周文欣

【摘要】以探究直線的非標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中的幾何意義的微專題設(shè)計為例，堅持以學(xué)生為主的原則，設(shè)計出符合學(xué)情，能提高學(xué)生思考與歸納能力的微專題.設(shè)計微專題遵守循序漸進(jìn)的原則，從原始題目得到啟發(fā)，對題目進(jìn)行變式，層層遞進(jìn)，讓學(xué)生參與探究過程，學(xué)會歸納方法，總結(jié)技巧，并能解決這一類型的問題.學(xué)生能從中體會數(shù)學(xué)思想，感受數(shù)學(xué)樂趣.教師也能在設(shè)計微專題的過程中，換位思考，設(shè)計出更加貼近學(xué)生情況的題目，整個設(shè)計過程能促進(jìn)教師專業(yè)提升。

【關(guān)鍵詞】微專題設(shè)計;直線非標(biāo)準(zhǔn)的參數(shù)方程;幾何意義

學(xué)生拿了一道關(guān)于直線的參數(shù)方程的題目以及參考答案過來，問道：“老師，為什么算線段|AB|的長時， |t1t2|這里要乘以 5？”這個是非標(biāo)準(zhǔn)形式的參數(shù)方程，但是這個傾斜角并不是特殊角，所以不知道這條直線傾斜角的正弦值和余弦值，從而無法寫出直線的標(biāo)準(zhǔn)方程，這樣子 就沒有書本上說的幾何意義，那到底怎么做呢？答案上為什么最后還要乘以 呢？

具體的問題和解答如下：

問題：已知直線參數(shù)方程為，它與曲線交于A ，B 兩點(diǎn)，求|AB|的長。

解：把直線的參數(shù)方程對應(yīng)的坐標(biāo)代入曲線方程并化簡得

設(shè)A ，B 對應(yīng)的 t1、 t2，則 ，

所以，線段|AB|的長為

因?yàn)檫@一道題以及學(xué)生出現(xiàn)的情況，我設(shè)計了一個關(guān)于探究直線的參數(shù)方程中t 幾何意義的微專題。

一、微專題的教學(xué)設(shè)計

直線的參數(shù)方程主要解決線段的長度以及線段與線段之間的問題，利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，能夠大大地減少計算量。同時，這也要結(jié)合轉(zhuǎn)化思想和數(shù)學(xué)結(jié)合的思想，下面是探究直線非標(biāo)準(zhǔn)形式下參數(shù)方程 的幾何意義的微專題過程。

問題1：已知直線參數(shù)方程為

它與曲線交于 A， B兩點(diǎn)，求 |AB|的長。

分析：我們發(fā)現(xiàn)，根據(jù)直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式下|t|的幾何意義，利用公式和韋達(dá)定理可以解得|AB|的長度。

解：把直線的參數(shù)方程對應(yīng)的坐標(biāo)代入曲線方程并化簡得

設(shè) A、B 對應(yīng)的 t1、t2 ，則，

所以，線段 的長為

問題2：已知直線參數(shù)方程為（t為參數(shù)），它與曲線交于 A， B兩點(diǎn)，求|AB|的長。

分析：我們可以發(fā)現(xiàn)，所以這不是標(biāo)準(zhǔn)形式。如果我們知道直線的一個點(diǎn)和傾斜角，我們可以寫出直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。消參后得到直線的普通方程為，得到線上一點(diǎn)坐標(biāo)（-1，2），傾斜角為，從而寫出標(biāo)準(zhǔn)的參數(shù)方程 。接下來的解答同問題1一樣。

問題3：已知直線參數(shù)方程為，它與曲線交于A ， B兩點(diǎn)，求|AB|的長。

分析：經(jīng)過判斷，發(fā)現(xiàn)，不是標(biāo)準(zhǔn)的參數(shù)方程。但是消參之后，直線的普通方程為，傾斜角并不是特殊角，難以根據(jù)這種方法寫出標(biāo)準(zhǔn)方程。

