邢智勇

(邵陽學院 理學院,湖南 邵陽,422000)

矩陣方程X±A*X-1A=I在電子網(wǎng)絡[1]、梯形網(wǎng)格[2]、動態(tài)規(guī)劃[3-4]、統(tǒng)計學[5-6]、排隊論[7]、高斯反過程[8]、隨機滲入[9]等領域有著廣泛的應用。許多學者對它們展開了系統(tǒng)而深入的研究。文獻[10]證明了矩陣X+A*X-1A=I存在Hermitian正定解的充要條件是矩陣A的數(shù)值域包含在復平面中半徑為1/2的閉圓盤中(即ω(A)≤1/2),這里矩陣A是可逆的。文獻[11]給出了矩陣方程X+ATX-1A=I存在 Hermitian 正定解的一些充分條件和必要條件。文獻[12]證明了矩陣方程X=Q+NX-1N*同時存在最大解和最小解。隨后許多學者提出了計算這些矩陣方程 Hermitian 正定解的一些算法[13-14]。文獻[15]給出了矩陣方程X±A*X-1A=IHermitian，正定解界的估計。最近有許多學者研究了上述兩個矩陣方程的一些推廣形式[16-18]。然而，迄今為止鮮有關于矩陣方程

X+A*X-1A-B*X-1B=I

(1)

Hermitian 正定解的研究。 若取A=0,則矩陣方程(1)轉化為X-B*X-1B=I。若取B=0,則矩陣方程(1)轉化為X+A*X-1A=I。因此，矩陣方程(1)可視為上述兩類矩陣方程的綜合與推廣。

本文研究了矩陣方程(1)Hermitian 正定解的存在性，獲得了矩陣方程(1)存在 Hermitian 正定解的一些充分條件和必要條件。

1 矩陣方程(1)存在Hermitian正定解的必要條件

為了便于獲得矩陣方程(1)存在Hermitian正定解的必要條件,先證明如下引理。

引理1 若X為n階Hermitian正定矩陣,則 trX·trX-1≥n2,這里trX為矩陣X的跡。

證明 設λ1,λ2,…,λn為Hermitian正定矩陣X的全體特征值,則1/λ1,1/λ2,…,1/λn為矩陣X-1的全體特征值。于是

運用引理1,可以獲得方程(1)存在Hermitian正定解的必要條件。

trIn=trX+tr(A*X-1A)-tr(B*X-1B)≥

trX+[λmin(A*A)-λmax(B*B)]trX-1≥

2 矩陣方程(1)存在Hermitian正定解的充分條件

為了便于理論分析,定義如下2個映射:

F(X)=I-A*X-1A+B*X-1B
G(X)=A(I-X+B*X-1B)-1A*。

定理3 若矩陣方程X+A*X-1A=I存在Hermitian正定解,則矩陣方程(1)存在Hermitian 正定解。

證明 設X1為矩陣方程X+A*X-1A=I的1個Hermitian正定解。記

Ω={X:X1≤X≤I+B*X1-1B}。

顯然,Ω是一個有界的閉凸集且F(X) 在Ω上連續(xù)。對任意X∈Ω有

F(X)≥I-A*X-1A≥I-A*X1-1A=X1
F(X)≤I+B*X-1B≤I+B*X1-1B

因此F(Ω)?Ω。由Brouwer 不動點定理知F(X) 在Ω上存在不動點,此不動點即為矩陣方程(1)的Hermitian正定解。

定理4 若ω(A)≤1/2,則矩陣方程(1)存在Hermitian正定解。

證明 文獻[10]證明了當ω(A)≤1/2時矩陣X+A*X-1A=I存在Hermitian正定解。由定理3知此時矩陣方程(1)存在Hermitian正定解。

證明 考慮如下標量方程:

λ2-λ+λmax(A*A)-λmin(B*B)=0

(2)

λ2-λ+λmin(A*A)-λmax(B*B)=0

(3)

因為λmax(A*A)-λmin(B*B)≤1/4, 方程(2)有2個實根：

同理，方程(3)有2個實根：

因λmin(A*A)-λmax(B*B)>0,從而β2≥β1≥α2≥α1>0。

記Ω′=[α1I,α2I], 則Ω′為有界的閉凸集且G為Ω′上的連續(xù)映射。由定義

于是

從而

A*(α1I)-1A≥I-α1I+B*(α1I)-1B
(α1I)-1≥A-*(I-α1I+B*(α1I)-1B)A-1
α1I≤A(I-α1I+B*(α1I)-1B)-1A*

因此，α1I≤G(α1I)。 類似可得α2I≥G(α2I)。由映射G在Ω′上單調遞增可得,對 ?X∈Ω′，有

α1I≤G(α1I)≤G(X)≤G(α2I)≤α2I,

因此G(Ω′)?Ω′,由Brouwer 不動點定理知G(X) 在Ω′上存在不動點,此不動點即為矩陣方程(1)的Hermitian正定解。

3 數(shù)值例子

本小節(jié)將給出一些數(shù)值例子驗證本文結論的正確性。

例1 令

矩陣A的全體特征值為{1.417 1,5.251 3,8.331 6}, 因此，A為Hermitian正定矩陣。經(jīng)計算可得 trA·trA-1=15.241 9>32=9。

例2 考慮矩陣方程(1),其中,

均為矩陣方程(1)的Hermitian正定解。

例3 考慮矩陣方程(1),其中，

由定理5可得矩陣方程(1)存在Hermitian正定解。實際上,直接計算可得

均為矩陣方程(1)的Hermitian正定解。