董 娣，紀(jì)金豹，袁美巧，王贊軍，于海闊

(1.重慶市地震局，重慶 401147；2.北京工業(yè)大學(xué) 工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124；3.江蘇省射陽縣高級中學(xué)，江蘇 鹽城 224300；4.北京工業(yè)大學(xué)，北京 100124)

0 引言

早在20世紀(jì)60年代，工程界就意識到實(shí)際地震動不僅在時域具有非平穩(wěn)性，其頻率成分也是非平穩(wěn)的。但由于將平穩(wěn)或強(qiáng)度非平穩(wěn)模型用于線性結(jié)構(gòu)分析，就能夠得到滿意的結(jié)果，因此地震動頻率含量變化對結(jié)構(gòu)的影響未能得到足夠重視。近年來，大震經(jīng)驗(yàn)逐漸積累，重大工程數(shù)量劇增，結(jié)構(gòu)非線性計(jì)算勢在必行，而頻率非平穩(wěn)地震波的輸入則是決定計(jì)算結(jié)果正確與否的關(guān)鍵。因此，研究地震動非平穩(wěn)特性不僅是地震動自身規(guī)律研究的要求，更重要的是滿足建筑物抗震設(shè)計(jì)的要求。如何既考慮輸入的時頻非平穩(wěn)特性，又能兼顧工程實(shí)際的需要，是國內(nèi)外學(xué)者一直努力探索的研究課題之一。

目前地震工程領(lǐng)域研究較多的是一類特殊的調(diào)制過程，即均勻調(diào)制過程(胡聿賢，周錫元，1962；Housner，Jennings，1964；Iyengar，Iyengar，1969)。均勻調(diào)制模型從20世紀(jì)60年代開始研究，經(jīng)過不斷的發(fā)展和完善，已在工程結(jié)構(gòu)抗震分析和設(shè)計(jì)中獲得廣泛應(yīng)用(霍俊榮等，1991；金星，廖振鵬，1994；屈鐵軍等，1994；Yoshimoto，etal，1997；Zhou，Yu，2008)。但是這種模型只反映了地震動的強(qiáng)度非平穩(wěn)特征，沒有反映其頻率非平穩(wěn)特征，從更合理的模擬真實(shí)地震動的角度考慮，有必要引入一般的調(diào)制隨機(jī)過程數(shù)學(xué)模型。但是，把地震動作為一般的非平穩(wěn)隨機(jī)過程處理是極為困難的，因此研究者一直試圖用簡單的數(shù)學(xué)模型近似解決這一問題。Priestley(1965)提出了漸進(jìn)功率譜的概念，并在其后的研究中繼續(xù)發(fā)展，為非平穩(wěn)隨機(jī)信號譜提供了清晰的物理解釋。但在計(jì)算過程中，復(fù)調(diào)制函數(shù)的確定比較困難，為此Nakayama等(1994)采用窄帶和低通濾波，直接生成復(fù)調(diào)制函數(shù)用于結(jié)構(gòu)抗震可靠分析。Yilmaz和Bayrak(2013)總結(jié)了地震加速度記錄的幾種時頻分析方法，并采用短時傅里葉和維格納分布對Georgia地震的數(shù)據(jù)進(jìn)行了時頻分析(Yilmaz，Bayrak，2011，2013)。近年來，漸進(jìn)功率譜已被應(yīng)用于人工地震波的模擬(張翠然，陳厚群，2007)?，F(xiàn)在較成熟的時-頻非平穩(wěn)信號分析工具有時變功率譜(包括漸進(jìn)功率譜、瞬時功率譜和小波功率譜等)、小波變換、Wigner-Ville分布、ARMA模型和Hilbert-Huang變換等，但在實(shí)際工程應(yīng)用中，都存在一些局限性(曹暉等，2002；李中付等，2001；朱繼梅，2000；謝皓宇等，2019)。小波變化的局限性就在于混頻問題，袁美巧等(2010)通過調(diào)整混頻順序，解決了這個問題。需要指出的是，小波變換克服了短時傅里葉變換在單分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特點(diǎn)，在時-頻都有表征信號局部信息的能力，時間窗和頻率窗都可以根據(jù)信號的具體形態(tài)動態(tài)調(diào)整。一般情況下，在低頻部分(信號較平穩(wěn))可以采用較低的時間分辨率，而提高頻率分辨率，在高頻情況下可以用較低的頻率分辨率來換取精確的時間定位。本文利用小波分析的方法實(shí)現(xiàn)強(qiáng)震記錄的時頻分析，旨在給出既能夠反映地震動時頻統(tǒng)計(jì)特性，又便于工程應(yīng)用的模型。

