潘軍廷 何銀杰 夏遠(yuǎn)勛 張宏?

1)(浙江大學(xué)海洋學(xué)院,舟山 316021)

2)(浙江大學(xué)物理學(xué)系,浙江近代物理中心,杭州 310027)

螺旋波在不同的物理、化學(xué)和生物系統(tǒng)中普遍存在.周期外場(chǎng),比如極化電場(chǎng),尤其是具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性的圓極化電場(chǎng)可對(duì)螺旋波動(dòng)力學(xué)產(chǎn)生重要影響.本文綜述了極化電場(chǎng)對(duì)可激發(fā)介質(zhì)中螺旋波的控制,包括共振漂移、同步、手征對(duì)稱(chēng)性破缺、多臂螺旋波的穩(wěn)定、次激發(fā)介質(zhì)中的螺旋波、三維回卷波湍流態(tài)的控制、心臟組織中螺旋波的去釘扎、心臟組織中螺旋波湍流態(tài)的控制等.

1 引 言

許多生物膜、生理組織、化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)都具有“可激發(fā)”的性質(zhì)[1].當(dāng)此類(lèi)系統(tǒng)的局部區(qū)域處于靜息狀態(tài)時(shí),對(duì)微擾是穩(wěn)定的;但對(duì)于較強(qiáng)的擾動(dòng)將有一個(gè)快速的響應(yīng),呈現(xiàn)激發(fā)狀態(tài),最后回到靜息狀態(tài).螺旋波廣泛地存在于各類(lèi)可激發(fā)介質(zhì),包括Belousov-Zhabotinsky(BZ)化學(xué)反應(yīng)[2]、一氧化碳在鉑金表面的氧化反應(yīng)[3]、心臟組織[4]等系統(tǒng)中.心臟實(shí)驗(yàn)表明,心律失常與螺旋波的自組織及螺旋波湍流態(tài)有密切關(guān)系[4,5],螺旋波的深入研究對(duì)心臟病研究將會(huì)產(chǎn)生重要影響.另外,與人們所熟悉的行波表現(xiàn)為平行的波前和波背完全一致地傳播的情形不同,螺旋波的波前和波背在頂點(diǎn)處融為一體,形成具有奇異性結(jié)構(gòu)的螺旋波端點(diǎn).此端點(diǎn)構(gòu)成了螺旋波的組織中心,是一個(gè)時(shí)空點(diǎn)拓?fù)淙毕?相位奇點(diǎn)),研究螺旋波可為人們研究拓?fù)淙毕輨?dòng)力學(xué)提供一種有效的途徑.

電場(chǎng)對(duì)螺旋波影響的實(shí)驗(yàn)和理論工作比較豐富,包括直流電場(chǎng)和交流電場(chǎng).在BZ反應(yīng)實(shí)驗(yàn)中,Steinbock等[6]發(fā)現(xiàn)直流電場(chǎng)可使螺旋波的漂移速度形成分別與電場(chǎng)方向平行和垂直的兩個(gè)分量,且其垂直分量的方向會(huì)因螺旋波的手征性不同而各異.Mu?uzuri等[7]指出,當(dāng)交流電場(chǎng)頻率成兩倍于螺旋波頻率時(shí),螺旋波會(huì)產(chǎn)生共振漂移.Zhang等[8]研究了直流、交流電場(chǎng)作用下的螺旋波漂移行為,得到了螺旋波漂移速度的一個(gè)近似解析公式.

上述研究的外加電場(chǎng),只具有一個(gè)方向指向.由于螺旋波繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn),具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性,人們希望外加的電場(chǎng)也具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性.Chen等[9]通過(guò)把兩個(gè)相互垂直且頻率相同的交流電場(chǎng)疊加,理論上提出了一個(gè)極化電場(chǎng)(圖1),實(shí)現(xiàn)了外電場(chǎng)具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性的特性.通過(guò)調(diào)節(jié)兩交流電場(chǎng)間的相位差,可以得到不同模式的極化電場(chǎng),比如線極化、橢圓極化、圓極化電場(chǎng)等(圖2).近來(lái),Ji等[10]在BZ反應(yīng)實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)了外加極化電場(chǎng).

