楊廣宇, 仇洪冰,2

(1. 西安電子科技大學 通信工程學院, 西安 710071；2. 桂林電子科技大學 信息與通信學院, 桂林 541004)

隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展和廣泛應用，移動設備有限的電池容量成為其使用的瓶頸.無線攜能(SWIPT)技術作為延長低功耗移動設備壽命的一種有效方法，受到極大關注并被廣泛研究.由于無線電傳播的廣播特質,無線信息傳輸極易受到潛在竊聽者的攻擊[1].基于信息論的物理層安全傳輸是一種替代的安全技術，利用信道的內在隨機性以及合法信道與竊聽信道之間的差異性來實現(xiàn)保密信息傳輸.近年來，為確保SWIPT系統(tǒng)中的通信安全， SWIPT與物理層安全傳輸相結合的研究引起學術界和工業(yè)界的關注.多輸入多輸出(MIMO)或多輸入單輸出(MISO) SWIPT系統(tǒng)的相關研究主要集中于發(fā)射功率最小化和保密速率最大化問題[2-7].文獻[6]研究了MISO SWIPT系統(tǒng)的保密速率最大化問題，提出了兩種優(yōu)化方案，一種方案是用Charnes-Cooper變換將原非凸問題轉化為等效的半正定規(guī)劃，進而采用二分法和內點法聯(lián)合優(yōu)化；另一種是采用連續(xù)凸近似算法將原問題轉化為凸問題，直接采用內點法最優(yōu)化.

由于能源短缺和溫室效應問題，移動通信系統(tǒng)的能量效率受到了廣泛的關注，是下一代移動網(wǎng)絡的關鍵性能指標之一.從能量利用效率的角度來看，上述研究工作并不能保證能效最優(yōu).因此，近年來，一些研究者開始關注物理層安全的能效問題.保密能量效率(SEE)定義為保密傳輸速率與總消耗功率之比.文獻[8]研究了MIMO竊聽信道的SEE優(yōu)化問題，提出路徑跟蹤程式算法，該算法采用二次規(guī)劃對可行點進行改進，經(jīng)過有限幾次迭代便可得到局部最優(yōu)解.文獻[9]研究了認知無線電網(wǎng)絡中的SEE優(yōu)化問題，在得到分式函數(shù)等價的相減形式后，提出懲罰函數(shù)與凸差函數(shù)(DCF)規(guī)劃相結合的方案,從而得到原問題的近似凸問題.文獻[10]研究了三節(jié)點MIMO竊聽信道的保密能量效率最大化問題，采用Dinkelbach方法結合泰勒級數(shù)展開法求解問題的近似最優(yōu)解.

有關保密MIMO(MISO)SWIPT系統(tǒng)的能效優(yōu)化問題的研究較少.文獻[11]研究了存在多個竊聽者的MIMO SWIPT系統(tǒng)的能效優(yōu)化問題，其中目標函數(shù)包含凹函數(shù)之差以及多個變量之間的耦合，即使對目標函數(shù)參數(shù)化減式形式等效后，其仍是難以處理的非凸問題.Mei等[11]經(jīng)過等效變換，采用Dinkelbach方法和交替算法得到優(yōu)化解.文獻[11]假定發(fā)送端掌握完全精準的信道狀態(tài)信息(CSI)，但在實際中由于信道估計誤差和反饋延遲，獲得精準的CSI較為困難.因此，在信道存在誤差的情況下，如何實現(xiàn)穩(wěn)健的設計非常重要.

本文在CSI不精準的MIMO SWIPT系統(tǒng)中，提出一種穩(wěn)健的人工噪聲輔助優(yōu)化方案.通過聯(lián)合設計波束成形矩陣、人工噪聲方差矩陣和功率分配(PS)比，以最大化系統(tǒng)最差情況保密能量效率.目標函數(shù)是非線性分式規(guī)劃問題，且由于信道的不確定性以及多個優(yōu)化變量間的相互耦合，導致原保密能量效率最大化問題是非凸的，難以處理.通過去耦變換、S-Procedure 以及一階泰勒級數(shù)展開，把原問題近似等效為帶有線性矩陣不等式(LMI)約束的凸問題，針對等效后近似目標函數(shù)中相關變量的聯(lián)合凸性特點，提出了一種基于Dinkelbach方法的兩級優(yōu)化迭代算法.

