丁嘉迪，沈吉云，張碩,，紀宏飛，王琳琳

（1.中海油服油田化學研究院，河北三河 065201；2.中國石油集團工程技術(shù)研究院有限公司，北京 100101；3.中國石油大學（北京），北京 100083）

0 引言

固井水泥漿凝固后形成的水泥環(huán)應該對地層進行有效的層間封固，并為套管提供保護和支撐。其能否保持密封完整性，對后續(xù)鉆井及油氣開采至關(guān)重要。水泥環(huán)密封失效將引起地層流體泄漏，造成油氣資源的浪費，甚至導致全井報廢。2010 年BP公司（BP Amoco 英國石油公司）在墨西哥灣的鉆井平臺發(fā)生事故就與水泥環(huán)密封失效有關(guān)[1]。

隨著國內(nèi)外勘探開發(fā)逐漸轉(zhuǎn)向?qū)ι顚印⒌蜐B透、非常規(guī)以及海洋油氣的開采利用，長水平井、低壓易漏井、非常規(guī)油氣井、儲氣庫井等復雜井日益增加，同時安全環(huán)保的要求日益嚴格，固井后水泥環(huán)的密封性面臨許多新的挑戰(zhàn)[2]，深井超深井由于井深較深，井筒內(nèi)流體密度變化、生產(chǎn)過程高溫油氣上升等均會導致井筒溫度、壓力大幅變化，易出現(xiàn)環(huán)空帶壓、井口抬升等問題[3-4]。頁巖氣[5]、致密油氣井普遍采用水力壓裂的開發(fā)方式，壓裂壓力高、井筒壓力反復變化，水泥環(huán)容易產(chǎn)生密封失效。對實際工況下水泥石力學行為進行準確描述是計算水泥環(huán)在復雜工況下的應力分布、預測完整性失效的前提。

水泥石的組成包括固體水泥石骨架和孔隙內(nèi)流體，通過微觀掃描電鏡[6]觀測驗證水泥石存在孔隙結(jié)構(gòu)。油井井筒所處的深層地下往往為高水壓環(huán)境，水泥石凝固后其內(nèi)部孔隙經(jīng)常處于飽水帶壓力的情況，其力學性能較常壓下的水泥石有很大不同。而考慮有孔隙流體的水泥石實際承受的壓力包括水泥石在井下的孔壓、水泥石自重以及圍巖的壓力。緊挨圍巖的水泥石內(nèi)流體壓力與地層流體壓力保持一致，水泥石骨架承受的載荷實際上是有效應力。目前國內(nèi)固井的一些固井水泥石力學性能評價，只將水泥石考慮成均質(zhì)固體[2-3]，清華大學高岳[7]以及中國石油大學（北京）王琳琳、中石油工程技術(shù)研究院[8-9]已經(jīng)開始將多孔介質(zhì)理論應用于油井或者頁巖領(lǐng)域進行力學分析。