圖1 極化電場(chǎng)示意圖[11] Ex,Ey 表示兩個(gè)相互垂直的交流電場(chǎng),E0,ωe 分別是交流電場(chǎng)的振幅和頻率,φe,φxy分別是初相位和相位差Fig.1.Realization sketch of a polarized electric field[11]: Ex,Ey are two ac electric fields perpendicular to each other,where E0,ωe are the amplitude and the frequency of the electric field,respectively,and φe,φxy are the initial phase and the phase difference,respectively.

描述螺旋波動(dòng)力學(xué)的反應(yīng)擴(kuò)散方程一般可表述為[12]

其中 u,v 是系統(tǒng)變量;f,g 代表反應(yīng)函數(shù)(f,g 的具體形式可參見(jiàn)文獻(xiàn)[12]);ε 描述介質(zhì)的可激發(fā)性;Du,Dv是擴(kuò)散系數(shù).系統(tǒng)(1)式可外加一極化電場(chǎng) Ex=E0cos(ωet+φe),Ey=E0cos(ωet+φe+φxy),其中 Ex,Ey表示兩個(gè)相互垂直的交流電場(chǎng).

如果研究的系統(tǒng)是化學(xué)系統(tǒng),比如BZ反應(yīng),極化電場(chǎng)對(duì)系統(tǒng)的影響表現(xiàn)為[13]: 方程(1)中,第一個(gè)方程的右邊加入第二個(gè)方程的右邊加入其中 Mu,Mv表示離子遷移率.本文第2—7節(jié)所研究的系統(tǒng)為化學(xué)系統(tǒng).

如果研究的系統(tǒng)是心臟系統(tǒng)(Dv為零),極化電場(chǎng)只對(duì)系統(tǒng)中的缺陷邊界產(chǎn)生影響,表現(xiàn)為在缺陷邊界有一零流邊界條件[14]: n ·?(u+E ·r)=0,其中n是缺陷邊界處的法向矢量,r 為缺陷邊界處的點(diǎn),u 為跨膜電壓,E=(Ex,Ey)為極化電場(chǎng).本文第8節(jié)和第9節(jié)所研究的系統(tǒng)為心臟系統(tǒng).

2 螺旋波的共振漂移

極化電場(chǎng)下,Chen 等[9]研究得出,當(dāng)電場(chǎng)頻率是螺旋波頻率的2倍時(shí),螺旋波呈直線漂移,即共振漂移.當(dāng)電場(chǎng)為圓極化電場(chǎng),且與螺旋波同向旋轉(zhuǎn)時(shí),螺旋波的漂移速率最大;反之,當(dāng)圓極化電場(chǎng)與螺旋波反向旋轉(zhuǎn)時(shí),螺旋波不發(fā)生漂移.另外,通過(guò)改變極化電場(chǎng)的相位差,可改變螺旋波的漂移速度.

近來(lái),Li等[15]基于響應(yīng)函數(shù)理論[16?18],考慮方程(1)受弱電場(chǎng)擾動(dòng)作用,研究了弱極化電場(chǎng)下螺旋波的漂移行為.研究解析給出了螺旋波的漂移速度公式,且該公式適用于強(qiáng)激發(fā)及弱激發(fā)介質(zhì)(圖3).當(dāng)圓極化電場(chǎng)頻率是螺旋波頻率的2倍時(shí),研究得到順時(shí)針旋轉(zhuǎn)螺旋波的漂移速度公式為

圖2 不同相位差的極化電場(chǎng)[9]Fig.2.Polarized electric fields at different phase differences[9].

圖3 無(wú)電場(chǎng)作用下,順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋波[15](a)強(qiáng)激發(fā)介質(zhì);(b)弱激發(fā)介質(zhì)Fig.3.Clockwise(cw)rotating spiral waves without electric field[15]:(a)Highly excitable medium;(b)weakly excitable medium.

3 螺旋波的同步

若周期外力使系統(tǒng)的振動(dòng)模式受迫變?yōu)榕c外力驅(qū)動(dòng)同頻,即出現(xiàn)了鎖頻現(xiàn)象.鎖頻狀態(tài)中,外力振幅與頻率差呈現(xiàn)出舌狀關(guān)聯(lián),即存在Arnold tongue區(qū)域[19].Chen等[20]數(shù)值研究了圓極化電場(chǎng)對(duì)螺旋波頻率的影響,發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓極化電場(chǎng)和螺旋波同向旋轉(zhuǎn),且二者頻率較為接近時(shí),原來(lái)處于嚴(yán)格旋轉(zhuǎn)或漫游狀態(tài)的螺旋波均可被圓極化電場(chǎng)同步(圖5),并與圓極化電場(chǎng)保持著恒定的旋轉(zhuǎn)方向偏角.鎖頻后,圓極化電場(chǎng)強(qiáng)度與頻率之間,出現(xiàn)了 Arnold tongue區(qū)域.

