李曉亮 陳憲章 劉郴榮 黃亮

(蘭州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,蘭州 730000)

量子疤痕是波函數(shù)在經(jīng)典不穩(wěn)定周期軌道周?chē)闯Ｄ鄣囊环N量子或波動(dòng)現(xiàn)象.人們對(duì)疤痕態(tài)的量子化條件進(jìn)行了大量研究,對(duì)深入理解半經(jīng)典量子化起到了一定的促進(jìn)作用.之前大部分研究工作主要集中在硬墻量子彈球上,即給定邊界形狀的無(wú)窮深量子勢(shì)阱系統(tǒng).本文研究具有光滑復(fù)雜勢(shì)場(chǎng)的二維量子彈球系統(tǒng),考察疤痕態(tài)的量子化條件及其重復(fù)出現(xiàn)的規(guī)律,得到了與硬墻彈球不一樣的結(jié)果,對(duì)理解這類(lèi)現(xiàn)象是一個(gè)有益的補(bǔ)充.這些結(jié)果將有助于理解具有無(wú)規(guī)長(zhǎng)程雜質(zhì)分布的二維電子系統(tǒng)的態(tài)密度譜和輸運(yùn)行為.

1 背 景

經(jīng)典量子對(duì)應(yīng)是量子力學(xué)一個(gè)重要的基本問(wèn)題.從玻爾的舊量子論,到量子力學(xué)的建立,一直到近代對(duì)量子力學(xué)基本原理的探討,都離不開(kāi)這個(gè)問(wèn)題.眾所周知,對(duì)于經(jīng)典系統(tǒng),有可積和不可積之分,而對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)來(lái)說(shuō),絕大多數(shù)都是不可積的.可積系統(tǒng)可以通過(guò)玻爾- 索末菲量子化規(guī)則或后來(lái)發(fā)展的 Einstein-Brillouin-Keller(EBK)量子化條件[1]來(lái)量子化,得到對(duì)應(yīng)量子系統(tǒng)的能級(jí).而不可積的系統(tǒng)由于沒(méi)有整體的作用量—角變量這些對(duì)偶量,不能簡(jiǎn)單地應(yīng)用量子化規(guī)則[2,3].到上世紀(jì)六七十年代,隨著原子核物理、隨機(jī)矩陣?yán)碚?、?jīng)典混沌的發(fā)展,人們重新考察經(jīng)典不可積系統(tǒng)的量子化問(wèn)題,得到了系列結(jié)果,特別是 Gutzwiller[4]的求跡公式,發(fā)現(xiàn)對(duì)于對(duì)應(yīng)經(jīng)典動(dòng)力學(xué)為混沌的量子系統(tǒng),雖然經(jīng)典不穩(wěn)定周期軌道的測(cè)度是零,但是這些軌道卻決定了該量子系統(tǒng)能譜的漲落特征.其中一類(lèi)重要的模型是二維硬墻(hard-wall)量子彈球[5?8],即二維無(wú)限深勢(shì)阱,其經(jīng)典極限對(duì)應(yīng)著動(dòng)力學(xué)彈球——粒子在其中做自由運(yùn)動(dòng),在邊界處發(fā)生鏡像反射.系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為完全由邊界形狀決定.當(dāng)邊界不規(guī)則時(shí),粒子的經(jīng)典動(dòng)力學(xué)行為往往是混沌的.對(duì)于量子彈球系統(tǒng),其方程為單粒子薛定諤方程.由于這一方程為線(xiàn)性方程,排除了混沌發(fā)生的可能,因此,在半經(jīng)典極限下如何發(fā)展出混沌就成了一個(gè)非常引人入勝的問(wèn)題.此外,當(dāng)改變邊界使得經(jīng)典動(dòng)力學(xué)是可積或混沌時(shí),所對(duì)應(yīng)的量子系統(tǒng)有沒(méi)有什么特征?有沒(méi)有什么量子系統(tǒng)的指標(biāo)可以明確說(shuō)明其所對(duì)應(yīng)的經(jīng)典動(dòng)力學(xué)是否混沌? 對(duì)這些問(wèn)題的研究構(gòu)成了量子混沌學(xué),簡(jiǎn)稱(chēng)為量子混沌[9].經(jīng)過(guò)半個(gè)多世紀(jì)的研究,在很多方面,如波函數(shù)統(tǒng)計(jì)特征、能譜統(tǒng)計(jì)、量子混沌散射、量子保真度、動(dòng)力學(xué)演化特征等,人們都得到了深入的理解[5,8,10?15].注意在講可積或混沌時(shí),均指的經(jīng)典系統(tǒng),或量子系統(tǒng)在經(jīng)典極限下的行為.

