■河南省長葛市第一高級中學(xué)

運(yùn)算能力是當(dāng)下高中生的六大核心素養(yǎng)之一,運(yùn)算是一種演繹推理,運(yùn)算求解能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合。在綜合情景中,能夠把試題轉(zhuǎn)化為運(yùn)算問題,確定運(yùn)算對象和運(yùn)算法則,明確運(yùn)算方向,構(gòu)造運(yùn)算程序,解決問題。運(yùn)算的簡捷是指運(yùn)算過程中所選擇的運(yùn)算路徑短,運(yùn)算步驟少,運(yùn)算時間短,同時也體現(xiàn)在概念的靈活運(yùn)用,公式的恰當(dāng)選擇,數(shù)學(xué)思想方法的合理使用。

一、整體思想

整體思想就是從問題的整體出發(fā),突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造,發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征,進(jìn)行有目的、有意識地整體處理。

例1已知△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,sinB=。

解析：先觀察代數(shù)式結(jié)構(gòu)特點(diǎn),然后利用對偶式解題。

因為sinB=,所以(sinB)2=3(sinA)2。

故(cosB)2=1-(sinB)2=1-3(sinA)2。

當(dāng)且僅當(dāng)B-A=時,原式取得最大值。

點(diǎn)評：利用整體思想,觀察代數(shù)式的整體結(jié)構(gòu),發(fā)現(xiàn)對偶式特征,從而簡潔明快地得到結(jié)果。

二、轉(zhuǎn)化與化歸思想

例2如圖1,已知橢圓=1(a＞b＞0)的離心率為,點(diǎn)M(0,)在橢圓C上,焦點(diǎn)為F1,F2,圓O的直徑為F1F2。

(1)求橢圓C及圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程。

(2)設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P,且直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)。記△OAB的面積為S,證明：S＜。

解析：(1)由題意知,橢圓C的方程為=1(a＞b＞0)。

所以橢圓C的方程為=1。

因為焦點(diǎn)在x軸上,所以橢圓C的焦點(diǎn)為。

所以以F1F2為直徑的圓O的方程為x2+y2=6。

(2)由題意知,直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P,設(shè)直線l的斜截式為y=kx+m(k＜0,m＞0)。

因為直線l與圓O相切,所以點(diǎn)O到直線l的距離為,即m2=6k2+6。

直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),由整理得：

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則：

故Δ=(8km)2-4×(1+4k2)(4m2-8)=16×(8k2-m2+2)。

又m2=6k2+6,故Δ=32(k2-2)＞0,k2＞2。

因為k＜0,所以k＜。

設(shè)1+4k2=t,則t＞9。

令u=,則0＜u＜。

則S△OAB=。

設(shè)h(u)=-27u2-6u+1=。

因h(u)在上單調(diào)遞減,故h(u)＜1。

因此,S△OAB＜。

點(diǎn)評：圓錐曲線中求三角形面積最大值時,往往要首先用函數(shù)表示出面積,然后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題。

例3已知拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)為F,斜率為的直線l與拋物線C的交點(diǎn)為A,B,與x軸的交點(diǎn)為P。

(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;

解析：設(shè)直線l：y=+t,A(x1,y1),B(x2,y2)。

設(shè)AB的中點(diǎn)M(x3,y3),由得到點(diǎn)P為線段BM的中點(diǎn),故y3+y2=0。

則x1+x2=。

則x3=。

因為y3=+t=1,所以y2=-y3=-1,x2=,x1=3,y1=3。

故|AB|=。

三、設(shè)而不求思想

在點(diǎn)參數(shù)型的直線與圓錐曲線相交問題中,交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)與中點(diǎn)坐標(biāo)有約束關(guān)系,所以交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)可以用其他坐標(biāo)表示,通過整體約分達(dá)到簡化運(yùn)算。圓錐曲線很多問題都遵循“設(shè)—列—解”的程序化運(yùn)算,突出了解析幾何的設(shè)而不求特點(diǎn)。

例4(選修2-1課本第62頁)已知雙曲線x2-=1,過點(diǎn)P(1,1)能否作一條直線l,與雙曲線交于A、B兩點(diǎn),且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)?

解析：設(shè)A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)。

AB直線方程為y=2x-1,代入x2-=1得到2x2-4x+3=0。

則Δ=(-4)2-4×2×3=-8＜0,故不存在AB直線,使得點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)。

點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵是求斜率,若直接設(shè)斜率,首先要分類討論斜率存在與不存在兩種情況,然后與曲線方程聯(lián)立方程,根據(jù)韋達(dá)定理求解,因而運(yùn)算量較大,可通過設(shè)而不求、邊化簡邊運(yùn)算、數(shù)形結(jié)合等方法簡化運(yùn)算。最后一定要檢驗直線是否存在,這一點(diǎn)同學(xué)們最易忽略。