圖4 極化電場(chǎng)作用下順時(shí)針旋轉(zhuǎn)螺旋波的漂移[15](a),(b)順時(shí)針(φxy=0.5π)、逆時(shí)針(φxy=1.5π)旋轉(zhuǎn)的圓極化電場(chǎng)作用下螺旋 波的漂移,其中,ωe=2ω,φe=0,Φ =0,ω 是 螺旋波的頻率;(c),(d)漂移 速率與相位 差 φxy 的關(guān)系,實(shí) 線為理論結(jié) 果,圓圈為數(shù)值結(jié)果;(e),(f)漂移角與相位差 φxy 的關(guān)系,實(shí)線為理論結(jié)果,圓圈為數(shù)值結(jié)果.當(dāng)漂移速率為0(φxy=1.5π),無(wú)漂移角;(a),(c),(e)強(qiáng)激發(fā)介質(zhì);(b),(d),(f)弱激發(fā)介質(zhì)Fig.4.Drifting behaviors of cw spirals under the influence of a polarized electric field[15]:(a),(b)Drifting behaviors of spirals under the influence of a cw(φxy=0.5π)and a counterclockwise(ccw)(φxy=1.5π)circularly polarized electric fields(CPEFs)with ωe=2ω,φe=0,Φ=0,and ω being the frequency of the spiral waves;(c),(d)dependence of theoretical(lines)and numerical(circles)drift speeds on the phase difference φxy;(e),(f)dependence of theoretical(lines)and numerical(circles)drift angles on the phase difference φxy .When the drift speed is 0(φxy=1.5π),the drift angle cannot be defined.(a),(c),(e)Highly excitable medium;(b),(d),(f)Weakly excitable medium.

圖5 螺旋波端點(diǎn)軌跡[20](a)?(e)無(wú)圓極化電場(chǎng)作用;(f)?(j)有圓極化電場(chǎng)作用,同一列上下兩個(gè)圖的介質(zhì)尺寸相同F(xiàn)ig.5.Trajectories of spiral tips without control(a)?(e)and under control(f)?(j)of CPEF[20].The size in the same column is identical.

近來(lái),Li等[21]基于響應(yīng)函數(shù)理論,對(duì) Chen 等[20]的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行了理論研究,解析給出了圓極化電場(chǎng)作用下,螺旋波的穩(wěn)定區(qū)域及同步條件,從理論上得到了圓極化電場(chǎng)的 Arnold tongue區(qū)域(圖 6),理論和數(shù)值結(jié)果符合較好.

圖6 圓極化電場(chǎng)強(qiáng)度與頻率之間的 Arnold tongue 區(qū)域[21]實(shí)線為理論結(jié)果,圓圈為數(shù)值結(jié)果Fig.6.Arnold tongue of the(ωe,E0)-plane of CPEF[21]:Lines and circles denote the theoretical and the numerical results,respectively.

4 手征對(duì)稱(chēng)性破缺

螺旋波湍流態(tài)下,系統(tǒng)中具有順時(shí)針、逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)方向的螺旋波數(shù)目一般情況下一樣多,系統(tǒng)總體上呈現(xiàn)出手征對(duì)稱(chēng)性,即零旋轉(zhuǎn)手征對(duì)稱(chēng)性.早年,Nicolis和Prigogine[22]預(yù)言,若反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)受手征性外場(chǎng)作用,可能產(chǎn)生手征對(duì)稱(chēng)性破缺.近來(lái),Li等[23]研究了圓極化電場(chǎng)對(duì)反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)中螺旋波湍流態(tài)手征性的影響,發(fā)現(xiàn)外加的圓極化電場(chǎng),可使原先具有零旋轉(zhuǎn)手征對(duì)稱(chēng)性的系統(tǒng)出現(xiàn)手征對(duì)稱(chēng)性破缺,且使系統(tǒng)具有與圓極化電場(chǎng)的旋轉(zhuǎn)手征性一致的手征性(圖7).研究利用漫游螺旋波,進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)其原因在于,外加的圓極化電場(chǎng),可使系統(tǒng)中與其同向旋轉(zhuǎn)的螺旋波同步,進(jìn)而產(chǎn)生頻移,從而壓制住具有另外旋轉(zhuǎn)方向的螺旋波,使得系統(tǒng)出現(xiàn)了手征對(duì)稱(chēng)性破缺(圖8).對(duì)于嚴(yán)格旋轉(zhuǎn)的螺旋波,Li等[24]理論分析和數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn),與圓極化電場(chǎng)同向、反向旋轉(zhuǎn)的螺旋波,均可通過(guò)調(diào)節(jié)電場(chǎng)頻率對(duì)其手征性進(jìn)行控制.