1 數(shù)據(jù)來源及分組

本文采用的數(shù)據(jù)來源于美國NGA數(shù)據(jù)庫的強(qiáng)震記錄(Chiouetal，2008)。該數(shù)據(jù)庫收錄了1935—2003年發(fā)生于板內(nèi)地震活躍區(qū)的175個淺源地震事件，共計(jì)3 551組10 580條(2個水平方向和1個豎直向，部分分量數(shù)據(jù)缺失)自由場地加速度記錄。首先對這些強(qiáng)震記錄進(jìn)行篩選和分組，去除其中場地條件不明的記錄，最終選取其中3 541組共計(jì)10 545條地震加速度記錄用于研究。在對地震動時-頻特性的分析中，主要考慮了3個影響因素，即場地條件、震中距及震級大小，并依據(jù)這3個影響因素將全部地震記錄進(jìn)行了分組。

1.1 場地條件

《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50011—2010)根據(jù)土層等效剪切波速和場地覆蓋層厚度將場地劃分為4類。在計(jì)算等效剪切波速VSE時，所取的深度是覆蓋層厚度與20 m之間的較小值，因此認(rèn)為20 m內(nèi)的折算剪切波速VSE20近似等于VSE。在NGA數(shù)據(jù)庫中，給出了VSE30的剪切波速值，呂紅山和趙鳳新(2007)研究認(rèn)為剪切波速值VSE20與VSE30之間有一定的對應(yīng)關(guān)系，如果以VSE30為場地條件的劃分指標(biāo)，那么對應(yīng)我國規(guī)范中的Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ類場地的分界值分別為500，250和150 m/s，見表1。

表1 中美場地類別對應(yīng)表Tab.1 Soil types in codes of China and USA

1.2 震級大小

采用0.5的震級間隔對震級進(jìn)行劃分，將震級劃分為5個震級檔：M5.5～6.0，M6.0～6.5，M6.5～7.0，M≥7.0。

1.3 震中距R

采用20 km的間隔對震中距進(jìn)行劃分，劃分為0～20 km，20～40 km，40～60 km，60～80 km，80～100 km和≥100 km共6個震中距范圍。

需要說明的是，由于相應(yīng)于Ⅳ類場地的地震動記錄只有8組，本文將這8組記錄歸入Ⅲ類場地進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。地震動記錄按照震級、震中距以及場地條件進(jìn)行分組的具體情況如圖1所示。從圖中可以看出，按照這3個影響因素，可將地震動分為90組，每組包括2個水平方向和1個豎直方向，見表2。

(a)Ⅰ類場地 (b)II類場地 (c)III 類場地

圖1 地震動記錄按場地條件、震級和震中距的分組
Fig.1 Distribution map of data grouping of ground motion according to site condition， magnitude and epicentral distance

表2 按照場地條件、震中距和震級劃分的地震動記錄的分組情況Tab.2 Data grouping of ground motion according to site condition，magnitude and epicentral distance

2 小波變換和小波基函數(shù)的選取

時-頻分析的基本任務(wù)是建立一個以時間和頻率為變量的二維聯(lián)合分布函數(shù)。本文采用小波變換(楊福生，1999)得到時-頻分布來討論地震動的時-頻非平穩(wěn)特性。