1 系統(tǒng)模型和問題描述

考慮下行MIMO無線攜能系統(tǒng).該系統(tǒng)包含一個配備NT個發(fā)射天線的發(fā)射端，一個配備NR個天線的信息和能量接收用戶以及M個竊聽者，每個竊聽者配備NE個天線.發(fā)射端的基帶信號定義為

b=Ws+v

式中：W為波束成形矩陣；s為攜帶保密信息的信號矢量；v為發(fā)射端產(chǎn)生的人工噪聲 (AN) 矢量，是均值為0，協(xié)方差矩陣為V的循環(huán)對稱復高斯隨機矢量，即v～CN(0,V).

用戶接收信號為

(1)

第m個竊聽者接收到的信號為

(2)

m=1,2,…,M

用戶配備有功率分配器，用于對接收到的信號功率進行分流，分流后的一部分功率用于對解碼端接收到的信號進行解碼，一部分功率用于能量接收端對接收信號的能量收獲.分流到用戶解碼端的信號為

(3)

(4)

基于以上設定，系統(tǒng)最差情況保密傳輸速率[12]為

(5)

式中：Ψ={1,2,…,M}.

用戶能量收獲端收獲的功率為

(6)

式中：ζ為能量轉換效率，ζ∈(0,1].系統(tǒng)消耗的總功率定義為[15]

Pt(W,V,ρ)=

ξtr(WWH+V)+NTPA+PC-EEH

(7)

式中：ξ≥1為功率放大器效率的倒數(shù)；PA為每個發(fā)射天線的恒定電路功耗，包括發(fā)射濾波器、混頻器、頻率合成器和數(shù)字模擬轉換器的功率消耗；PC為與發(fā)射天線數(shù)目無關的基本電路功率消耗.不失一般性，本文假定ζ=1,ξ=1.

在CSI非精準情況下，系統(tǒng)的最差情況保密能量效率定義為最差情況保密傳輸速率與所消耗總功率之比：

(8)

最差情況保密能量效率最大化問題可以描述為

(9)

s.t.

(10)

tr(WWH+V)≤Pmax

(11)

V0，0≤ρ≤1

式中：式(10)表示用戶能量接收端最小能量收獲約束；式(11)是最大發(fā)射功率約束；Emin和Pmax分別為最小收獲能量和最大發(fā)送功率.

2 問題變換和算法

2.1 目標函數(shù)轉換

由于多個優(yōu)化變量之間的相互耦合，信道的不確定性以及目標函數(shù)的分式形式，式(9)是難于直接求解的非凸問題.由Dinkelbach 方法[14]，根據(jù)分式規(guī)劃和參數(shù)規(guī)劃之間的關系，首先將原分式規(guī)劃問題轉換為等效的參數(shù)規(guī)劃問題，再對該等效問題求解.

引理定義關于λ的參數(shù)函數(shù)：

(12)

式中：Π是式(9)的可行域.對于給定的λ，式(12)的最優(yōu)解表示為(W*(λ),V*(λ),ρ*(λ))，則求解式(9)等價于找到如下方程的根：

F(λ*)=RS(W*(λ*),V*(λ*),ρ*(λ*))-

λ*Pt(W*(λ*),V*(λ*),ρ*(λ*))=0

(13)

式中：λ*是式(9)的最優(yōu)值.證明方法參見文獻[14-15].

上述引理給出了求解式(9)的方法.首先給定λ，求解優(yōu)化式(12)，再利用Dinkelbach方法求方程F(λ)=0的根得到最優(yōu)值λ*.即采用迭代方法求解最優(yōu)(W,V,ρ)及對應的最大SEE.

基于以上分析，本文重點研究固定λ值不變時式(12)的求解.