5 多臂螺旋波的穩(wěn)定

兩個(gè)或多個(gè)相同手征性的螺旋波可以形成一個(gè)多臂螺旋波[25],其穩(wěn)定性與它的周期密切相關(guān)[26].比如,當(dāng)雙臂螺旋波的周期小于一定臨界值時(shí),兩個(gè)螺旋波之間的排斥作用會(huì)增強(qiáng),使其衰退變成兩個(gè)單臂螺旋波.Deng等[27]研究發(fā)現(xiàn),與雙臂螺旋波反向旋轉(zhuǎn)的圓極化電場(chǎng),可使雙臂螺旋波的周期增大,進(jìn)而減弱兩個(gè)螺旋波之間的相互作用,從而可使其處于穩(wěn)定狀態(tài)(圖9).進(jìn)一步研究表明,外加的圓極化電場(chǎng),需要具有合適的強(qiáng)度和頻率,才可使雙臂螺旋波穩(wěn)定(圖10給出了詳細(xì)的相圖).

圖7 螺旋波湍流態(tài)中的手征對(duì)稱(chēng)性破缺[23](a)螺旋波湍流態(tài)中逆時(shí)針(黑點(diǎn))、順時(shí)針(白點(diǎn))旋轉(zhuǎn)的螺旋波;(b)在逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的圓極化電場(chǎng)作用下,系統(tǒng)中僅存留逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋波;(c)當(dāng)(b)中的圓極化電場(chǎng)變成順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后,系統(tǒng)中僅存留順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋波.ωe=1.25,E0=0.20Fig.7.Coherent state out of defect-mediated turbulence accompanied by chiral symmetry breaking[23]:(a)An initial defect-mediated turbulence state consists of ccw spiral defects(black dots)and cw ones(white dots);(b)coherent state with only ccw spiral waves exists in the asymptotic state when the system is coupled to a ccw CPEF with ωe=1.25 and E0=0.20;(c)similar to(b)but with a cw CPEF,and in such a case,only cw spiral waves survive in the system.

6 次激發(fā)介質(zhì)中的螺旋波

若介質(zhì)的激發(fā)性只能維持平面波的傳播,但不能讓螺旋波旋轉(zhuǎn)起來(lái),則介質(zhì)屬于次激發(fā)介質(zhì)[28].Jung和Mayer-Kress[29,30]提出,噪聲作用可助次激發(fā)介質(zhì)產(chǎn)生螺旋波.Cai等[11]發(fā)現(xiàn),圓極化電場(chǎng)可使次激發(fā)介質(zhì)中原先不斷收縮的半平面波不再收縮,而是發(fā)生卷曲形成螺旋波(圖11).所形成的螺旋波可處于嚴(yán)格旋轉(zhuǎn)狀態(tài),且與圓極化電場(chǎng)同步.基于運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系[31]

