■李俊杰

微元法是一種從局部求解整體的解題方法。利用微元法求解可以將復(fù)雜的物理過程轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)的物理規(guī)律,從而保證問題的順利解決。下面舉例分析。

1.求解質(zhì)量問題

微元法的關(guān)鍵是先將整體分解成多個微小單元,再對各個單元進(jìn)行分析,最后達(dá)到解決整體的目的。在求解一些復(fù)雜的質(zhì)量問題時,利用微元法可以很好地簡化計(jì)算,提高解題效率。

例1一輛汽車在水平地面上加速運(yùn)動,汽車中有一杯水,水面與水平面間的傾斜角是θ,試求汽車啟動的加速度大小及方向。

解析：本題中可以將傾斜的水面看成是研究對象,其受力情況如圖1所示,F合=Δmgtanθ,由牛頓第二定律得F合=Δma,解得a=gtanθ,方向與汽車的啟動方向相同。

圖1

2.求解動力學(xué)問題

當(dāng)遇到非勻變速運(yùn)動力學(xué)問題時,如果采用一般的運(yùn)動類解題方法,不僅需要很大的運(yùn)算量,而且容易出錯。若是利用微元法,從局部入手,就能快速求解。

例2質(zhì)量為m的物體從地面以初速度v0向上垂直拋出,該物體的運(yùn)動速率隨時間t的變化關(guān)系如圖2所示,若該物體受到的空氣阻力與速度成正比,求：

圖2

(1)該物體在整個運(yùn)動過程中空氣阻力做的功。

(2)物體拋出瞬間的加速度。

(3)物體在t1時刻的高度。

解析：(1)由功能定理得。

(2)空氣阻力f=kv,物體在落地前做勻速運(yùn)動,由平衡條件得mg=kv1。設(shè)物體拋出時的加速度為a0,則ma0=mg+kv0,解得。

(3)設(shè)物體在上升過程中的速度為v,加速度為a,則ma=-(mg+kv),解得a=。利用微元法將物體上升的過程轉(zhuǎn)變成多個過程,在任意時間段Δt內(nèi)物體的速度變化是Δv,則Δv=aΔt=-gΔt-。又 有 Δh=vΔt,∑Δv=,結(jié)合題目信息得0-,因此物體在t1時刻的高度。

3.求解位移問題

求解導(dǎo)體在勻強(qiáng)磁場中的光滑軌道上的位移問題時,利用微元法將運(yùn)動過程分成多個時間內(nèi)的勻速運(yùn)動過程,可以快速得出答案。

例3質(zhì)量為m的金屬塊位于光滑的平行軌道上,軌道的寬度為L,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場垂直于軌道平面,軌道左側(cè)連接阻值為R的電阻,其他電阻不計(jì),如圖3 所示。當(dāng)金屬塊從初速度v0水平向右運(yùn)動時,金屬塊最遠(yuǎn)能移動多遠(yuǎn)?

圖3

解析：金屬塊在運(yùn)動中所受合力向左,向右做減速運(yùn)動。采用微元法,在任意極短時間段Δt內(nèi),金屬塊做勻速直線運(yùn)動,感應(yīng)電流,金屬塊所受安培力F安=BIL=,依據(jù)定量定理得ΔI=-F安Δt=,又 有 Δx=vΔt,故 ΔI=。Δx是極短時間段Δt內(nèi)金屬塊的位移微元,因此金屬塊的最大位移,解得,由動量定理得∑ΔI=0-mv0,故。