劉玉文

(甘肅省武威第十六中學(xué)，733018)

數(shù)學(xué)思想是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的根本想法,是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn),它是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中逐步形成的,是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的知識、能力和思維品質(zhì).數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的核心部分，數(shù)學(xué)思想貫穿在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中.許多三角函數(shù)問題,若能靈活運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想,往往能快速、準(zhǔn)確地找到解題思路,從而得到便捷的解法.本文以2019年高考三角函數(shù)試題為例,說明數(shù)學(xué)思想在三角函數(shù)中的運(yùn)用以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的凸顯.

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合可以使抽象的、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系,通過幾何圖形直觀地表現(xiàn)出來.在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的過程中,應(yīng)把三角函數(shù)的性質(zhì)融于函數(shù)的圖形之中,充分利用三角函數(shù)的圖象來解決問題.

(A)f(x)=|cos 2x|

(B)f(x)=|sin 2x|

(C)f(x)=cos |x|

(D)f(x)=sin |x|

解析作出f(x)=sin |x|的圖象如圖1,知其不是周期函數(shù),排除D;

因?yàn)閒(x)=cos |x|=cosx，周期為2π,排除C;

故選A.

二、化歸與轉(zhuǎn)化思想

化歸與轉(zhuǎn)化思想是指在研究解決數(shù)學(xué)問題時(shí),采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化,進(jìn)而使問題得到解決的一種解題策略.一般有以下幾種方法:(1)未知化為已知；(2)特殊化為一般；(3)一般化為特殊；(4)等價(jià)轉(zhuǎn)化等.

例2(浙江卷)設(shè)函數(shù)f(x)=sinx，x∈R.

(1)已知θ∈[0,2π)函數(shù)f(x+θ)是偶函數(shù),求θ的值;

解析(1)因?yàn)閒(x+θ)=sin(x+θ)是偶函數(shù),所以,對任意實(shí)數(shù)x都有

sin(x+θ)=sin(-x+θ),

即sinxcosθ+cosxsinθ=-sinxcosθ+cosxsinθ,

故2sinxcosθ=0,所以cosθ=0.

評注本題(1)的解答關(guān)鍵是以函數(shù)f(x+θ)是偶函數(shù)為切入點(diǎn),然后等式兩邊分別進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.本題(2)的解答關(guān)鍵是半角公式的逆用、輔助角公式的巧用、三角函數(shù)有界性的活用.在問題的解答過程中,顯示出強(qiáng)大的轉(zhuǎn)化與化歸功能,有梯度,立意深刻,充分凸顯了對邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考察.

三、函數(shù)與方程思想

應(yīng)用函數(shù)與方程思想解題,要學(xué)會用變量來思考問題,善于溝通已知與未知之間的關(guān)系.

=-cos 2x-3cosx

=-2cos2x-3cosx+1

∵-1≤cosx≤1,

∴當(dāng)cosx=1時(shí),f(x)min=-4,

故函數(shù)f(x)的最小值為-4.

評注本題首先應(yīng)用誘導(dǎo)公式,轉(zhuǎn)化得到二倍角的余弦,進(jìn)一步應(yīng)用二倍角的余弦公式,得到關(guān)于cosx的二次函數(shù),從而得解.體現(xiàn)了函數(shù)思想的運(yùn)用,凸顯了對邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的考察.

(1)求b,c的值;

(2)求sin(B-C)的值.

解得c=5所以b=7.

sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC

四、分類討論思想

分類討論的原則是分類的標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，分類要做到不重復(fù)、不遺漏.分類一般有四個(gè)步驟:(1)明確討論的對象；(2)確定分類標(biāo)準(zhǔn)；(3)逐步進(jìn)行討論；(4)歸納小結(jié)總結(jié)出結(jié)論.

評注本題利用分類討論和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.由題意首先求得tanα的值,然后利用兩角和的正弦公式和二倍角公式將原問題轉(zhuǎn)化為齊次式求值的問題,最后切化弦求得三角函數(shù)式的值.體現(xiàn)了三角化簡求值的靈活性和綜合性,達(dá)到了訓(xùn)練、理解、思維品質(zhì)的梯度上升,凸顯了對數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考察.

五、整體思想

整體思想在三角函數(shù)中主要體現(xiàn)在利用整體代入、整體變形、整體換元、整體配對、整體構(gòu)造等進(jìn)行化簡求值,研究函數(shù)性質(zhì)等.

(1)求B;

(2)若?ABC為銳角三角形,且c=1,求?ABC面積的取值范圍.

解析(1)由題設(shè)及正弦定理得

(2)由題設(shè)及(1)知?ABC的面積

由于?ABC為銳角三角形,故0°

評注這道高考題濃縮了三角函數(shù)、正弦定理的精華知識和方法,考查得很全面,是一道很好的考題.切入點(diǎn)較低,到達(dá)終點(diǎn)的路徑體現(xiàn)了本題較好的區(qū)分度，給考生創(chuàng)設(shè)自由的空間去“實(shí)現(xiàn)自我價(jià)值”，也給高中數(shù)學(xué)教學(xué)引領(lǐng)了方向:“放棄機(jī)械大量的訓(xùn)練,注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的提煉,提升學(xué)生思維水平”,這就是數(shù)學(xué)的“核心素養(yǎng)”!

總之,三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)思想較多,但它們的核心是化歸與轉(zhuǎn)化思想,只要大家認(rèn)真思考,靈活運(yùn)用,在運(yùn)用中感悟數(shù)學(xué)思想,積累思維經(jīng)驗(yàn),數(shù)學(xué)思想一定能給你的學(xué)習(xí)帶來事半功倍的效果,只有這樣,才能有效形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).