小波變換的基本思想來源于函數(shù)的伸縮和平移，伸縮可以在不同的分辨率下分解信號，平移可以把這組信號作為窗，觀察所關(guān)心的部分。小波基函數(shù)通過平移和伸縮，得到具有可變時間和頻率分辨率的正交函數(shù)族，即在低頻時具有高的頻率分辨率和低的時間分辨率，在高頻時具有低的頻率分辨率和高的時間分辨率。

對于小波變換來說，小波基函數(shù)的選取至關(guān)重要。一般當(dāng)ψ(t)∈L2(R)滿足允許條件的函數(shù)便可以用作小波基，允許條件是：

(1)

式中：Ψ(ω)是ψ(t)的傅里葉變換。

但實(shí)際中往往要求更高些，在不同的應(yīng)用領(lǐng)域，小波基的選取標(biāo)準(zhǔn)不同，不同的小波基適用于不同的具體情況。即使在同一應(yīng)用領(lǐng)域，小波基的選取也沒有形成統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。小波基的選取除了滿足以上一般原則外，還需根據(jù)具體分析對象進(jìn)行考慮。對工程場地有影響的地震動加速度記錄周期主要集中在3 s內(nèi)，因此本文選取復(fù)Morlet小波cmor Fb-Fc作為小波基函數(shù)，其表達(dá)式為：

(2)

式中：Fb是小波基ψ(t)的帶寬；Fc是小波基ψ(t)的中心頻率，本文取Fb=2，F(xiàn)c=1。

由小波基通過平移和伸縮產(chǎn)生小波函數(shù)：

(3)

式中：a為伸縮因子(或尺度因子)；b為平移因子。尺度a越大，表示對應(yīng)著拉伸的小波函數(shù)在時間上越長，具有較小的頻率窗、較高的頻率分辨率，主要獲取信號的低頻特性；尺度a越小，表示對應(yīng)著壓縮的小波函數(shù)在時間上越短，具有較大的頻率窗、較低的頻率分辨率，主要獲取信號的高頻特性。

對地震動加速度記錄f(t)做小波函數(shù)為ψ(a，b)(t)的連續(xù)小波變換，得到關(guān)于時間和尺度的小波系數(shù)為：

(4)

將尺度換算成頻率：

(5)

式中：a是尺度因子；Fa是a對應(yīng)的實(shí)際頻率；Fc是小波基的中心頻率；fs是加速度記錄f(t)的采樣頻率，從而得到關(guān)于時間和頻率的小波功率譜，如圖2所示，周期在3 s內(nèi)具有較高的分辨率。

用一維連續(xù)小波變換對每條地震動記錄進(jìn)行地震動的小波功率譜研究，圖2為NGA數(shù)據(jù)庫中No.403組中WE向和No.1340組中豎向地震動記錄的時頻特性。

圖2 NGA數(shù)據(jù)庫中No.403組中WE向(a)及No.1340組中豎向(b)地震動的時頻特性Fig.2 Time-frequency characteristics of the ground motions of the No.403 WE component (a) and the No.1340 vertical component(b)in NGA database

3 地震動頻率的時變特性分析

3.1 地震動持續(xù)時間長度

地震動加速度時程的持續(xù)時間與場地條件、震級、震中距等因素有關(guān)，因此，針對不同的影響條件，需要選擇合適的持續(xù)時間范圍。由地震動的強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)模型，可知地震動的持續(xù)時間t=t1+ts+tc，其中t1為上升段的時間長度，ts為平穩(wěn)段的時間長度，tc為衰減段的時間長度。胡聿賢(2003)研究認(rèn)為，若在包線下降段時刻t處，強(qiáng)度包絡(luò)線函數(shù)f(t)=e-c(t-t1-ts)=k時，地震動終止，其中，參數(shù)k通常取為0.1～0.5。本文通過對各組內(nèi)地震動時程的強(qiáng)度包線的研究和分析，取k=0.3，衰減段的持續(xù)時間為：