圖8 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)圓極化電場(chǎng)作用下,漫游螺旋波對(duì)的手征對(duì)稱(chēng)性破缺[23](a)E0=0;(b)E0=0.10,ωe=1.350＞ω0ms(ω0ms≈ 1.309),其中 ω0ms 是無(wú)圓極化電 場(chǎng)作用下,漫游螺旋波的主頻率;(c)E0=0.24,ωe=1.307＜ ω0ms;(d)圓極化電場(chǎng)作用下,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)螺旋波頻率 ωsccw(實(shí)心圓圈)及順時(shí)針旋轉(zhuǎn)螺旋波頻率 ω scw(空心圓圈)與圓極化電場(chǎng)頻率 ωe 的 關(guān)系,其 中 E0=0.10;(e)圓極化電場(chǎng)作用下,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)螺旋波頻率 ωsccw(實(shí)心圓圈)及順時(shí)針旋轉(zhuǎn)螺旋波頻率 ωscw(空心圓圈)與圓極化電場(chǎng)強(qiáng)度 E 0 的關(guān)系,其中 ωe=1.307Fig.8.Symmetry breaking of a meandering spiral pair under a ccw CPEF[23]:(a)E0=0;(b)E0=0.10,ωe=1.350＞ω0ms(ω0ms≈ 1.309),where ω0ms is the principal frequency of the meandering spiral without the CPEF;(c)E0=0.24,ωe=1.307＜ ω0ms;(d)dependence of ωsccw(the frequency of the ccw spiral wave)(full circles)and ωscw(the frequency of the cw spiral wave)(open circles)on ωe with E0=0.10;(e)dependence of ωsccw(full circles)and ωscw(open circles)on E0 with ωe=1.307 .

圖9 圓極化電場(chǎng)對(duì)雙臂螺旋波的穩(wěn)定作用[27](a)無(wú)外場(chǎng)作用;(b)有圓極化電場(chǎng)作用,E0=1.0,ωe=1.22Fig.9.Stabilization of two-armed spiral by CPEF[27]:(a)Without external fields;(b)in the presence of a CPEF with E0=1.0,ωe=1.22 .

研究給出了圓極化電場(chǎng)使次激發(fā)介質(zhì)產(chǎn)生螺旋波的定量解釋.方程(3)中,ct是半平面波端點(diǎn)的切向速度,c0表 示平面波的速度.cB=c0(B-Bc)/K,其中,表征介質(zhì)的激發(fā)性,Δ=δ3-3δ由系統(tǒng)參數(shù) δ 確 定;Bc=0.535 是區(qū)分次激發(fā)介質(zhì)(B ＞Bc)和激發(fā)介質(zhì)(B ＜Bc)的臨界值;K≈0.63是常數(shù).cE=γ//E//+γ⊥E⊥,其中 E//=E0cosθ,E⊥=E0sinθ分別是與ct平行和垂直的電場(chǎng)分量;γ//≈-0.850,γ⊥≈0.929是常數(shù);θ 是 ct與電場(chǎng)E 之間的夾角(圖 12(a)).Hakim和Karma[31]提出,方程(3)中,若 ct＜c0,則介質(zhì)可產(chǎn)生螺旋波.Cai等[11]通過(guò)半解析分析,得出與圖11中的螺旋波對(duì)應(yīng)的方程(3)中,cB+cE＜0(圖 12(b)),即ct＜c0,從而使得次激發(fā)介質(zhì)中形成了螺旋波,且數(shù)值與半解析結(jié)果取得了一致的結(jié)果(圖12(c)).值得提出的是,圖11中的系統(tǒng)參數(shù) B=0.5515,c0≈0.8887,從而可有 cB＞0 .因此,cB+cE＜0是圓極化電場(chǎng)作用的結(jié)果.

圖10 圓極化電場(chǎng)對(duì)雙臂螺旋波作用的相圖[27] BU,TS分別表示破碎、穩(wěn)定區(qū)域;SS表示電場(chǎng)過(guò)弱,不足以穩(wěn)定雙臂螺旋波而使其衰退為單臂螺旋波的區(qū)域;ω0=1.24是單臂螺旋波的頻率Fig.10.The phase diagram for the effects of CPEF on twoarmed spiral[27]: BU,TS denote the breakup and the stabilization regions,respectively,and SS means the region where the electric field is not strong enough to stabilize the two-armed spiral and it decays into two single-armed spirals.The frequency of the single-armed spiral ω0=1.24 .

圖11 次激?發(fā)介質(zhì)中半平面波的演化[11](a)?(c)無(wú)外場(chǎng)作用;(d)(f)有圓極化電場(chǎng)作用.E0=0.2,ωe=0.2Fig.11.The evolution of a broken plane wave in the subexcitable system without(a)?(c)and with(d)?(f)CPEFs[11].E0=0.2,ωe=0.2 .

圖12 圓極化電場(chǎng)使次激發(fā)介質(zhì)產(chǎn)生螺旋波的機(jī)制分析[11],E0=0.1(a)圓極化電場(chǎng)對(duì)螺旋波端點(diǎn)的作用示意圖;(b)cB+cE 隨 ωe的變化關(guān)系;(c)ct的半解析解與數(shù)值解的比較Fig.12.The mechanism analyses for spiral waves sustained by CPEF in subexcitable media[11],E0=0.1 :(a)The sketch of a spiral wave tip submitted to a CPEF;(b)results of cB+cE v arying with ωe;(c)the comparison of the semi-analytical ct with the numerical ct .

