分析，得到了非線性體系的Ar-Dr關(guān)系.

1.5 簡化方法計算步驟

本文簡化方法的計算步驟如下：

(1) 對結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，選取主振型，根據(jù)式(4)構(gòu)造變形模式Φr；

(2) 針對選取的地震波兩維分量，按1.3節(jié)對兩維地震動輸入進(jìn)行簡化；

(3) 由變形模式導(dǎo)出荷載模式(式(24))，對結(jié)構(gòu)進(jìn)行非線性推覆分析，得到Ar-Dr關(guān)系；

(4) 基于Ar-Dr關(guān)系，建立對應(yīng)變形模式Φr的ESDF體系；

(5) 對ESDF體系進(jìn)行時程分析，得到其目標(biāo)性能點；

(6) 根據(jù)目標(biāo)性能點處的結(jié)構(gòu)彈塑性響應(yīng)，對結(jié)構(gòu)的抗震性能進(jìn)行評估.

2 數(shù)值算例

為了驗證本文所提出簡化方法的適用性，基于 ANSYS 和MATLAB平臺，選取一系列地震波兩維分量，采用本文簡化方法和時程分析方法對一個大跨度柱承格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)在兩維地震激勵下的動力響應(yīng)進(jìn)行計算分析，并以兩向節(jié)點位移、單元最大應(yīng)力以及計算精度和耗時作為對比參數(shù)，分析簡化方法的誤差和效率.

2.1 格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)模型

大跨度柱承格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)跨度45 m，高度15 m，上部拱結(jié)構(gòu)高度5 m，厚度1.2 m，矢跨比1/9，下部支承柱高度10 m，寬度1.5 m，支承柱腳為固定鉸支座.上部拱結(jié)構(gòu)外環(huán)節(jié)點集中質(zhì)量0.5 t，內(nèi)環(huán)節(jié)點集中質(zhì)量0.1 t，結(jié)構(gòu)模型和桿件截面如圖1所示.材料為Q235鋼，采用雙線性隨動強化模型，彈性模量206 GPa，屈服強度235 MPa，屈服后彈性模量0.8 GPa，結(jié)構(gòu)阻尼比為0.02.上部拱結(jié)構(gòu)節(jié)點編號為順時針序，外環(huán)節(jié)點1～35號，內(nèi)環(huán)節(jié)點36～68號，下部支承柱節(jié)點自下而上、自左而右編號為 69～88號，如圖1中括號標(biāo)注所示.上部拱結(jié)構(gòu)單元編號同樣為順時針序，上弦桿單元1～34號，下弦桿單元35～66號，直腹桿單元67～99號，斜腹桿單元100～133號，下部支承柱單元如圖1中局部詳圖標(biāo)注所示.本算例研究格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)在兩維地震激勵下的動力響應(yīng)，x向和z向主振型信息見表1和圖2，所列兩向主振型的累積質(zhì)量參與系數(shù)均超過了70%.

圖1 格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)模型及桿件截面Fig.1 Structural layout and member sections of the arch

圖2 格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)主振型Fig.2 Fundamental vibration modes of the arch

表1 格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)主振型信息Tab.1 Information of fundamental modes of the arch

2.2 結(jié)構(gòu)ESDF體系

為兼顧簡化方法的準(zhǔn)確性和簡潔性，本算例選取x向第1階和z向前2階主振型構(gòu)造變形模式，累積質(zhì)量參與系數(shù)達(dá)到70%，進(jìn)而根據(jù)式(24)得到荷載模式進(jìn)行非線性推覆分析，求得ESDF體系的Ar-Dr關(guān)系，對非線性推覆分析所得Ar-Dr曲線進(jìn)行雙線性化處理[14]，即得到可用于時程分析求解的ESDF體系A(chǔ)r-Dr關(guān)系曲線.以地震波FS1和SS1為例，ESDF體系推覆分析得到的雙線性化Ar-Dr關(guān)系曲線如圖3所示.

圖3 ESDF在地震波FS1和SS1作用下的Ar-Dr關(guān)系曲線Fig.3 Ar-Dr curves for ESDF under FS1 and SS1

圖4 地震波偽加速度反應(yīng)譜圖Fig.4 Pseudo acceleration response spectra of the seismic waves

2.3 結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)

2.3.1地震動輸入 為驗證簡化方法對于不同場地周期的適用性，本文從日本地球科學(xué)與防災(zāi)技術(shù)研究所(NIED)的K-NET強震數(shù)據(jù)庫中選取2003年以來震級6.5級以上的8次地震，提取其硬土和軟土場地各12條地震波的x向和z向分量作為地震動輸入，其偽加速度譜見圖4.根據(jù)主軸模型[15-16]，兩維反應(yīng)譜加速度Axz(T)為

(30)

2.3.2結(jié)構(gòu)節(jié)點位移響應(yīng) 采用簡化方法(Simplified Procedure, SP)和時程分析(Response History Analysis, RHA)方法得到的格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)節(jié)點位移(Unode)如圖5所示.相比時程分析方法計算結(jié)果，簡化方法動力響應(yīng)計算結(jié)果的平均誤差ρ采用下式計算：

(31)

式中：rSP和rRHA分別為采用簡化方法和時程分析方法計算得到的響應(yīng)量.