(6)

式中：c為下降段的衰減系數(shù)，按照本文不同分組內(nèi)統(tǒng)計(jì)計(jì)算結(jié)果取值。

統(tǒng)計(jì)每個地震動分組內(nèi)的t1，ts和tc，以t≥t1+ts+tc的原則選取地震動持續(xù)時間的長度，并考慮實(shí)際地震震級和震中距對持續(xù)時間的影響，最終得到不同分組內(nèi)的持續(xù)時間，見表3。

表3 不同地震動分組的持續(xù)時間長度Tab.3 The duration in different groups of ground motions 單位：s

需要特別說明的是，在Ⅲ類場地條件下，震級為6.5～7.0，震中距為80～100 km范圍內(nèi)的記錄比較少，且時長都不超過40 s，因此本文僅將40 s作為該組內(nèi)的時間長度進(jìn)行分析。

3.2 頻率的時變特性分析

為了能便于工程應(yīng)用的地震動時-頻特性統(tǒng)計(jì)，筆者僅考慮任一時間t處相應(yīng)于小波功率譜最大值所對應(yīng)的頻率，即主頻率隨時間變化的曲線(圖3)。

圖3 主頻率隨時間的變化曲線(NGA數(shù)據(jù)庫中No.35次地震)Fig.3 Time-varying curves of predominant frequency (No.35 earthquake in NGA database)

從圖3可以看出，主頻率隨時間的變化過于離散，很難直接投入工程應(yīng)用。鑒于此，筆者采用一個固定的時間窗Δt=0.5 s 作為移動窗的窗寬，將移動窗從t=0開始，對相同組內(nèi)、相同方向的每一條頻率時變曲線進(jìn)行掃描，求出每一個窗寬內(nèi)頻率的均方根RMS值(高麗霞等，2006)，即：

(7)

式中：n為移動窗內(nèi)頻率的個數(shù)，從而得到不同地震動分組內(nèi)的頻率時變曲線，如圖4所示。

由圖4可見，水平向的頻率時變規(guī)律具有相似性。對臺灣集集地震記錄的有關(guān)研究表明水平向和豎向記錄的地震動特性差別很大(王國權(quán)等，2001)，因此本文在研究地震動時-頻特性時，對水平向和豎向的加速度記錄分別討論，并且在討論中不再區(qū)分2個水平向的方向。通過對水平向和豎向的每條地震動記錄的主頻的時變分析可以看出，無論是水平向還是豎向，地震動的主頻率隨時間的增大都逐漸減小，并且豎向記錄比水平向記錄隨時間衰減更快。為了進(jìn)一步了解地震動主頻率的時變特性，筆者按照不同的分組進(jìn)行了對比和分析，并分別選取式(8)給出的線性函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型、和指數(shù)三角函數(shù)模型：

(8)

圖4 Ⅰ類場地、R0～20 km、M＞5.5的地震動3個分量的頻率均方根值隨時間的變化Fig.4 Time-varying curves of predominant frequency RMS values (three-component records in site Ⅰ，at magnitude range ＞5.5 and within epicentral distance 0～20km)

對地震動主頻的時變曲線進(jìn)行擬合，得到不同擬合模型的參數(shù)，通過對比不同擬合情況，得到擬合誤差可接受范圍內(nèi)相對比較簡單的擬合方法。通過對擬合后各組地震動頻率時變曲線的分析和比較，可得到以下幾點(diǎn)認(rèn)識：

(1)在相同場地條件下，同一震級和震中距范圍內(nèi)，水平向與豎向記錄的頻率時變曲線的比較如圖5所示，水平向和豎向的地震動主頻率的整體趨勢都是隨時間遞減的，但豎向主頻率時變曲線衰減得更快，其前段頻率大約是末端頻率的4倍，水平向頻率時變曲線的前段頻率大約是末端頻率的3倍。Ⅱ類場地(圖5b)和Ⅲ類場地(圖5c)條件下，豎向記錄的高頻成分比水平向記錄的多，但Ⅰ類場地(圖5a)條件下，大約一半的豎向記錄具有更多的高頻成分。