因?yàn)橹挥性谥本€參數(shù)方程為標(biāo)準(zhǔn)方程的情況下，|t|的幾何意義才成立（|t|的幾何意義：平面內(nèi)過定點(diǎn)、傾斜角為的直線 的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為（直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式可以寫成，此處 ）。我們假設(shè)直線上兩點(diǎn) A、B 所對應(yīng)的參數(shù)分別為tA和tB，則： A、 B兩點(diǎn)到的距離分別為|tA|，|tB|）。那么，如果直線的參數(shù)方程不一定是標(biāo)準(zhǔn)形式時，那線上的動點(diǎn)到定點(diǎn)距離與 有什么關(guān)系呢？

直線的參數(shù)方程為 ， 。換句話說不一定等于 1。設(shè)直線上的一點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式可得

進(jìn)而我們可以得到以下結(jié)論：直線的參數(shù)方程為，如果我們假設(shè)直線 上兩點(diǎn) A、B 所對應(yīng)的參數(shù)分別為tA ，tB則：

所以，在這題的解答中，即使我們因?yàn)闊o法知道傾斜角導(dǎo)致寫不出直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，但是我們經(jīng)過推導(dǎo)可以知道，給出任一個直線的參數(shù)方程，我們都可以根據(jù)上述公式就算出|AB|。

思考與練習(xí)：已知在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為，直線參數(shù)方程為。設(shè)直線與曲線C相交于A ，B 兩點(diǎn)，求的值。

歸納與反思? （1）直線的任一參數(shù)方程中參數(shù)t的意義是：直線l的參數(shù)方程寫成 ， R，bR。我們假設(shè)直線l上點(diǎn)A所對應(yīng)的參數(shù)為tA，則： A點(diǎn)到點(diǎn)的距離分別為。

（2）計算弦長問題時，可能要用到韋達(dá)定理，計算會更方便。

二、關(guān)于設(shè)計微專題的小結(jié)與反思

“微專題”是解決學(xué)生易錯易漏點(diǎn)的一個非常好的工具，能幫助學(xué)生彌補(bǔ)盲點(diǎn)，強(qiáng)化重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，特別適合高三復(fù)習(xí)使用.直線非標(biāo)準(zhǔn)形式下的參數(shù)方程中參數(shù) 的幾何意義非常適合利用“微專題”這個工具來呈現(xiàn)探究過程.在設(shè)計“微專題”的過程中，要清楚知道學(xué)情，了解學(xué)生在哪一方面出現(xiàn)疑惑不能解決.要緊緊抓住這個“疑惑”來設(shè)計問題，層層遞進(jìn)，深入挖掘，突破這個“疑惑”，使學(xué)生醍醐灌頂，印象深刻.與此同時注意激發(fā)學(xué)生的興趣，創(chuàng)造空間給學(xué)生思考，引起學(xué)生解題的欲望，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的樂趣，得到解題給自己帶來的喜悅感.要注意學(xué)生現(xiàn)在的知識結(jié)構(gòu)，思維水平，通過設(shè)計的題目幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)知識結(jié)構(gòu)，每完成一道題目鼓勵學(xué)生自行總結(jié)規(guī)律，歸納方法，學(xué)會技巧，體會數(shù)學(xué)思想，從質(zhì)量上得到提高.最后通過鞏固練習(xí)。比如，說在這個設(shè)計的最后及時給學(xué)生練習(xí)，更好掌握學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，進(jìn)而對下節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行調(diào)整.同時在設(shè)計練習(xí)中的題目也要進(jìn)行深化，簡單的變式，讓學(xué)生學(xué)會靈活處理，真正掌握該專題的本質(zhì)。

對老師而言，“微專題”不僅促進(jìn)教師專業(yè)成長，還可以更好了解學(xué)生對知識掌握的情況.對學(xué)生而言，“微專題”能提高他們的解題能力，有助思維發(fā)展，感受數(shù)學(xué)的魅力，增加對數(shù)學(xué)的興趣.

參考文獻(xiàn)：

[1]劉煒.見微知著慎思明辨——高三“函數(shù)最值”的微專題探究[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（09）.

[2]朱建民，陳雷.關(guān)聯(lián)同類微專題，鋪墊設(shè)問助突破——以中考微專題復(fù)習(xí)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（04）.

[3]范習(xí)昱.“微專題”框架下高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)如何用好課本例習(xí)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2018（09）.

[4]錢衛(wèi)華.見微知著方法清 以小見大本質(zhì)明——以“拋物線中三角形面積的最大值”為例談微專題教學(xué)[J].中國數(shù)學(xué)教育，2018（21）.