7 三維回卷波湍流態(tài)的控制

回卷波會(huì)因其奇異線張力為負(fù)而失穩(wěn)成湍流態(tài)[32],相反,若奇異線張力為正,則可使回卷波處于穩(wěn)定狀態(tài).在系統(tǒng)全空間加周期信號(hào)[33],或在系統(tǒng)的某一局部加一個(gè)較強(qiáng)的周期信號(hào)[34],這種張力為負(fù)引起的回卷波湍流態(tài)可以被控制到空間均勻狀態(tài).最近,Li等[35]發(fā)現(xiàn),圓極化電場(chǎng)可抑制因張力為負(fù)引起的回卷波湍流態(tài),而使其從無(wú)序湍流態(tài)走向有序回卷波態(tài)(圖13).其原因在于圓極化電場(chǎng)可使回卷波鎖相,進(jìn)而將奇異線張力由負(fù)變?yōu)檎?以及具有較原先高些的頻率.研究進(jìn)一步發(fā)現(xiàn),在圓極化電場(chǎng)頻率與回卷波頻率較為接近的范圍內(nèi),如此的回卷波湍流被抑制現(xiàn)象存在一定的范圍(圖 14).另外,基于響應(yīng)函數(shù)理論,研究發(fā)現(xiàn)圓極化電場(chǎng)下,奇異線張力滿足以下關(guān)系[35]:

其中 Γ1,γ1分別表示回卷波在有、無(wú)外電場(chǎng)作用下的奇異線張力,E0為 電場(chǎng)強(qiáng)度,Δ ω 表征電場(chǎng)與回卷波之間的頻差.M,g//,g⊥三個(gè)參數(shù)可由理論計(jì)算得到.數(shù)值計(jì)算與理論值取得一致的結(jié)果(圖15).

圖13 圓極化電場(chǎng)作用下,回卷波湍流態(tài)從無(wú)序走向有序[35] E0=0.4,ωe=ω0=1.2455,其中 ω0 表 示螺旋波的頻率;t=0,施加圓極化電場(chǎng)作用;黃線表示奇異線Fig.13.Ordering of scroll wave turbulence by switching on a ccw CPEF at t=0 with E0=0.4 and rotation frequency ωe=1.2455 equal to the natural spiral wave frequency ω0[35].Filaments are shown in yellow.

圖14 圓極化電場(chǎng)抑制(實(shí)心圓圈)回卷波湍流態(tài)的參數(shù)區(qū)域中,電場(chǎng)強(qiáng)度 E 0 與 歸一化頻率 ωe/ω0 的關(guān)系[35],交叉表示不能抑制回卷波湍流態(tài)Fig.14.Parameter region of scroll wave turbulence suppression(full circles)as a function of external field amplitude E0 and normalized frequency ωe/ω0[35].Crosses denote failure of ordering turbulence.

圖15 鎖相回卷波的奇異線張力[35]Fig.15.Filament tension of phase-locked scroll waves[35].

8 心臟組織中螺旋波的去釘扎

心臟系統(tǒng)中,螺旋波會(huì)引起心動(dòng)過(guò)速,若螺旋波被缺陷釘扎住而無(wú)法驅(qū)趕走,則可能導(dǎo)致更嚴(yán)重的心臟疾病.為了使螺旋波去釘扎,人們研究發(fā)現(xiàn),勻強(qiáng)電場(chǎng)在缺陷邊界處可產(chǎn)生激發(fā)波[36?39],進(jìn)而可使螺旋波去釘扎.Feng等[40]發(fā)現(xiàn),相比于勻強(qiáng)電場(chǎng),圓極化電場(chǎng)作用下缺陷邊界的膜電勢(shì)分布呈動(dòng)態(tài)的“太極圖”狀(勻強(qiáng)電場(chǎng)下,呈靜態(tài)的對(duì)稱(chēng)偶極子狀),且與圓極化電場(chǎng)同步旋轉(zhuǎn)(圖16).研究發(fā)現(xiàn),圓極化電場(chǎng)能有效地使螺旋波去釘扎(圖17).由于圓極化電場(chǎng)作用產(chǎn)生的“太極圖”式的膜電勢(shì)分布,即去極化及超極化區(qū)域可與電場(chǎng)動(dòng)態(tài)同步旋轉(zhuǎn),使得螺旋波的去釘扎較勻強(qiáng)電場(chǎng)更有效、所需的外加電壓更低,以及有更大的適用范圍(圖18).