“量子疤痕”作為量子波函數(shù)在經(jīng)典不穩(wěn)定軌道上的反常凝聚,是量子世界對(duì)經(jīng)典軌道的一個(gè)敏銳的反常響應(yīng)[16?18].軌道為經(jīng)典的概念,波函數(shù)為量子的概念,在一些情況下,量子波函數(shù)在空間中會(huì)凝聚在經(jīng)典的周期軌道上,即粒子在這些經(jīng)典軌道附近的概率要遠(yuǎn)大于其他地方.對(duì)于經(jīng)典混沌系統(tǒng),如運(yùn)動(dòng)場(chǎng)形或其他具有特定邊界形狀的彈球系統(tǒng),由于其周期軌道的不穩(wěn)定性,周期軌道在相空間的測(cè)度為零,粒子保持在該軌道上運(yùn)動(dòng)的概率是零;但對(duì)于量子系統(tǒng),在某些能級(jí)下,粒子反而會(huì)以很大的概率“凝聚”在這些軌道上,這一違反直觀(guān)的現(xiàn)象就是量子疤痕.當(dāng)然,對(duì)于經(jīng)典可積系統(tǒng)或混合動(dòng)力系統(tǒng)(即相空間中既有混沌海又有穩(wěn)定軌道所形成的 Kolmogorov-Arnold-Moser(KAM)島),對(duì)應(yīng)量子系統(tǒng)的本征波函數(shù)在穩(wěn)定軌道上也有很強(qiáng)的凝聚,而且比混沌軌道上的凝聚更強(qiáng),但由于在經(jīng)典情形下粒子就能夠自然地在這一軌道上運(yùn)動(dòng),所以并不奇怪.量子疤痕作為聯(lián)系經(jīng)典軌道和量子現(xiàn)象的紐帶,受到了人們的廣泛關(guān)注,并給出了半經(jīng)典的解釋,即量子波函數(shù)在該軌道上傳播時(shí)相位的相干疊加產(chǎn)生的加強(qiáng)效應(yīng)[19?22].

之前關(guān)于量子疤痕的研究主要集中在硬墻量子彈球里,關(guān)于軟墻(soft-wall)量子彈球的研究相對(duì)較少.軟墻(soft-wall)和硬墻的主要區(qū)別在于彈球邊界上的勢(shì)場(chǎng)是光滑漸變的還是不連續(xù)的階梯勢(shì).本文將主要研究軟墻量子彈球系統(tǒng)以及更加廣泛的具有復(fù)雜光滑勢(shì)場(chǎng)彈球系統(tǒng)的疤痕態(tài)及其所滿(mǎn)足的量子化條件.軟墻會(huì)對(duì)經(jīng)典動(dòng)力學(xué)帶來(lái)重要的影響.已經(jīng)發(fā)現(xiàn),即使對(duì)于經(jīng)典可積的橢圓形硬墻彈球,當(dāng)邊界足夠軟時(shí),系統(tǒng)變?yōu)榛旌闲偷?在相空間中KAM島周?chē)霈F(xiàn)了混沌海[23].在軟墻量子彈球方面,Luukko等[24]和Keski-Rahkonen等[25?27]研究了二維異向諧振子,在加入很多短程雜質(zhì)破壞系統(tǒng)的可分離性后,發(fā)現(xiàn)了與經(jīng)典李薩如圖形一致的李薩如疤痕態(tài).他們的工作詳細(xì)討論了頻率比作為主要參數(shù)對(duì)系統(tǒng)行為的影響,認(rèn)為李薩如疤痕態(tài)的出現(xiàn)是量子力學(xué)對(duì)經(jīng)典混沌的抑制作用,但并沒(méi)有討論半經(jīng)典量子化的條件.本文將主要討論疤痕態(tài)的半經(jīng)典量子化條件,并考慮更加復(fù)雜的光滑勢(shì)場(chǎng)所帶來(lái)的影響.一般來(lái)講,疤痕態(tài)指凝聚在經(jīng)典不穩(wěn)定周期軌道上的波函數(shù).在此,由于我們主要關(guān)心在這些軌道上波函數(shù)半經(jīng)典量子化的條件,我們將對(duì)穩(wěn)定和不穩(wěn)定軌道都做處理,來(lái)考察他們半經(jīng)典量子化的條件.