國外研究中，Terzaghi[10]最早于1923 年提出了有效應力原理，這是最早考慮了孔隙流體對材料影響的理論，這一理論在1936 年由Rendulic[11]從一維推廣到了三維。Biot[12]在1940 年針對多孔介質(zhì)進行進一步研究，發(fā)現(xiàn)孔隙壓力對有效應力的影響存在一個系數(shù)，被稱為Biot 系數(shù)。1988 年，Detournay 和Cheng[13]根據(jù)Biot 理論，將充滿流體的巖石假定為具有可壓縮特性的多孔彈性材料，使用拉普拉斯變換推導得到鉆井和垂直鉆孔加壓引起的應力、應變和孔隙壓力的理論模型。20 世紀90 年代初期，Zimmerman、Berryman[14-15]研究了有效應力作用下非均質(zhì)多孔巖石的表現(xiàn)。1993年，Detournay 和Cheng[16]的研究顯示，孔隙壓力的增加會引起巖石的膨脹，如果在不排水的條件下，即流體不能自由流入和流出時，巖石的壓縮會導致孔隙壓力的增加；其次在孔隙內(nèi)流體與外界流通時，巖石的剛度比不流通的巖石更小。1995 年，Vardoulakis 和Sulem[17]將多孔介質(zhì)彈性力學應用于地質(zhì)力學分析中。Coussy 在前人的理論基礎(chǔ)上，考慮了溫度對多孔介質(zhì)力學行為的影響，并建立了孔隙介質(zhì)模型[18-19]。曾強[20]等人利用重力法、壓汞法、氮吸附解吸附法測量了水泥石水化過程孔隙結(jié)構(gòu)的變化。Ghabezloo 等人進行過水泥石的多孔介質(zhì)力學實驗的相關(guān)研究，測量得到水泥石的Biot 系數(shù)和本構(gòu)方程參數(shù)，驗證了水泥石力學性能受孔隙水壓的影響，并針對排水、不排水實驗條件對水泥石有效模量進行了進一步探索[21-22]，后續(xù)又在此基礎(chǔ)上與Vu[23]等人研究了油井水泥在不同溫度下養(yǎng)護不同時間后水泥石體積應變的非線性規(guī)律。以上各研究表明，水泥石作為一種多孔介質(zhì)會受到孔隙水壓的影響，從而改變其力學性能。

為了準確描述水泥石在不同工況下的力學性能，基于多孔介質(zhì)力學理論，開展了一系列考慮孔隙水壓的水泥石三軸力學實驗[24-25]，得到水泥石在不同條件下的破壞強度，進而建立了基于有效應力原理的水泥石摩爾-庫倫破壞準則，實現(xiàn)了水泥石在孔隙水壓、圍壓作用下真實的強度及其力學行為描述，為井筒水泥在不同工況下的力學分析與預測提供了理論支持及數(shù)據(jù)支撐。

1 實驗理論

1.1 多孔介質(zhì)力學

多孔介質(zhì)力學理論是在彈性力學理論的基礎(chǔ)上，將固體物質(zhì)內(nèi)部的孔隙結(jié)構(gòu)考慮進來。孔隙內(nèi)流體的壓力會對水泥石整體力學性能產(chǎn)生影響。基于Biot 理論的多孔介質(zhì)力學本構(gòu)模型如下[12]。

式 中，σ'為 有 效 應 力，MPa；K為 體 積 模 量，MPa；P為孔隙水壓，MPa；ε為正應變，無量綱；b為 Biot 系數(shù)；φ為孔隙率，無量綱；N為Biot模量，MPa；G為剪切模量，MPa；τij為剪切應力，MPa；γ為剪切應變，無量綱。

其多孔介質(zhì)對應的是固井水泥石，孔隙內(nèi)流體是水。因為流體即孔隙水不抗剪切，所以在公式（1）中，孔隙水壓（以下簡稱孔壓）只對水泥石正應變產(chǎn)生影響，不會影響剪應變。大量前人實驗和實踐表明，Biot 系數(shù)為1 時，有效應力公式在飽和多孔介質(zhì)中適用。所以在考慮剪切破壞準則時，可以將多孔介質(zhì)有效應力原理簡化為Terzaghi 有效應力原理[10，18]。選擇壓力為正，基于Terzaghi 有效應力原理的狀態(tài)方程為：

式中，σ為總應力，MPa。由公式（2）可以看出，在孔壓的影響下，總應力不變時，固體骨架受到的有效應力σ'隨孔壓增大而減小。有效應力不變時，水泥石整體強度隨孔隙水壓的增大而增大。在多孔介質(zhì)內(nèi)存在飽和流體且與外界流體相通時，孔壓只與孔隙內(nèi)外相通流體的壓力有關(guān)，實驗中的這種情況簡稱為排水條件[26]，在多孔介質(zhì)本身與外界不連通的情況稱為不排水條件[27]。因此，在實驗中，排水條件下的孔隙水壓變化可以通過外界流體壓力被定量控制。