9 心臟組織中螺旋波湍流態(tài)的控制

心臟組織中的螺旋波湍流態(tài),會(huì)引起嚴(yán)重的心臟病,比如心顫[41].人們通常采用單個(gè)高壓電擊作用于心臟而使其恢復(fù)正常心電活動(dòng)[42?44],但因其副作用太大[43,44]而局限過(guò)大.缺陷激發(fā)波法[36?39]利用低電壓勻強(qiáng)電場(chǎng)在缺陷邊界產(chǎn)生激發(fā)波,從而可以去顫.但該方法只能在缺陷鄰近處有效而使其效率受限(需要較多缺陷,才能產(chǎn)生出較多的激發(fā)波去顫).Feng等[45]發(fā)現(xiàn),圓極化電場(chǎng)在低電壓下,可使缺陷組織激發(fā)形成不斷向外傳播的圓形波,且其頻率可高于湍流波的頻率(圖19).這些具有較高頻率的圓形波可抑制住心臟組織中的湍流態(tài),從而可以去顫(圖20).相對(duì)而言,勻強(qiáng)電場(chǎng)雖也可使缺陷組織激發(fā)出圓形波,但其頻率幾乎都是低于湍流波的頻率(圖21),從而很難實(shí)現(xiàn)對(duì)湍流態(tài)的有效控制.

圖16 圓極化電場(chǎng)(a)(c)和勻強(qiáng)電場(chǎng)(b)(d)作用下的膜電勢(shì)分布[40](a)Luo-Rudy 模型,E0=0.05V/cm,ωe=0.2 rad/ms;(b)Luo-Rudy 模型,E0=0.05V/cm;(c)Barkley模型,E0=0.05,ωe=4;(d)Barkley 模型,E0=0.05 .R 表示缺陷半徑,Luo-Rudy 模型中,R=0.32cm;Barkley模型中,R=3 .紅色點(diǎn)箭頭表示電場(chǎng)方向,紅色曲線箭頭表示圓極化電場(chǎng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).圍繞著缺陷的紅色、藍(lán)色分別表示去極化、超極化區(qū)域Fig.16.Distribution of the membrane potential induced by CPEF and uniform electric field(UEF)[40]:(a)CPEF in Luo-Rudy model,E0=0.05V/cm,ωe=0.2rad/ms;(b)UEF in Luo-Rudy model,E0=0.05V/cm;(c)CPEF in Barkley model,E0=0.05,ωe=4;(d)UEF in Barkley model,E0=0.05 .In Luo-Rudy model,the obstacle size R=0.32cm,and in Barkley model,R=3 .The red dotted arrows represent the directions of electric fields.The red curved arrows mean CPEFs rotate counterclockwise.The red and the blue regions around obstacles demonstrate de-polarizations and hyper-polarizations,respectively.

圖17 圓極化電場(chǎng)去除順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的釘扎螺旋波[40](a)Luo-Rudy模型,螺旋波頻率ωs=0.136rad/ms,圓極化電場(chǎng)E0=0.7V/cm,ωe=0.1rad/ms;電場(chǎng)作用時(shí)間 t=0—46.2 ms,圓極化電場(chǎng)相對(duì)于 x 軸的初相位為 φe;螺旋波相對(duì)于 x 軸的初相位 φs=0;(b)Barkley模型,螺旋波頻率ωs=1.024,圓極化電場(chǎng)E0=1.8,ωe=3.686;電場(chǎng)作用時(shí)間t=0—6.N和N' 表示不同時(shí)刻圓極化電場(chǎng)激發(fā)產(chǎn)生的激發(fā)波,S和S' 分別表示初始的釘扎螺旋波、去釘扎后的螺旋波.白色箭頭表示波的傳播方向Fig.17.Unpinning the cw rotating anchored spiral by CPEF[40]:(a)Luo-Rudy model,the frequency of spiral ωs=0.136rad/ms;E0=0.7V/cm,ωe=0.1rad/ms;CPEF is applied from t=0 to t=46.2ms .φe is the initial phase of CPEF relative to x axis;φs is the initial phase of the anchored spiral front relative to x axis and sets as zero;(b)Barkley model,ωs=1.024,E0=1.8,ωe=3.686;CPEF is applied from t=0 to t=6 .N and N' represent different new waves nucleated by CPEF in different time.S and S' represent the initial anchord spiral and the new free spiral,respectively.White arrows are the propagation directions of waves.