(2)在相同場地條件下，對于同一震中距范圍內(nèi)的水平向和豎向加速度記錄，震級對頻率時變曲線的影響如圖6所示，由圖可見，地震動主

(a)I類場地、R20～40km、M6.0～6.5

(b)Ⅱ類場地、R20～40km、M5.5～6.0

(c)Ⅲ類場地、R20～40km、M6.5～7.0

頻率變化曲線的前段和末端頻率的比值隨震級的變化不規(guī)律，也即衰減快慢隨震級的變化并不規(guī)律。在Ⅰ類場地(圖6a)和Ⅱ類場地(圖6b)條件下，水平向和豎向頻率時變曲線衰減最快的震級范圍多集中在M6.0～7.0；在Ⅲ類場地(圖6c)條件下，水平向和豎向頻率時變曲線在M≥7.0時衰減得最快。頻率隨震級的變化沒有明確的變化趨勢。水平向記錄中，主頻率最大值多集中在M＞5.5的分組中(70%左右)，若只考慮Ⅰ類和Ⅱ類場地的情況，這種比例高達(dá)80%，這說明在Ⅲ類場地條件下震級對水平向記錄頻率的影響更復(fù)雜。對于豎向記錄，其主頻率最大值位于M＞5.5的情況占80%以上。此外，地震動主頻率的最小值多位于在M＞6.5的情況(占80%以上)。由圖6可以看出，其結(jié)果基本上符合較小震級的地震動具有更多的高頻成分，較大震級的地震動具有更多的低頻成分的認(rèn)識。

(a-1)震中距40～60 km內(nèi)水平向地震動

(a-2)震中距80～100 km內(nèi)豎向地震動

(b-1)震中距20～40 km內(nèi)水平向地震動

(b-2)震中距60～80 km內(nèi)豎向地震動

(c-1)震中距40～60 km內(nèi)水平向地震動

(c-2)震中距40～60 km內(nèi)豎向地震動

圖6 Ⅰ類(a)，Ⅱ類(b)，Ⅲ類(c)場地不同的主頻率時變曲線
Fig.6 Predominant frequency time-varying curves for site I(a)，site Ⅱ(b)， site Ⅲ(c)but at different magnitude ranges

(3)在相同場地條件下，對于同一震級范圍內(nèi)的水平向和豎向加速度記錄，震中距對頻率時變曲線的影響如下：地震動主頻變化隨震中距的變化不規(guī)律，在Ⅰ類場地條件下，水平向頻率時變曲線在R60～80 km衰減得最快，而豎向頻率時變曲線在R0～20 km衰減得最快；在Ⅱ類場地條件下，R≥100 km的頻率時變曲線衰減得最快；在Ⅲ類場地條件下，R60～80 km的頻率時變曲線衰減得最快。頻率隨震中距的增加變化較復(fù)雜，沒有規(guī)律的變化趨勢。水平向記錄的主頻率最大值多集中在R60～80 km(占50%以上)，而豎向記錄的主頻率最大值集中在R60～80 km的只占20%左右，大約40%是集中在R0～20 km。由圖7可知，在60 km內(nèi)，隨著震中距的增加，頻率的變化不規(guī)律，R＞60 km后，頻率隨著震中距的增加呈減小的趨勢。說明在相同場地條件下，同震級的地震動在一定的距離范圍外，隨著震中距的增加，具有更多的低頻成分。