在排水條件下，水泥石三軸破壞實驗中，軸向有效應力為：

式中，σ1'為最大主應力有效應力，MPa；σ1為最大主應力，MPa；徑向圍壓為：

式中，σ2為第二主應力。徑向有效應力為：

排水三軸破壞實驗的應力應變曲線中，有效差應力為：

在不排水三軸破壞實驗的應力應變曲線中，差應力為：

1.2 摩爾-庫倫準則

摩爾-庫倫破壞準則（Mohr-Coulomb 準則）是判斷水泥石力學狀態(tài)比較常用的一種破壞準則。Mohr[28]假定，當試件的某一平面由于剪應力過大而發(fā)生剪切破壞時，這種破壞可以用函數(shù)關(guān)系表示：

式中，τ為剪切應力，MPa；σ為正應力，MPa。

因為τ的正負號僅僅影響滑動的方向，所以僅僅考慮τ的數(shù)值。在τ-σ平面內(nèi)，上式表述為一條曲線（包絡線）。該曲線將應力狀態(tài)的安全區(qū)和破壞區(qū)分割開來，代表材料內(nèi)部任意一點的應力狀態(tài)（σ，τ）位于曲線之下時，破壞不發(fā)生；反之，破壞會發(fā)生。低圍壓條件下，函數(shù)f（σ）表現(xiàn)為線性，摩爾-庫倫準則可以表示為[28]。

式中，C為內(nèi)聚力；φ為內(nèi)摩擦角。式（9）中的應力替換為有效應力得到：

其中，σ'的三軸摩爾-庫倫公式為

式中，2β為摩爾圓與包絡線切點方向。通過應力可以反推出水泥石的內(nèi)聚力C和內(nèi)摩擦系數(shù)tanφ。從公式（11）可以看出，水泥石的摩爾-庫倫準則與軸向破壞強度和圍壓有關(guān)。根據(jù)摩爾-庫倫準則，摩爾圓的直徑是水泥石的差應力破壞強度，即式（6）、式（7），摩爾圓左端與x軸交點為圍壓。由實驗條件和實驗結(jié)果可畫出摩爾圓，從而獲得包絡線。

2 實驗描述

2.1 實驗設(shè)備及試樣

實驗采用朝陽實驗儀器有限公司的TAW-1000微機控制電液伺服水泥石三軸試驗機系統(tǒng)，具備開展孔壓實驗的能力。實驗樣品采用嘉華G 級水泥與0.2%高溫穩(wěn)定劑DRK-3S、0.3%分散劑DRS-1S 和44%水調(diào)配的水泥漿進行制作。將攪拌均勻的水泥漿導入模具，模具高度為52 mm，直徑為25.4 mm。將模具密封壓蓋后放入常壓養(yǎng)護釜，在80 ℃下養(yǎng)護7 d[29]。7 d 后從養(yǎng)護釜中取出模具，放入涼水中冷卻，然后打開模具取出水泥石，采用比重法對水泥石試樣進行測量，得到初始濕重均值為47.80 g，干燥后均值為40.21 g，真空飽水濕重均值為47.59 g，干重濕重差值均值為7.38 g，水泥石密度為1.9 g/cm3。由干燥水泥石重量和真空飽水水泥石重量差可知水泥石中孔隙水重量為7.38 g，再由含水率公式（12）得到水泥石的含水率為18.35%，且證明直接養(yǎng)護得到的水泥石試樣飽水程度良好。

式中，φw為含水率；mw為水泥石中自由水質(zhì)量，g；ms為干水泥石質(zhì)量，g。

實驗證明水泥石在水浴箱中養(yǎng)護飽水效果比真空飽水效果更好。

2.2 實驗方案

實驗測量裝置為應變傳感器，可以測量得到水泥石的軸向和徑向應變。圍壓和孔壓加載方式采用應力控制，設(shè)計實驗加載速度為50 N/min；軸向加載速率采用位移控制，加載速率為0.05 mm/min，軸向應變測量裝置量程在4 mm，1～3 mm 范圍內(nèi)為測準區(qū)域。所以，應變測量裝置從1 mm 左右開始測量。為避免超出測準區(qū)域，在應力應變曲線沒有下降趨勢的情況下，選擇應變3%作為臨界值。設(shè)置實驗條件如表1 所示。