圖5 簡化方法和時程分析方法節(jié)點位移計算結(jié)果對比Fig.5 Nodal displacement responses given by SP and RHA

計算結(jié)果表明，采用簡化方法計算得到的目標(biāo)性能點處的結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)與時程分析方法的計算結(jié)果比較接近：① 兩者計算結(jié)果的位移值隨節(jié)點號的變化趨勢大致相同，表明兩者在目標(biāo)性能點處的變形模式基本一致，證明了本文構(gòu)造變形模式的合理性；② 與時程分析方法的計算結(jié)果相比，簡化方法在x方向最大位移節(jié)點處位移計算值的平均誤差為15.1%，z方向最大位移節(jié)點處位移計算值的平均誤差為12.5%，且絕大部分節(jié)點誤差在25%以內(nèi)，說明本文提出的兩維地震動輸入簡化方法具備一定的適用性，能夠有效估計結(jié)構(gòu)的地震需求，但對結(jié)構(gòu)體系目標(biāo)性能點的求解精度仍有待進(jìn)一步改進(jìn).此外，由圖5可見，對于z方向最大位移，簡化方法計算結(jié)果均大于時程分析方法計算結(jié)果，說明簡化方法對于豎向位移的計算評估偏于安全.

圖6 簡化方法和時程分析方法單元最大應(yīng)力云圖對比Fig.6 The extreme stresses of elements given by SP and RHA

圖7 簡化方法計算誤差Fig.7 Calculating errors of SP

2.3.3結(jié)構(gòu)最大單元應(yīng)力響應(yīng) 采用簡化方法和時程分析方法得到的格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)單元最大應(yīng)力(σmax)云圖如圖6所示.由圖可見，采用簡化方法求得的目標(biāo)性能點處的單元最大應(yīng)力與時程分析方法的計算結(jié)果比較接近，兩者計算結(jié)果的應(yīng)力分布和變化趨勢基本相同，表明兩者在目標(biāo)性能點處的單元應(yīng)力狀態(tài)基本一致，說明基于變形模式導(dǎo)出的推覆荷載模式具備合理性.采用式(31)計算簡化方法所得結(jié)構(gòu)最大單元應(yīng)力響應(yīng)的誤差，各單元應(yīng)力響應(yīng)計算結(jié)果的誤差繪于圖7(a)，其平均誤差為16.6%，大部分單元應(yīng)力誤差在30%以內(nèi).此外，簡化方法計算得到的單元應(yīng)力普遍大于時程分析方法計算結(jié)果，說明簡化方法對于單元應(yīng)力響應(yīng)的計算評估偏于安全.將簡化方法和時程分析方法預(yù)測得到的屈服桿件數(shù)量統(tǒng)計示于圖7(b)，可見簡化方法對于結(jié)構(gòu)屈服桿件的預(yù)測可靠性較高，屈服桿件數(shù)量略高于時程分析方法，說明預(yù)測結(jié)果偏于安全.

2.4 計算效率對比

與對格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)直接進(jìn)行時程分析相比，采用簡化方法，依據(jù)累積質(zhì)量參與系數(shù)截取不同振型階數(shù)構(gòu)造變形模式，從而分析得到的節(jié)點位移和單元最大應(yīng)力計算誤差和計算耗時占比如表2所示.綜合圖5～7和表2可以發(fā)現(xiàn)，在保證了一定的計算精度的前提下，簡化方法相比時程分析方法在計算效率方面優(yōu)勢顯著，耗時僅為時程分析方法的20%～25%.此外，隨著選取主振型累積質(zhì)量參與系數(shù)的增大，簡化方法對位移響應(yīng)和單元應(yīng)力響應(yīng)的計算精度分別提高9.1%和8.4%，而計算耗時也隨之增加，達(dá)到了時程分析方法的30%～35%，但相比之下仍然優(yōu)勢顯著，說明隨著截取振型的增多，本文構(gòu)造的變形模式考慮了更高階振型，故計算結(jié)果有所提高.綜上，當(dāng)累積質(zhì)量參與系數(shù)達(dá)到70%時，簡化方法可較好地兼顧精度和耗時，計算效率較高.

表2 簡化方法與時程分析方法計算效率對比Tab.2 Comparison of computing efficiency by SP and RHA

3 結(jié)論

本文通過對各階振型響應(yīng)按有效質(zhì)量參與系數(shù)進(jìn)行線性組合，給出了兩維地震激勵下的格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)的變形模式，并在對兩維地震動輸入進(jìn)行適當(dāng)簡化的基礎(chǔ)上，提出了大跨度格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)在兩維地震激勵下動力響應(yīng)的簡化評估方法，同時給出了簡化方法的理論推導(dǎo)過程和計算步驟，通過兩種場地條件下兩維地震激勵的數(shù)值算例與時程分析方法進(jìn)行對比分析，得出以下結(jié)論：

(1) 本文提出的變形模式能夠考慮雙向位移響應(yīng)，且避免了SRSS方法對網(wǎng)格結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的不合理放大，并將推覆分析縮減為一次；

(2)研究表明，本文對兩維地震動輸入的簡化，在保證了一定的計算精度的基礎(chǔ)上考慮了地震動輸入特性，從而大大簡化了理論推導(dǎo)；

(3) 數(shù)值分析結(jié)果表明，無論是硬土還是軟土場地，簡化方法對大跨度格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)在兩維地震激勵下的動力響應(yīng)均具有較好的適用性，節(jié)點兩向位移平均誤差分別為15.1%和12.5%，單元最大應(yīng)力平均誤差為16.6%，計算精度較高；

(4) 簡化方法概念簡潔、可操作性強，且僅需較小的計算代價，即可得到較高的精度，計算結(jié)果偏于安全，可用于初步評估大跨度格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)在兩維地震激勵下的抗震性能.