圖18 Barkley 模型中,圓極化電場(chǎng)(灰色區(qū)域)和勻強(qiáng)電場(chǎng)(陰影區(qū)域)去除釘扎螺旋波的適用范圍[40] SW,NW,RW和BI分別表示螺旋波、無(wú)波、收縮波和雙穩(wěn)區(qū)域;圓極化電場(chǎng) E0=1.8,ωe=3.6ωs;勻強(qiáng)電場(chǎng)E0=7Fig.18.Unpinning scope of CPEF(gray)and UEF(shaded)in Barkley model[40]: SW,NW,RW and BI regions represent spiral waves,no wave,retracting waves and bi-stability,respectively;for CPEF,E0=1.8,ωe=3.6ωs and for UEF,E0=7 .

圖19 靜息態(tài)下圓極化電場(chǎng)及其激發(fā)產(chǎn)生的圓形波列之間的頻率關(guān)系[45] E0=1.0V/cm,0.065rad/ms≤ ωCPEF≤0.22 rad/ms;ωcir 是 圓形波列的頻率;ωtur 是螺旋波湍流態(tài)的主頻率Fig.19.The frequency relations between the circular wave train and CPEF in a two-dimensional quiescent medium[45]:E0=1.0V/cm,0 .065rad/ms≤ ωCPEF≤ 0.22 rad/ms;ωcir is the frequency of the circular wave trains,and ωtur is the dominant frequency of the spiral turbulence.

圖20 圓極化電場(chǎng)抑制螺旋波湍流態(tài)[45]E0=1.0V/cm,ωCPEF=0.14rad/ms(a) t =0;(b)t=1000 ms;(c)t=1800 ms;(d)t=2800 msFig.20.Suppression of spiral turbulence by CPEF[45]:E0=1.0V/cm,ωCPEF=0.14rad/ms :(a)t=0;(b)t=1000 ms;(c)t=1800 ms;(d)t=2800 ms.

圖21 靜息態(tài)下勻強(qiáng)電場(chǎng)及其激發(fā)產(chǎn)生的圓形波列之間的頻率關(guān)系[45] E0=1.0V/cm,0.065rad/ms≤ ωUEF≤0.22 rad/ms;脈沖間隔為10ms;ωcir是圓形波列的頻率;ωtur是螺旋波湍流態(tài)的主頻率Fig.21.The frequency relations between the circular wave train and UEF in a two-dimensional quiescent medium[45]:E0=1.0V/cm,0 .065rad/ms≤ ωCPEF≤ 0.22rad/ms;the pulse duration is 1 0ms;ωcir is the frequency of the circular wave trains,and ωtur is the dominant frequency of the spiral turbulence.

10 結(jié) 論

本文著重介紹了圓極化電場(chǎng)對(duì)可激發(fā)介質(zhì)中螺旋波的控制.由于具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性,圓極化電場(chǎng)可對(duì)螺旋波動(dòng)力學(xué)產(chǎn)生獨(dú)特而有效的影響,并可基于運(yùn)動(dòng)學(xué)、響應(yīng)函數(shù)等理論,給出相應(yīng)的理論解釋.

近來(lái),人們通過(guò)對(duì)兩對(duì)相互垂直的電極板通以交流電,在BZ反應(yīng)實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)了外加極化電場(chǎng)[10].心臟實(shí)驗(yàn)方面,人們一般把兩對(duì)正負(fù)電極分別放置于心臟的四周,然后通以直流電來(lái)對(duì)心臟產(chǎn)生作用(文獻(xiàn)[38]的圖5(D)).很顯然,只要把其中的直流電換成交流電,就可以類(lèi)似于BZ反應(yīng)實(shí)驗(yàn)一樣,在心臟實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)外加極化電場(chǎng).因此,極化電場(chǎng)在心臟病研究方面,也具有重要的意義.希望本文介紹的數(shù)值及理論結(jié)果可以在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn).