張 鐵，肖 蒙，鄒焱飚，肖佳棟

(華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院， 廣州 510640)

機(jī)器人與環(huán)境接觸過程中，通過力控制能夠調(diào)節(jié)機(jī)器人與環(huán)境接觸狀態(tài)，從而達(dá)到理想的接觸效果，因此力控制廣泛運(yùn)用于機(jī)器人打磨[1]、拋光[2]及曲面跟蹤等.利用機(jī)器人跟蹤未知曲面時(shí)，保持恒定的接觸力能夠得到精確的曲面輪廓.然而，在接觸過程中，由于機(jī)器人自身屬性[3](如機(jī)器人動(dòng)力學(xué)特性，機(jī)器人剛度[4]以及未知環(huán)境是時(shí)變的(如曲面輪廓變化)，造成了機(jī)器人與曲面的接觸力不穩(wěn)定，波動(dòng)較大，從而導(dǎo)致采集的曲面輪廓不夠精確.

機(jī)器人恒力跟蹤的研究大致可以分為傳統(tǒng)控制(包括阻抗控制，力/位混合控制，自適應(yīng)控制)和智能控制.傳統(tǒng)控制方法中，吳得祖[5]利用六維力傳感器對(duì)并聯(lián)機(jī)器人和曲面接觸點(diǎn)的剛度進(jìn)行了測(cè)量，通過剛度控制對(duì)曲面進(jìn)行恒力跟蹤.Winkler等[6]在力/位混合控制中加入額外的積分器來減少靜態(tài)控制誤差，同時(shí)通過改變機(jī)器人速度來達(dá)到跟蹤力恒定.智能控制中，Ye等[7]提出一種自適應(yīng)模糊控制算法，在線對(duì)機(jī)器人的參數(shù)進(jìn)行模糊補(bǔ)償以適應(yīng)環(huán)境的變化，自適應(yīng)模糊控制器具有良好的魯棒性.Jung等[8]在阻抗控制中加入了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償，消除了不確定性的因素，包括環(huán)境中不確定性因素(如位置，剛度)以及機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)中參數(shù)的變化造成的干擾.在三連桿機(jī)器人進(jìn)行的仿真研究中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償?shù)牧刂破魇沟脵C(jī)器人能夠在未知環(huán)境中保持恒定的力，表現(xiàn)出良好的力跟蹤性能.Wang等[9]利用模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)機(jī)器人在未知環(huán)境中所處的狀態(tài)，在不同狀態(tài)下通過調(diào)節(jié)不同的力控制參數(shù)來適應(yīng)環(huán)境的變化，達(dá)到保持恒定力的狀態(tài)，最后通過兩自由度的連桿仿真驗(yàn)證了算法的可行性.王磊等[10]通過模糊推理智能地預(yù)測(cè)阻抗控制模型中的參考軌跡，并根據(jù)力誤差變化調(diào)節(jié)參考比例因子，以適應(yīng)未知環(huán)境剛度的變化，仿真結(jié)果證明了算法的有效性.

目前的研究中，傳統(tǒng)控制算法很難補(bǔ)償機(jī)器人跟蹤過程中的各種不確定性，如機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的不確定性[11]，機(jī)器人末端傳感器姿態(tài)的改變?cè)斐蓚鞲衅魇緮?shù)的變化，而智能控制算法設(shè)計(jì)比較復(fù)雜，大多停留在仿真階段.本文在力/位混合控制的基礎(chǔ)上針對(duì)力控部分提出一種模糊迭代的智能算法，在機(jī)器人內(nèi)部傳遞函數(shù)未知和機(jī)器人末端傳感器姿態(tài)不改變的情況下，利用模糊算法補(bǔ)償軌跡的誤差，離線迭代更新機(jī)器人的軌跡，多次實(shí)驗(yàn)后，使得接觸力在閾值范圍內(nèi)波動(dòng)，最終得到比較穩(wěn)定的跟蹤力和較為精確軌跡.相比于傳統(tǒng)的比例積分(PD)控制和迭代算法，模糊迭代算法能夠得到更加穩(wěn)定的跟蹤效果和軌跡.

1 曲面跟蹤運(yùn)動(dòng)受力分析

機(jī)器人恒力跟蹤實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖1所示，工作臺(tái)坐標(biāo)系S，傳感器坐標(biāo)系T和機(jī)器人基坐標(biāo)系B的映射關(guān)系可以通過齊次變換矩陣來描述：

(1)

圖1 機(jī)器人恒力跟蹤實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.1 Robot constant force tracking experimental platform

傳感器安裝在機(jī)器人末端，機(jī)器人通過安裝在傳感器上的探頭與環(huán)境接觸，如圖2所示，在跟蹤實(shí)驗(yàn)中，機(jī)器人保持vs的速度沿著xV方向運(yùn)動(dòng)，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系V和傳感器坐標(biāo)系T的姿態(tài)始終相同.當(dāng)探頭與曲面接觸時(shí)，探頭受到曲面的法向力Fn和切向力Fτ，恒定的Fn能夠反應(yīng)出曲線的輪廓，為了得到Fn的大小，需要將曲面坐標(biāo)系C中的力映射到已知的傳感器坐標(biāo)系T中，曲面坐標(biāo)系C中心與傳感器坐標(biāo)系T中心重合，x軸方向與曲面的切向方向相同，y軸方向始終垂直于曲面輪廓，由圖3中受力分析可知:

(2)

圖2 機(jī)器人末端局部圖Fig.2 Partial view of the robot end-effector

圖3 機(jī)器人末端受力分析圖Fig.3 Force analysis at the robot end-effector

式中：TFx和TFy分別為T坐標(biāo)系下Fx和Fy；θ為xT與xC之間的夾角.將式(2)解耦可得:

(3)

TFx和TFy的大小可通過六維力傳感器測(cè)得.θ在T坐標(biāo)系下等于曲面切線傾斜角，因此需要對(duì)θ進(jìn)行估計(jì).在傳感器T坐標(biāo)系中，當(dāng)機(jī)器人沿著xV方向和yV方向移動(dòng)時(shí)，根據(jù)xV方向和yV方向上位移的差分可以得到每一小段的切線傾斜角為

(4)

2 模糊迭代算法

迭代學(xué)習(xí)控制適合于具有重復(fù)運(yùn)行特性的被控對(duì)象[12]，由于迭代算法在無(wú)需系統(tǒng)的傳遞函數(shù)[13]的情況下，根據(jù)誤差多次迭代就能達(dá)到所需要的狀態(tài)，所以大大降低了機(jī)器人控制算法設(shè)計(jì)的難度.

機(jī)器人跟蹤過程是離散的系統(tǒng)[14]，當(dāng)機(jī)器人與環(huán)境剛性接觸時(shí)[15]，通過改變機(jī)器人與環(huán)境的接觸位移就能改變接觸力的大小，因此通過迭代機(jī)器人軌跡上單獨(dú)一段時(shí)間的偏移量可以修正機(jī)器人與環(huán)境的接觸力.在迭代的過程中，通過學(xué)習(xí)前期迭代的效果調(diào)整迭代策略，加快收斂，直到達(dá)到預(yù)期的軌跡，假設(shè)機(jī)器人和環(huán)境接觸時(shí)的狀態(tài)方程為

(5)

式中：A(t)為動(dòng)態(tài)特征矩陣；B(t)為控制矩陣；C(t)為輸出矩陣；x(t) 為狀態(tài)變量；u(t)為輸入；y(t)為輸出力.可以將迭代算法設(shè)計(jì)為

(6)

(7)

因此式(6)迭代算法范圍為

(8)

(2) 每一次迭代的初始條件一致，即

其中：x0為初始狀態(tài)；yd為初始期望輸出值.則算法單調(diào)收斂[16]，當(dāng)k→∞時(shí)有：

yk(t)→yd(t), ?t∈[0,T]

(9)

式中：τ，δ為0～t之間的變量.取Φ(t，τ)=exp[A(t-τ)]，則：

xk+1(t)-xk(t)=

(10)

由于ek(t)=yd(t)-yk(t)，ek+1(t)=yd(t)-yk+1(t)，則：

ek+1(t)-ek(t)=yk(t)-yk+1(t)=

C(t)[xk(t)-xk+1(t)]=

(11)

對(duì)式(11)整理可知，

ek+1(t)=ek(t)-

(12)

將式(8)的輸入代入式(12)，則第k+1次誤差為

ek+1(t)=ek(t)-

Γ(τ)eck(τ)]dτ

(13)

令G(t,τ)=C(t)Φ(t,τ)B(τ)Γ(τ)，有：

(14)

式(13)兩邊取范數(shù)：

‖ek+1(t)‖≤‖I-C(t)B(t)Γ(t)‖ ‖ek(t)‖+

‖I-C(t)B(t)Γ(t)‖ ‖ek(t)‖+

(15)

supt，τ∈[0，T]‖C(t)Φ(t，τ)B(τ)L(τ)‖}

其中T為迭代總時(shí)間.

定義1向量函數(shù)h:[0T]→Rn的λ-范數(shù)為

‖h‖λ=sup{exp(-λt)‖h(t)‖}(λ>0)

將式(15)兩端同時(shí)乘以exp(-λt)，則有：

exp(-λt)‖ek+1(t)‖≤

exp(-λt)‖I-C(t)B(t)Γ(t)‖ ‖ek(t)‖+

(16)

其中：

(17)

把式(17)代入式(16)中，則有：

exp(-λt)‖ek+1(t)‖≤

exp(-λt)‖I-C(t)B(t)Γ(t)‖ ‖ek(t)‖+

(18)

根據(jù)定義1可將式(18)化簡(jiǎn)為

‖ek+1(t)‖λ≤‖I-C(t)B(t)Γ(t)‖ ‖ek(t)‖λ+

(19)

(20)

式中：

圖4 力控制算法Fig.4 Force control algorithm

圖5 模糊算法流程圖Fig.5 Flow diagram of fuzzy algorithm

輸入變量和輸出變量的基本論域分別取：

(21)

隸屬度函數(shù)選擇三角形函數(shù)，在解模糊過程中，選用重心法，即

(22)

式中：w0為解模糊得到的輸出值；x為在論域v中的值；μN(yùn)(x)為模糊集合N下對(duì)應(yīng)x的隸屬度函數(shù)值.模糊規(guī)則選用：

3 曲面輪廓恒力跟蹤實(shí)驗(yàn)與分析

實(shí)驗(yàn)采用安川機(jī)器人MH24，機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)中控制器內(nèi)置軟件MotoPlus接受外部 -10～10 V的模擬信號(hào)產(chǎn)生偏移，偏移位移方向與模擬信號(hào)符號(hào)一致，偏移位移與電壓絕對(duì)值大小成正比；六維力傳感器選用德國(guó)的ME-FKD40，由于傳感器末端安裝了探頭，因此采集六維力信號(hào)后，需要通過轉(zhuǎn)化矩陣得到沿著xT和yT方向的力，并對(duì)力的值進(jìn)行標(biāo)定，標(biāo)定方法見文獻(xiàn) [18]；采集的力信號(hào)通過上位機(jī)處理發(fā)送給倍福模塊，倍福模塊產(chǎn)生電壓模擬信號(hào)傳送給機(jī)器人控制器；曲面工件的尺寸如圖6所示，曲面的輪廓通過三維軟件中樣條曲線拉伸而成；曲面半徑R為34 mm，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的初始點(diǎn)為A，終點(diǎn)為B，機(jī)器人始終以1 mm/s的速度沿著xV方向移動(dòng)；期望的力Fd為30 N.

圖6 曲面工件(mm)Fig.6 Curved-surface workpiece (mm)

圖7 實(shí)驗(yàn)流程圖Fig.7 Flow diagram of experiment

跟蹤實(shí)驗(yàn)流程如圖7所示，在實(shí)驗(yàn)過程中，機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過程中有以下幾種干擾：傳感器自身示數(shù)漂移干擾，底層算法插值運(yùn)算處理時(shí)造成微小的丟步，運(yùn)動(dòng)過程中不確定性造成的干擾及摩擦力的干擾.為了避免干擾影響到整體的迭代效果，在迭代過程中每次改變力的大小不宜過大，迭代過程由前往后依次迭代.當(dāng)實(shí)際接觸力F與期望力Fd之差ΔFe符號(hào)不同時(shí)，機(jī)器人偏移量方向是相反的，由于機(jī)器人的重復(fù)精度不高，同樣的迭代值下，每一次采集力的值一般會(huì)有較小的偏差，當(dāng)ΔFe較小時(shí)，這種偏差會(huì)在重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)迭代更新相同進(jìn)給量卻造成相反的效果，加大誤差，故迭代過程只針對(duì)于 |ΔFe|>3 N 的時(shí)間段，設(shè)定每次迭代實(shí)驗(yàn)力的閾值為10 N.

初始實(shí)驗(yàn)PD參數(shù)中比例參數(shù)P=0.03，微分參數(shù)D=0.5，式(6)的kr(t)=3.2，kp(t)=3，kd(t)=1，采樣頻率為 1 000 Hz，檢測(cè)力信號(hào)中|ΔFe|>3 N的時(shí)間段，在超出閾值的時(shí)間段內(nèi)，ΔFe的波形分為兩種情況，一種情況為力信號(hào)沒有回落，力信號(hào)一直增大或減小，為類型 I；另一種情況為力信號(hào)有回落，類似于拋物線，為類型 II.在迭代過程中，機(jī)器人在t時(shí)刻的總進(jìn)給量等于t時(shí)刻進(jìn)給量加上t時(shí)刻前進(jìn)給量的總和，在更新當(dāng)前時(shí)間段的偏移量時(shí)，為了保證后面時(shí)間段的偏移量不變，需要在后一段補(bǔ)償這段改變的值，因此對(duì)有回落過程的迭代更新方程為

(23)

式中：ts為迭代開始時(shí)間；tp為ts到te時(shí)間段ΔFe絕對(duì)值的最大值對(duì)應(yīng)的時(shí)間；te為迭代結(jié)束時(shí)間.迭代終止條件為：|ΔFe|<3 N.沒有回落過程時(shí)只更新不補(bǔ)償，迭代更新方程為

uk+1(t)=uk(t)+kp(t)ek(t)+

(24)

圖8 傾斜角對(duì)比圖Fig.8 Dip angle comparison chart

圖9 接觸力對(duì)比圖Fig.9 Comparison chart of contact force

圖10 軌跡對(duì)比圖Fig.10 Trajectory comparison chart

實(shí)驗(yàn)選取4段信號(hào)對(duì)模糊迭代算法和未進(jìn)行模糊補(bǔ)償?shù)牡惴ㄟM(jìn)行對(duì)比.未進(jìn)行模糊補(bǔ)償?shù)牡螖?shù)分別為4，3，5，4次， 模糊迭代算法的迭代次數(shù)分別為2，2，3，3次.分別選取類型I和類型 II 兩種信號(hào)，對(duì)迭代過程進(jìn)行對(duì)比，如圖11～14所示，在未進(jìn)行模糊補(bǔ)償?shù)牡惴ㄖ忻看蔚^程中根據(jù)力的大小選擇迭代量， 經(jīng)過多次實(shí)驗(yàn)后， 最終接觸力在目標(biāo)范圍內(nèi)，而在模糊迭代算法中，從第2次迭代開始利用前面實(shí)驗(yàn)中迭代誤差補(bǔ)償后續(xù)實(shí)驗(yàn)，加速收斂，如圖12和14所示.

表1 模糊迭代算法和PD算法對(duì)比

Tab.1 Comparison between fuzzy iterative algorithm and PD algorithm

算法|e|max/N|e|/Nσe/N|e'max|/mmPD算法8.53.24.20.25模糊迭代算法31.22.40.14

圖11 未進(jìn)行模糊補(bǔ)償?shù)牡^程Fig.11 Iterative process without fuzzy compensation

圖12 模糊迭代過程Fig.12 Iterative process with fuzzy compensation

圖13 未進(jìn)行模糊補(bǔ)償?shù)牡^程Fig.13 Iterative process without fuzzy compensation

圖14 模糊迭代過程Fig.14 Iterative process with fuzzy compensation

4 結(jié)論

(1) 對(duì)機(jī)器人末端執(zhí)行器與曲面接觸進(jìn)行受力分析，得到了各個(gè)坐標(biāo)系之間的映射關(guān)系，構(gòu)建了法向力和傳感器測(cè)量力之間的關(guān)系.

(2) 從理論上證明了提出的模糊迭代算法有界收斂，為實(shí)驗(yàn)提供了理論基礎(chǔ)，實(shí)驗(yàn)證明了算法可行性.

(3) 模糊迭代算法表現(xiàn)出較好的跟蹤性能，實(shí)驗(yàn)得到法向力在期望值±3 N內(nèi)波動(dòng).相比傳統(tǒng)的PD算法，接觸力誤差的均方差減少了42%，同時(shí)，曲面的跟蹤精度也得到了提高.

(4) 模糊迭代算法加速了收斂過程，與未進(jìn)行模糊補(bǔ)償?shù)牡惴ㄏ啾龋谶x擇的迭代周期內(nèi)，迭代次數(shù)至少減少了1次.

利用模糊迭代算法得到精確的曲面輪廓為后續(xù)機(jī)器人打磨提供了較好初始軌跡.