(4)對于相同震級和震中距范圍內(nèi)的水平向和豎向加速度記錄，場地條件對主頻率時變曲線的影響如下：隨著場地變軟，水平向地震動的主頻率整體上有減小的趨勢(圖8a)，這種情況在50%以上，這說明在Ⅰ類場地條件下水平向地震動的高頻成分較多，而在Ⅲ類場地條件下水平向地震動的低頻成分更豐富。但是豎向地震動的主頻率隨場地變軟呈減小趨勢的卻只占不到20%，即豎向頻率隨場地條件的變化規(guī)律并不明顯，但總體上也符合在Ⅲ場地條件下具有更多低頻成分的規(guī)律(圖8b)。

(a-1)M＞5.5、水平向地震動

(a-2)M6.0～6.5、豎向地震動

(b-1)M6.0～6.5、水平向地震動

(b-2)M5.5～6.0、豎向地震動

(c-1)M6.5～7.0、水平向地震動

(c-2)M6.0～6.5、豎向地震動

圖7 Ⅰ類(a)，Ⅱ類(b)，Ⅲ類(c)場地不同震中距的主頻率時變曲線
Fig.7 Predominant frequency time-varying curves in site I(a)，siteⅡ(b)， siteⅢ(c) but different epicentral distance ranges

(a)R40～60 km、M6.0～6.5、水平向地震動

(b)R80～100 km、M＞5.5、豎向地震動

圖8 不同場地的地震動頻率時變曲線
Fig.8 Predominant frequency time-varying curves for different site condition

4 用于工程應(yīng)用的頻率時變模型

為了便于工程應(yīng)用，如在地震動的人工擬合中考慮頻率的非平穩(wěn)特性，本文對主頻率隨時間的變化規(guī)律進(jìn)行非線性最小二乘法擬合，得到頻率隨時間呈指數(shù)衰減的模型f=a0+a1e-btsin(ωt)或f=a0+a1e-bt的參數(shù)。表4為不同場地條件下各地震動分組內(nèi)主頻率隨時間衰減的模型參數(shù)，其中有下劃線的值代表豎向地震動頻率的模型參數(shù)，無下劃線的值則對應(yīng)水平向地震動的模型參數(shù)。這些模型可以給工程應(yīng)用提供一定的參考依據(jù)。

表4 Ⅰ類、Ⅱ類、Ⅲ類場地主頻率的擬合模型參數(shù)Tab.4 Coefficients of the predominant frequency fitting model

續(xù)表4

注：有下劃線的值代表豎向地震動頻率的模型參數(shù)，無下劃線為橫向.

5 結(jié)論

本文對3 541組強(qiáng)震記錄按照場地條件、震級、震中距進(jìn)行分組，基于一維連續(xù)小波變換分析了地震動在不同條件下的頻率時變特性，主要得出以下結(jié)論：

(1)給出了便于工程應(yīng)用的地震動頻率的時變模型，即定量地給出地震動頻率隨時間的變化規(guī)律，為地震動加速度時程的擬合以及結(jié)構(gòu)的非線性反應(yīng)分析提供了參考依據(jù)。

(2)得到地震動頻率變化的統(tǒng)計(jì)特性：①水平向和豎向的頻率時變曲線整體上都隨時間呈遞減趨勢，且豎向衰減得更快些，大多數(shù)情況下豎向記錄的高頻成分比水平向記錄的相應(yīng)成分要多。②震級和震中距對頻率時變特性的影響都比較復(fù)雜，但基本上都符合較小震級的地震動具有更多的高頻成分，而較大震級的地震動具有更多的低頻成分這一認(rèn)識。豎向記錄多在R0～20 km具有最大的頻率值，而水平向記錄多在R60～80 km具有最大的頻率值。

(3)場地條件對頻率時變特性的影響要規(guī)律得多，隨著場地變軟，水平向記錄的頻率整體上有減小的趨勢，豎向記錄的頻率隨場地的變化規(guī)律不如水平向記錄那么明顯，但總體上也符合在Ⅲ類場地條件下具有更多的低頻成分這一認(rèn)識。

特別感謝俞言祥研究員對本論文的悉心指導(dǎo)！