3 結(jié)果分析

3.1 應力-應變數(shù)據(jù)

為了對此配方的水泥石在不同圍壓條件下力學性能進行描述，進行了排水孔壓0.1 MPa 三軸破壞實驗，數(shù)據(jù)如表2 所示。在排水條件下，為了能更明顯地闡述水泥石在不同圍壓下的力學表現(xiàn)，取各圍壓條件下與平均值最接近的水泥石試樣實驗過程原始數(shù)據(jù)，獲得應力應變曲線如圖1 所示。

表1 試樣信息及實驗條件

表2 完全排水不同圍壓條件三軸力學實驗結(jié)果

圖1 完全排水條件下水泥石不同圍壓三軸強度破壞實驗應力應變曲線

由圖1 可以看出，圍壓越高，水泥石的破壞強度越高。由表2 可知，圍壓為20 MPa 時，水泥石差應力破壞強度均值達到66.5 MPa；圍壓為10 MPa 時，水泥石破壞強度均值為56.2 MPa；圍壓為5 MPa 時，水泥石破壞強度均值為52 MPa；圍壓為0.1 MPa，即單軸實驗時，水泥石破壞強度均值為38.4 MPa。三軸試驗機圍壓加載在水泥石3個正應力方向，水泥石孔壓為常壓并保持不變，受圍壓作用水泥石整體體積變小，水泥石骨架在圍壓作用下更密實，孔隙變小，飽和水泥石中流體被擠壓，離開水泥石內(nèi)部進入三軸實驗機孔隙水壓的水壓箱中，水泥石密度增加，強度增強。在摩爾-庫倫準則中，圍壓越大，差應力峰值強度越大，且構(gòu)成的摩爾圓半徑越大，實驗結(jié)論與理論相符。

為了探究孔隙水壓對水泥石力學性能的影響，在圍壓10 MPa 的實驗條件下，進行不同孔隙水壓的三軸破壞實驗，具體的實驗數(shù)據(jù)如表3 所示。

表3 圍壓10 MPa 下不同孔隙水壓三軸力學實驗結(jié)果

由表3 可知，圍壓為10 MPa 時，孔壓為8、5和0.1 MPa 的水泥石差應力峰值均值分別為55.7、56.6 和63.2 MPa（計算時去掉與均值相差過大的離散數(shù)據(jù)）。根據(jù)水泥石差應力峰值均值數(shù)據(jù)，水泥石的破壞強度受到孔隙水壓的影響，孔隙水壓越大，水泥石破壞強度越低。根據(jù)式（3）、（6）得到水泥石軸向破壞應力值在孔壓為8、5 和0.1 MPa時分別為59.3、62.3 和66.1 MPa，說明水泥石骨架的破壞強度隨著孔壓的增加而逐漸降低。由此認為，將水泥石骨架理解為框架連接，圍壓從外部加載，使框架被壓緊，更不易破壞，但是孔隙水壓從框架之間加載，作用于框架的各個方向，使壓緊的框架變松散，從而使水泥石骨架的破壞強度降低，導致整體水泥石強度降低?；诙嗫捉橘|(zhì)理論的摩爾-庫倫準則理論也能解釋這一現(xiàn)象：相同圍壓時，孔壓越大，破壞強度減小，由式（5）可知，最小主應力的有效應力值減小，導致摩爾圓整體左移且半徑減小，而對應的包絡線斜率降低，意味著內(nèi)摩擦角的減小，材質(zhì)更加松散。

根據(jù)表3 可知，在不同孔壓條件下，水泥石的三軸強度破壞實驗的應力-應變變化如圖2 所示。由圖2 可知，圍壓為10 MPa 排水三軸實驗中，水泥石差應力破壞強度與孔壓是具有一定關(guān)系的。隨著孔隙水壓的增加，孔隙內(nèi)部流體對水泥石骨架的作用力增加，水泥石骨架外擴，孔隙體積逐漸變大。因為外部圍壓限制了孔隙體積的增加，所以水泥石整體體積應變小于加載圍壓時的體積應變。