2.2 內層問題的泰勒級數(shù)展開和LMI近似

(14)

(15)

tr(Q+V)≤Pmax

(16)

Q0,V0,q≥1

f4=λ[tr(Q+V)+NTPA+PC]

引入輔助變量β1≥0，β2≥0，式(14)等效為

(17)

s.t. 式(15)，(16)

f1≥β1

(18)

(19)

容易看出，式(17)的目標函數(shù)中，f2和f4是關于(Q,V)的線性函數(shù)，而f3中q和(Q,V)是相互耦合的，f3是非凸的.下文通過等效變換解決f3中變量間的耦合問題.引入輔助變量α≥0，式(17)變換為

(20)

s.t. 式 (15)，(16)，(19)

(21)

式(21)是非凸不等式，可重寫為

(22)

上式右邊是雙線性乘積，仍不是凸約束.引入輔助變量η≥0，式(22)重構為

(23)

η2≤αq

(24)

式(23)是非凸的，由于η2是凸函數(shù)，在給定點η(k)處，式(23)的凸近似為

2η(k)η-(η(k))2

(25)

式中：k為一階泰勒級數(shù)近似的迭代次數(shù).注意到αq=0.25[(α+q)2-(α-q)2]，帶入(24)整理后為二階錐(SOC)約束：

(26)

至此，通過引入輔助變量α和η并通過等效變換，式(20)的目標函數(shù)成為凹函數(shù).

式(18)中f1是兩個凹函數(shù)之差，因此是非凸的.對f1第二項的凹函數(shù)做線性化近似，對給定點(V(k),q(k))進行一階泰勒級數(shù)展開，f1關于 (Q,V,q)的凸近似為

(27)

式中：

得到

(28)

式(19)仍然是非凸的，可以重寫為

(29)

m∈Ψ,GEm∈Ωm

引入輔助變量χm≥0,ωm≥0,m=1,2,…,M，則式(29)等效重構為

β2+lbωm-χm≥0

(30)

(31)

(32)

GEm∈Ωm,m=1,2,…,M

引理1[4]對任意半正定矩陣A，1+tr(A)≤|I+A|，當且僅當Rank(A)≤1時等式成立.

對于式(31)，由引理1可得如下關系

(33)

令

(34)

利用引理2和關系式

tr(ABCD)=vec(AH)H(DT?B)vec(C)

式(33)和(34)變換為等效的線性矩陣不等式(LMI)：

(35)

為了處理式(32)的非凸性，首先將不等式左邊項進行近似線性變換，將其在給定點(Q(k),V(k))進行一階泰勒級數(shù)展開：

(36)

將式(36)帶入式(32)整理后得

(37)

GEm∈Ωm,m=1,2,…,M

(38)

m∈1,2,…,M

經(jīng)過上述變換后，在給定點(Q(k),V(k),q(k),η(k))，式(12)可近似等效為

(39)

s.t. 式(16)，(17)，(28)，(29)

式(31)，(33)，(38)，

β1≥0,β2≥0,α≥0,η≥0

χm≥0,ωm≥0,bm≥0,cm≥0

2.3 基于Dinkelbach方法的迭代算法

基于以上分析，最差情況SEE優(yōu)化步驟可以描述如下.

(2) 外層優(yōu)化.Dinkelbach方法迭代求解方程F(λ)=0.

具體算法如下：

(1) 初始化: 迭代次數(shù)n=0,λ(0)>0,ε1>0,ε2>0,(Q(0),V(0),q(0),η(0)).

(2) 初始化:k=0,D(n,k)=0.

(4) 更新k=k+1.

(5) 如果|D(n,k)-D(n,k-1)|≤ε1成立，(Q(0),V(0),q(0),η(0))=(Q(k),V(k),q(k),η(k))，轉步驟(6)；否則轉至步驟(3).

(6)F(λ(n))=D(n,k).

(8) 更新n=n+1.

上述算法中，ε1和ε2是預先給定的閾值.

由上述算法容易看出，第k+1次迭代的初始值(Q(k),V(k),q(k),η(k))是前一次迭代內點法求解式(39)的最優(yōu)解，保證了F(λ)的單調非減性，由于最大發(fā)射功率的限制，F(xiàn)(λ)收斂于某一固定值，且外層的Dinkelbach方法是收斂的[15],因此，該算法最終達到收斂.

對于更具有普遍性的多用戶MIMO(MISO)SWIPT系統(tǒng)[18]，若考慮系統(tǒng)的保密傳輸并采用文獻[15]所述功率消耗模型，基于Dinkelbach方法最大化系統(tǒng)的SEE時，內層優(yōu)化常采用交替優(yōu)化算法處理優(yōu)化變量間的耦合，計算復雜度較高.應用文中所提變換方法去除變量間的耦合，或采用類似方法處理由于用戶間干擾所造成的非凸性問題，較易實現(xiàn)優(yōu)化變量間的聯(lián)合凸優(yōu)化，從而降低優(yōu)化時的計算復雜度.

3 仿真結果及分析

信道考慮小尺度衰落，是均值為0，方差為1的瑞利衰落，即信道矩陣HS和GEm的元素是均值為0，方差為1的獨立同分布復高斯隨機變量.

首先驗證算法的收斂性能.針對4次隨機產(chǎn)生的信道，圖1為NT=6,Emin=0.5 W,δ2=0.03,最大發(fā)射功率為0.8 W時所提算法的收斂性，可以看出，在不同信道實現(xiàn)時，該算法僅需2～3次迭代便可收斂.

圖1 所提出算法收斂性Fig.1 Convergence of the proposed algorithm

圖2 最大發(fā)送功率對SEE的影響Fig.2 The maximum transmit power versus the SEE

圖2中，NT=6,Emin=0.5 W.從圖2中看出，與無輔助AN優(yōu)化方案相比，采用輔助AN方法可極大提高系統(tǒng)最差情況SEE.這是由于引入AN可以有效地“惡化”偷聽者對信息的接收.圖2還顯示了所提方案和保密速率最大化(SRM)方案[4]相對于最大發(fā)射功率的性能.在低功率區(qū)，兩種方案的SEE都以相同的增長率增長，說明在這一區(qū)域，最大功率傳輸是能量效率最大的.隨著發(fā)射功率進一步增加到較高功率區(qū)，本文方案的SEE保持穩(wěn)定不變，而SRM方案的SEE是減小的.這是因為在SRM方案中，保密速率的增長率低于最大發(fā)射功率的增大率，從而導致能量效率降低.

圖3給出NT=6,Emin=0.5 W時，在CSI精準和δ2=0.05，0.15的信道情況下，最差情況SEE與功率的關系.從圖中看出，最大發(fā)送功率相同時，信道不確定性越小，SEE性能損失越小，隨著信道不確定性的增大，最差情況SEE是顯著減小的.這是因為信道不確定性越高，在滿足能量收獲要求的同時，發(fā)送端需要更多的功率來避免竊聽者的偷聽，因此，相同最大發(fā)射功率時，和精準信道相比，不確定性越高的信道其保密速率越低，從而它的SEE也會越低.從圖3還可以看出，與非穩(wěn)健設計相比，在相同信道誤差時，文中所提穩(wěn)健算法的SEE性能顯著提高，且隨著信道誤差的增加，這一改善愈加明顯.

圖4中，δ2=0.03,Emin=0.5 W.從圖中可以觀察到，與NT>8相比，NT=8時可獲得更大的能量效率.這是因為發(fā)射端若配備更多的發(fā)射天線，會增加發(fā)射端的電路功耗，從而導致系統(tǒng)保密能量效率的降低.因此，從能量效率的角度來看，發(fā)射端配備大量的天線可能會減少系統(tǒng)的保密能量效率.

圖3 不同信道不確定性情況下最大發(fā)射功率對SEE的影響Fig.3 The maximum transmit power versus the SEE under different channel uncertainty bound

圖4 發(fā)射天線數(shù)目不同時最大發(fā)射功率對SEE的影響Fig.4 The maximum transmit power versus the SEE with different numbers of transmit antennas

4 結語

針對MIMO竊聽信道 SWIPT系統(tǒng)，研究了在信道狀態(tài)信息不準確情況下系統(tǒng)的能量效率問題.通過分式函數(shù)的減式等效、等效的去耦變換、一階泰勒級數(shù)展開和S-Procedure變換，原問題變?yōu)橐滋幚淼慕频刃箖?yōu)化問題，針對最后形成的目標函數(shù)的凸性特點，提出了一種兩級優(yōu)化迭代算法.仿真結果和對比實驗驗證了本文提出的人工噪聲輔助、波束成形、功率分配因子聯(lián)合優(yōu)化方法在信道存在誤差的場景下對系統(tǒng)提高最差情況SEE性能的有效性.