圖2 圍壓10 MPa 水泥石不同孔壓三軸強度破壞實驗應力應變曲線

3.2 水泥石摩爾-庫倫準則分析與應用

為了驗證基于多孔介質(zhì)力學的摩爾-庫倫準則的實際意義，設(shè)計實驗圍壓不同，孔隙水壓不同的四組排水三軸破壞實驗，數(shù)據(jù)如表4 所示。

表4 排水條件下不同孔隙水壓三軸力學實驗結(jié)果

由表4 數(shù)據(jù)畫出基于有效應力的摩爾庫倫圓如圖3 所示。圖3 中顯示圍壓與孔壓的壓差越高，水泥石的破壞強度越高。由公式（6）和（7）可知，水泥石骨架的破壞強度是最大主應力減去孔隙水壓。當圍壓與孔壓的壓差相同時（即摩爾圓的左端起點一致），不同圍壓下的差應力（摩爾圓大?。┮惨恢?，這證明實驗規(guī)律符合基于多孔介質(zhì)力學的摩爾-庫倫準則。

對養(yǎng)護7 d 的水泥石在不同圍壓和孔隙水壓條件下進行實驗，畫出摩爾庫倫圓，并對所有的摩爾圓進行切線線性回歸得到摩爾-庫倫包絡線，如圖4 所示。

圖3 水泥石排水三軸強度破壞實驗摩爾圓

圖4 油井水泥石排水條件下三軸強度破壞實驗有效應力摩爾庫倫準則

基于有效應力原理，將實驗數(shù)據(jù)代入式（10）和式（11），計算出水泥石骨架的內(nèi)聚力為13.3 MPa，內(nèi)摩擦系數(shù)為0.5516。最后確定純油井水泥石作為多孔介質(zhì)的摩爾-庫倫破壞準則為如下。

為了證明不排水試驗與排水試驗水泥石破壞準則存在差異，進行不同圍壓不排水三軸試驗，得到數(shù)據(jù)如表5 所示。

表5 不排水三軸力學破壞強度實驗結(jié)果

表5 表明圍壓超過5 MPa 之后，圍壓越高，剪應力峰值數(shù)據(jù)變化浮動，沒有呈現(xiàn)出遞增的趨勢。摩爾圓半徑變化不大是這種現(xiàn)象的直觀表現(xiàn)，如圖5 所示。圖5 中的摩爾圓分布驗證了線性摩爾-庫倫準則不適合高圍壓不排水三軸試驗，高圍壓時摩爾圓切線與低圍壓摩爾圓無法形成一條直線，且圍壓越高的摩爾庫倫圓，相互之間的切線越趨于平行x 軸，符合非線性摩爾庫倫包絡線。

圖5 水泥石不排水條件下三軸強度破壞實驗摩爾-庫倫圓

4 結(jié)論

1.排水實驗條件下孔隙水壓是影響水泥石破壞強度的因素。圍壓相同時，隨著孔壓增大，水泥石骨架破壞強度逐漸降低。圍壓和孔壓壓差相同時，水泥石破壞強度不變。

2.不排水實驗條件下孔隙水壓隨外壓變化而變化。數(shù)據(jù)顯示，高圍壓條件下的破壞行為不符合線性摩爾庫倫準則，如果用線性摩爾庫倫準則進行預判，會高估封閉條件下水泥石的破壞強度。

3.與不排水實驗數(shù)據(jù)圖對比發(fā)現(xiàn)，排水實驗水泥石即使在高圍壓條件下也能符合線性摩爾-庫倫準則，摩爾圓半徑隨著右移逐漸增大，水泥石的破壞強度逐漸增加。

4.該次實驗獲得常規(guī)G 級水泥石骨架內(nèi)聚力為13.3 MPa，內(nèi)摩擦系數(shù)為0.55；建立基于有效應力的純油井水泥摩爾庫倫破壞準則。