疤痕態(tài)出現(xiàn)的必要條件與 EBK 量子化條件類(lèi)似,即從一點(diǎn)出發(fā),沿軌道行進(jìn)一周,所累積的總的相位是 2π 的整數(shù)倍,以保證波函數(shù)的單值性和加強(qiáng)相干疊加[14,28].只是對(duì)于較復(fù)雜的情況,沿軌道行進(jìn)時(shí)的相位貢獻(xiàn)來(lái)源比較復(fù)雜.關(guān)于相位的計(jì)算,對(duì)于硬墻二維量子彈球,人們已經(jīng)比較清楚,主要有在彈球區(qū)域內(nèi)的自由運(yùn)動(dòng)項(xiàng),即 p ·dq 項(xiàng),以及在邊界處的反射系數(shù)項(xiàng)和Maslov 指數(shù)項(xiàng);而對(duì)于二維光滑約束勢(shì)場(chǎng)(軟墻)中的量子彈球,據(jù)我們所知,由于所處理的情形的復(fù)雜性,詳細(xì)的疤痕態(tài)出現(xiàn)時(shí)能量所滿(mǎn)足的量子化條件以及疤痕態(tài)重復(fù)出現(xiàn)的規(guī)律還沒(méi)有給出.雖然半經(jīng)典量子化條件可以精確求出量子諧振子的本征能量,但對(duì)于一般的系統(tǒng),比如受擾動(dòng)的諧振子,半經(jīng)典量子化條件只在較高能級(jí)時(shí)才適用,可以近似給出疤痕態(tài)出現(xiàn)時(shí)的能量值.在這里,我們發(fā)現(xiàn),對(duì)于較低的能級(jí),仍然能夠得到疤痕態(tài)出現(xiàn)的能量值和半經(jīng)典理論較好的對(duì)應(yīng).

改變能量或波矢,當(dāng)沿軌道一周累積的相位改變接近 2π 的整數(shù)倍時(shí),疤痕態(tài)能夠重復(fù)出現(xiàn),并且重復(fù)出現(xiàn)的規(guī)律是一個(gè)重要指標(biāo),依賴(lài)于系統(tǒng)態(tài)密度的信息.對(duì)于同一類(lèi)軌道,由于在邊界處獲得的相位相同,相位差主要由作用量 S 的改變貢獻(xiàn).對(duì)于硬墻量子彈球,在經(jīng)典極限下,由于軌道與能量無(wú)關(guān),動(dòng)量大小與位置無(wú)關(guān),且動(dòng)量與軌跡切向平行,故為軌道長(zhǎng)度.相鄰疤痕態(tài)重復(fù)出現(xiàn)的必要條件即為即疤痕態(tài)在波矢空間是近似等間距出現(xiàn)的.對(duì)于非相對(duì)論量子系統(tǒng),由于為能量的最低點(diǎn),即疤痕態(tài)在能量空間是按照等間距出現(xiàn)的.而對(duì)于極端相對(duì)論性系統(tǒng),E ∝k,此時(shí)在能量空間疤痕態(tài)則是按照 E 等間距出現(xiàn)的[29,30].相對(duì)于硬墻彈球,光滑勢(shì)場(chǎng)量子彈球或軟墻彈球的行為更加復(fù)雜,此時(shí)周期軌道與能量有關(guān),哪怕對(duì)于同一類(lèi)軌道,當(dāng)能量改變時(shí),軌道的長(zhǎng)度和位置也會(huì)發(fā)生變化,而且動(dòng)量與位置有關(guān),作用量只能通過(guò)數(shù)值積分得到.此外,對(duì)于硬墻量子彈球系統(tǒng),每次在邊界處的碰撞,反射系數(shù)會(huì)貢獻(xiàn)一個(gè)相位,同時(shí)取決于邊界形狀,如果碰撞點(diǎn)處邊界為弧形,還會(huì)有共軛點(diǎn)的貢獻(xiàn).而對(duì)于光滑勢(shì)系統(tǒng),除了端點(diǎn),在軌道發(fā)生偏轉(zhuǎn)時(shí)沒(méi)有相應(yīng)的反射系數(shù)貢獻(xiàn)的相位,只有在軌道的端點(diǎn)處發(fā)生完全反射時(shí)才會(huì)有這個(gè)貢獻(xiàn),同時(shí)對(duì)軌道共軛點(diǎn)的判斷也更加困難.特別地,對(duì)于某些復(fù)雜勢(shì)場(chǎng)的情況,有可能存在一些臨界點(diǎn),當(dāng)能量值跨過(guò)這些臨界點(diǎn)時(shí),其經(jīng)典周期軌道可能會(huì)出現(xiàn)定性上的改變[31].我們將會(huì)碰到這種情況,并考察當(dāng)經(jīng)典周期軌道發(fā)生定性的改變時(shí),比如從不穩(wěn)定變?yōu)榉€(wěn)定,其上疤痕態(tài)的半經(jīng)典量子化條件的變化.

目前由于二維材料的廣泛研究,人們研究了由雜質(zhì)原子所形成的島上區(qū)域的電子態(tài)密度,發(fā)現(xiàn)對(duì)于比較規(guī)則的系統(tǒng),態(tài)密度在隨能量變化時(shí)會(huì)出現(xiàn)一些特征的峰,與疤痕態(tài)所滿(mǎn)足的量子化條件一致.而對(duì)于一般情況,當(dāng)雜質(zhì)較多時(shí),也會(huì)出現(xiàn)一些比較明顯的峰,這些峰的來(lái)源與特征是什么,與經(jīng)典軌道有沒(méi)有關(guān)系,還是一個(gè)沒(méi)有解決的問(wèn)題.雜質(zhì)所產(chǎn)生的勢(shì)場(chǎng)往往能夠形成大小不等的勢(shì)谷,電子局限在勢(shì)谷中,在一定的能量值時(shí),在特定的軌道上形成滿(mǎn)足量子化條件的疤痕態(tài),顯現(xiàn)出較高的態(tài)密度峰,并且由于疤痕態(tài)的重復(fù)出現(xiàn),這些峰隨著能量的改變也會(huì)重復(fù)出現(xiàn),只是由于勢(shì)場(chǎng)的復(fù)雜性,態(tài)密度峰的周期性會(huì)受一定的影響.因此,我們研究擾動(dòng)下二維諧振子勢(shì)中量子彈球的量子化條件,以期對(duì)復(fù)雜約束勢(shì)場(chǎng)中疤痕態(tài)出現(xiàn)的量子化條件以及實(shí)驗(yàn)上能夠觀(guān)察得到的態(tài)密度峰有進(jìn)一步的理解.

2 模 型

因?yàn)槲覀兊哪康氖茄芯繌?fù)雜勢(shì)場(chǎng)下疤痕態(tài)出現(xiàn)的量子化條件,因此將分兩步進(jìn)行,一是輕微擾動(dòng)下的二維量子諧振子,這時(shí)有解析的分析,可以驗(yàn)證我們的數(shù)值結(jié)果;二是在大擾動(dòng)下出現(xiàn)復(fù)雜經(jīng)典動(dòng)力學(xué)行為的光滑勢(shì)場(chǎng)中的量子彈球.在輕微擾動(dòng)下,我們將能夠看到李薩如疤痕態(tài),即凝聚在經(jīng)典李薩如圖形(當(dāng) x,y 兩個(gè)方向上的頻率比為簡(jiǎn)單的整數(shù)比時(shí)所出現(xiàn)的圖形)上的疤痕態(tài),并研究這些疤痕態(tài)出現(xiàn)所滿(mǎn)足的量子化條件.在大擾動(dòng)下,經(jīng)典軌道和疤痕態(tài)的特征將會(huì)有較大的變化,但是可以預(yù)期這些量子化條件仍然適用.這樣,可以一般性地給出在二維復(fù)雜勢(shì)場(chǎng)量子彈球系統(tǒng)中的量子化條件,可以預(yù)期這些結(jié)果對(duì)于約束在復(fù)雜的隨機(jī)長(zhǎng)程勢(shì)場(chǎng)中的電子仍然有效.對(duì)于理想的二維量子諧振子,其哈密頓為

其中

其中Nnm是歸一化常數(shù)是n階厄米多項(xiàng)式.由于該系統(tǒng)可以分離為x,y兩個(gè)方向的一維諧振子的直積,本征波函數(shù)也具有這樣的對(duì)稱(chēng)性,一般不會(huì)出現(xiàn)凝聚在經(jīng)典周期軌道上的情況,因此不會(huì)出現(xiàn)與經(jīng)典情況中的李薩如圖形所對(duì)應(yīng)的疤痕態(tài).文獻(xiàn)[26]通過(guò)在二維異向諧振子中加入大量有短程作用的雜質(zhì)的方法來(lái)破壞這個(gè)對(duì)稱(chēng)性,在這些雜質(zhì)的誘導(dǎo)下,該系統(tǒng)中出現(xiàn)了與經(jīng)典李薩如圖形一致的李薩如疤痕態(tài).

為了方便,在計(jì)算的時(shí)候我們重新標(biāo)度各物理量.令系統(tǒng)的特征長(zhǎng)度為 L0,則 x=x′L0.由于我們將采用有限差分的方式進(jìn)行計(jì)算,因此將彈球區(qū)域分成間距為 a 的正方形格子,并令 t=?2/(2ma2),將其作為能量的單位.因 ?ω 亦是能量的單位,故令這樣勢(shì)能的單位亦為t .

圖1展示了本文所研究的輕微擾動(dòng)和大擾動(dòng)下的二維諧振子勢(shì),其中在圖1(a)中,我們?cè)谥C振子勢(shì)(2)的基礎(chǔ)上,在(x0/L0,y0/L0)=(-0.278,-0.226)處加了一個(gè)δ(xx0,y-y0)的函數(shù)勢(shì),用來(lái)破壞原來(lái)勢(shì)場(chǎng)沿x軸、y軸的鏡面對(duì)稱(chēng)以及沿z軸的旋轉(zhuǎn)180°的對(duì)稱(chēng)性.在圖1所示的區(qū)域邊界,再加一個(gè)硬墻勢(shì),注意這里也可以在這個(gè)區(qū)域邊界之外加一個(gè)增長(zhǎng)更快的連續(xù)勢(shì).我們將主要分析低能級(jí)的態(tài),這時(shí)這個(gè)區(qū)域邊界上及其外圍的勢(shì)場(chǎng)對(duì)結(jié)果影響很小.圖1(b)在圖1(a)的基礎(chǔ)上加一個(gè)高斯勢(shì),即

其中 U=1t,σ=0.2828,(xG,yG)=(-0.3441,0.1226),來(lái)進(jìn)一步破壞系統(tǒng)的可積性.這樣整個(gè)勢(shì)場(chǎng)形成左右兩個(gè)谷,中間一個(gè)峰,其中右側(cè)谷底的位置為對(duì)應(yīng)的勢(shì)能為兩個(gè)勢(shì)谷之間存在兩個(gè)鞍點(diǎn),對(duì)應(yīng)的勢(shì)能分別為 0 .591t和0 .976t .因此,當(dāng)粒子能量低于 0 .591t 時(shí),其經(jīng)典軌跡只能局限在其中的一個(gè)勢(shì)谷中.這里需注意,哪怕粒子只被囚禁在一個(gè)谷中,其經(jīng)典動(dòng)力學(xué)仍然不一定是可積的,因?yàn)檐浀膭?shì)場(chǎng)往往能夠?qū)⒔?jīng)典動(dòng)力學(xué)復(fù)雜化[23].

圖1(a)二維諧振子勢(shì)((2)式),其中L0是系統(tǒng)的特征尺度,為了破壞對(duì)稱(chēng)性,我們?cè)?xδ/L0,yδ/L0)=(-0.278,-0.226)處加了一個(gè)δ(x-x0,y-y0)函數(shù)勢(shì);(b)在勢(shì)場(chǎng)(a)的基礎(chǔ)上,加入了一個(gè)高斯勢(shì)場(chǎng),其中,(/L,y/L)=(-0.3441,0.1226).這樣整個(gè)勢(shì)場(chǎng)形成左右 0G0兩個(gè)谷,一個(gè)峰,其中右側(cè)谷底的位置為(xV/L0,yV/L0)=(0.3574,-0.0179),對(duì)應(yīng)的勢(shì)能為 Vmin=0.1053t .兩個(gè)勢(shì)谷之間存在兩個(gè)鞍點(diǎn),如叉號(hào)所標(biāo)示的位置,對(duì)應(yīng)的勢(shì)能分別為0.591t和0.976tFig.1.(a)Two-dimensional harmonic potential(Eq.(2)),where L 0 is the character scale of the system,,and.To break the discrete symmetry,we added a δ(x-x0,y-y0)potential at(xδ/L0,yδ/L0)=(-0.278,-0.226);(b)On the potential given in Fig.(a),we added an additional Gaussian potential =Ue-[(x-xG)2+(y-yG)2]/(2σ2),where U=1t,σ/L0=0.2828,and(xG/L0,yG/L0)=(-0.3441,0.1226).Thus the potential field forms two valleys and one peak,and the position of the bottom of the right valley is(xV/L0,yV/L0)=(0.3574,-0.0179),with corresponding potential Vmin=0.1053t .There are two saddle points between the two valleys,as marked by the crosses,with corresponding potential values 0.591t and 0.976t.

我們參照文獻(xiàn)[23]計(jì)算了粒子約束在圖1(b)勢(shì)場(chǎng)中右側(cè)谷時(shí)的龐加萊截面,結(jié)果展示在圖2中.粒子在勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí),動(dòng)量分解為平行于勢(shì)能等值線(xiàn)的分量 p//和垂直于勢(shì)能等值線(xiàn)的分量 p⊥.龐加萊截面定義為 p⊥=0 時(shí)的截面,此時(shí)粒子軌跡與勢(shì)能等值線(xiàn)相切.這個(gè)切點(diǎn)相對(duì)于谷底的角度θ作為龐加萊截面的參數(shù).從這個(gè)龐加萊截面可以看出,對(duì)于這個(gè)系統(tǒng),即使能量不太高時(shí),也有著復(fù)雜的結(jié)構(gòu),破壞了系統(tǒng)整體的可積性.但是系統(tǒng)有明確的 Kolmogorov–Arnold–Moser(KAM)島,島中間對(duì)應(yīng)著穩(wěn)定軌道.利用KAM島中心點(diǎn)的參數(shù),可以精確找到該軌道,研究該軌道上波函數(shù)的量子化條件.

在求解該系統(tǒng)的本征能量和本征態(tài)時(shí),我們將?2進(jìn)行有限差分,將彈球區(qū)域分成間距為 a 的正方形格子,則得到系統(tǒng)在緊束縛近似下的哈密頓量

其中 t=?2/(2ma2),第一個(gè)求和對(duì)所有格點(diǎn)進(jìn)行,第二個(gè)求和對(duì)所有相鄰點(diǎn)對(duì)進(jìn)行.在格點(diǎn)表象中,哈密頓矩陣的對(duì)角元為Hii=4t+V(xi,yi),如果格點(diǎn)i與格點(diǎn)j相鄰,則Hij=-t,其余矩陣元為0.對(duì)于邊界點(diǎn),V取一個(gè)很大的值.在這里取為1000t.將該哈密頓矩陣對(duì)角化即可得到對(duì)應(yīng)的本征能量和本征態(tài).由于方格子的色散關(guān)系為E(kx,ky)=2t[1-cos(kxa)]+2t[1-cos(kya)],只有當(dāng)能量或波矢較小時(shí)才能近似為E=?2k2/(2m),其中因此我們將主要考慮低能級(jí)情況.另一方面,格點(diǎn)系統(tǒng)對(duì)原有二維諧振子系統(tǒng)的偏離在一定程度上也促使了李薩如疤痕態(tài)的出現(xiàn).

本文考慮的均為 2 自由度系統(tǒng).對(duì)于這類(lèi)系統(tǒng),如果軌道是穩(wěn)定的,考慮對(duì)軌道的變分,那么在軌道的橫截方向,當(dāng)有一個(gè)小擾動(dòng)時(shí),這個(gè)小擾動(dòng)會(huì)反復(fù)振蕩.考慮橫截方向的一個(gè)整體模式 o,假設(shè)其振蕩頻率為 ωo,那么這個(gè)模式在低能下(小擾動(dòng)下)一般與諧振子的運(yùn)動(dòng)相似.則對(duì)于量子化的系統(tǒng),它會(huì)在能量上貢獻(xiàn)[32]

m為在橫截方向的量子數(shù),并約定當(dāng)波函數(shù)在橫截方向只有一個(gè)波包(即基態(tài))時(shí),對(duì)應(yīng)的 m 為 0.這樣總的能量為 E=Eo+Et,其中 Et為沿該軌道運(yùn)動(dòng)的能量.而沿軌道運(yùn)動(dòng)的作用量為

對(duì)于軟墻彈球,當(dāng)軌道有兩個(gè)端點(diǎn)(折返點(diǎn))時(shí),假設(shè)在端點(diǎn)處V隨qt為線(xiàn)性關(guān)系,即?V/?qt／=0或∞,由于線(xiàn)性勢(shì)的邊界條件與一維情況類(lèi)似,半經(jīng)典處理會(huì)在波函數(shù)中給出 π /4 的相位.沿軌道運(yùn)行一周,抵近和遠(yuǎn)離每個(gè)端點(diǎn),總共會(huì)貢獻(xiàn) 4 倍,即 π 的相位[14].因此量子化條件為

圖2 圖 1(b)勢(shì)場(chǎng)的龐加萊截面,即 p⊥=0 時(shí) p // 對(duì)于此時(shí)的位置相對(duì)于右側(cè)谷底的角度 θ((a)—(c))和后面所處理的 6 類(lèi)軌道(d).(a)總能量 E=0.3t;(b)E=0.45t;(c)E=0.75tFig.2.The Poincaré section of the motion of a particle moving in the potential field given by Fig.1(b),e.g.,when p⊥=0,p // vs.the angle θ of this point with respect to the bottom of the right valley(xV,yV)((a)–(c)).The total energy of the particle is E=0.3t(a),E=0.45t(b),and E=0.75t(c),respectively.(d)The six classes periodic orbits that will be discussed later.

我們約定 n 的意義為,對(duì)于凝聚在周期軌道上的量子態(tài),當(dāng)沿軌道一周時(shí)粒子波函數(shù)有 n +1 個(gè)波長(zhǎng).這樣的約定當(dāng)系統(tǒng)退化為諧振子勢(shì)時(shí)與一維諧振子的本征能量 En=(n+1/2)?ω 的約定一致.軟墻彈球和硬墻彈球具有很大的區(qū)別,首先在折返點(diǎn),硬墻彈球每次折返貢獻(xiàn)π的相位,兩個(gè)折返點(diǎn)共貢獻(xiàn) 2π 的相位.此外,在軌道與硬墻邊界碰撞發(fā)生反射時(shí),由于在邊界處波函數(shù)恒為 0,每次反射會(huì)附加一個(gè)π的相位.而對(duì)于軟墻彈球,這種反射不貢獻(xiàn)額外的相位.

對(duì)于給定的疤痕態(tài),通過(guò)數(shù)疤痕態(tài)的波包,可以確定量子數(shù) n,并由(8)式確定 St,由(7)式可以反推出 Et.Eo由(6)式給出.這樣,可以得到由半經(jīng)典的量子化條件給出的本征能量Emn=Eo(m)+Et(n)[14,32].對(duì)于封閉的沒(méi)有端點(diǎn)的周期軌道,則(8)式應(yīng)為 St=(n+1)2π? .注意這里所討論的是疤痕態(tài)出現(xiàn)的必要條件,即疤痕態(tài)的能量需要近似滿(mǎn)足在相應(yīng)軌道上的量子化條件.但是這還不是充分條件,尤其是對(duì)于經(jīng)典混沌的系統(tǒng),疤痕態(tài)只是其中一類(lèi)態(tài),更多的是沒(méi)有規(guī)律雜亂無(wú)章的態(tài).即使?jié)M足量子化條件,在所預(yù)言的能量值附近,并不一定能夠找到對(duì)應(yīng)的疤痕態(tài).因此,相較于在考慮沿周期軌道運(yùn)動(dòng)一周所產(chǎn)生的相位后,由半經(jīng)典量子化給出相應(yīng)的能量值并在該值附近尋找疤痕態(tài),我們更傾向于反過(guò)來(lái),由能量值根據(jù)半經(jīng)典量子化公式得到相應(yīng)的量子數(shù) n,并與根據(jù)波函數(shù)數(shù)出來(lái)的量子數(shù) n 比較,看是否符合.

如果軌道是不穩(wěn)定的,則量子化條件與前面類(lèi)似,只是(6)式中的 ? ωo需更換為與軌道不穩(wěn)定性有關(guān)的一個(gè)參數(shù) u[14,33].

對(duì)于約束在復(fù)雜的隨機(jī)長(zhǎng)程勢(shì)場(chǎng)中的電子,當(dāng)局域在某個(gè)或某幾個(gè)相鄰的勢(shì)谷中時(shí),其所感受到的勢(shì)場(chǎng)將在定性上與我們所考慮的大擾動(dòng)下的二維諧振子系統(tǒng)類(lèi)似,因此可以預(yù)期我們的結(jié)果對(duì)于理解這些系統(tǒng)中態(tài)密度的規(guī)律具有一定的幫助.

在此必須指出,上述半經(jīng)典公式是Gutzwiller[4],Miller[32],Voros[33]等在 20 世紀(jì)七八十年代提出來(lái)的,在顧雁老師[14]的書(shū)里有詳細(xì)的闡述.我們只是研究一個(gè)具體的軟墻彈球的例子,確定其中疤痕態(tài)的量子化條件,以期對(duì)目前廣泛研究的具有不規(guī)則雜質(zhì)的二維電子系統(tǒng)的態(tài)密度譜峰有所理解.我們的工作也發(fā)現(xiàn),這些半經(jīng)典公式不是僅在短波長(zhǎng)極限下成立,而是對(duì)于一般的二維體系,只要波長(zhǎng)不是太長(zhǎng)時(shí)就能成立,而且在一個(gè)比較大的范圍內(nèi)都與量子計(jì)算結(jié)果一致.

3 結(jié) 果

3.1 小擾動(dòng)下二維諧振子系統(tǒng)

對(duì)于小擾動(dòng)的情況,我們固定 ωx=1,考察了不同的 ωy.對(duì)于不同的 ωx和ωy的比例,會(huì)得到不同的李薩如疤痕態(tài).圖3展示了一些具有代表性的結(jié)果.

首先給出 bouncing ball 軌道的本征態(tài)的結(jié)果,來(lái)檢驗(yàn)分析的準(zhǔn)確性.對(duì)于圖3(a)中那一類(lèi)沿x方向的 bouncing ball 態(tài),它們也是原二維諧振子系統(tǒng)的本征態(tài)((3)式),對(duì)應(yīng)著 m=0 的態(tài).此時(shí) En,0=?[(n+1/2)ωx+(1/2)ωy],其軌道方向的能量為 Et(n)=En,0-(1/2)ωy.而在 x 方向,對(duì)于經(jīng)典的諧振子,能量和作用量的關(guān)系為對(duì)于該軌道,沿軌道方向的量子化條件為 St=2π?(n+1/2).這樣找出所有沿 x 方向 bouncing ball 軌道的本征態(tài)出來(lái),從其本征能量 E,可以得到 Et,并進(jìn)而得到St,從而得到量子數(shù) n .注意這樣得到的 n 不一定是整數(shù).

另一方面,可以通過(guò)數(shù)波函數(shù)的波包的個(gè)數(shù)把沿軌道一周的波長(zhǎng)的數(shù)目確定下來(lái),n 即為波長(zhǎng)數(shù)減 1.通過(guò)對(duì)比這樣兩種方式確定的 n,可以判斷能否通過(guò)數(shù)波函數(shù)波包的方式來(lái)得到該波函數(shù)相應(yīng)的本征能量.對(duì)于半經(jīng)典公式的檢驗(yàn),一般是反過(guò)來(lái),先確定橫截方向的頻率值,在給定量子數(shù)下計(jì)算沿軌道的作用量,再由作用量和能量的關(guān)系確定能量,與計(jì)算得到的本征能量做對(duì)比.這里我們的目的是給出疤痕態(tài)出現(xiàn)時(shí)所滿(mǎn)足的必要條件,即半經(jīng)典量子化條件,并考察半經(jīng)典處理對(duì)于這些態(tài)的適用性問(wèn)題,由于疤痕態(tài)及其本征能量已經(jīng)得到,我們可以通過(guò)上述方式得到相應(yīng)的軌道方向的量子數(shù) n,和數(shù)出來(lái)的波長(zhǎng)數(shù)減1做對(duì)比.由于整數(shù) n 對(duì)應(yīng)滿(mǎn)足量子化條件,所以從對(duì) n 的偏離就可以很容易看出半經(jīng)典描述對(duì)該組疤痕態(tài)的適用性.對(duì)于復(fù)雜光滑勢(shì)場(chǎng)中的疤痕態(tài),其橫截方向量子數(shù)一般為 0,在能量變化范圍不大的時(shí)候,橫截方向量子數(shù) n和能量之間接近線(xiàn)性關(guān)系,因此從 n 的差異也可以推得能量的差異.

縱向的 bouncing ball 態(tài)可以做類(lèi)似的分析,只需把 ωx和ωy互換即可.圖 4 做了這樣的分析,可以看出,不管對(duì)于橫向還是縱向的 bouncing ball 態(tài),當(dāng)能量較小時(shí),比如 E /t＜0.4,兩種方式得到的量子數(shù)符合得非常好.能量較大時(shí)會(huì)有所偏離,而且能量越大偏離越多.這是由于 ?2算符的有限差分近似導(dǎo)致的,同時(shí)能量 E /t 在接近 1 時(shí),區(qū)域邊界的硬墻勢(shì)也會(huì)帶來(lái)一定的影響.

圖3 圖1(a)勢(shì)場(chǎng)下粒子的本征態(tài).圖中所畫(huà)為一些具有代表性的波函數(shù)的模方,凝聚在李薩如軌道上.x和y 方向的頻率比為(a)—(c)1∶2,(d)2∶3,(e)3∶4,(f)1∶3.對(duì)所有情況,,x /L0 的 范圍為 諧振子勢(shì)在 y=0 的邊界上的值為1tFig.3.The representative eigen-wavefunctions of the billiard Fig.1(a).Shown are the the square of the modulus of wavefunctions that are condensed on the Lissajous orbits.The ratio of t he frequency in x and y directions are:(a)–(c)1∶2,(d)2∶3,(e)3∶4,(f)1∶3.For all case,,the range of x is and the value of the harmonic potential at the y=0 boundary is 1 t .

圖4 小擾動(dòng)下二維諧振子勢(shì)中的bouncing ball量子態(tài)的軌道方向量子數(shù) n 對(duì)能量的依賴(lài)圖.叉號(hào)為根據(jù)波函數(shù)數(shù)出來(lái)的波長(zhǎng)數(shù)減 1,圓圈為根據(jù)半經(jīng)典公式得到的 n(a)橫向 bouncing ball態(tài);(b)縱向 bouncing ball態(tài).小圖 Δ n 為根據(jù)波函數(shù)數(shù)出來(lái)的結(jié)果和根據(jù)本征能量計(jì)算出來(lái)的結(jié)果的差Fig.4.The quantum numbers n along the trajectory vs.energy for bouncing ball states in the harmonic potential with a small perturbation.Crosses are the numbers of wavelengthes counted from the wavefunctions minus one,circles are derived from the semiclassical formulas:(a)Horizontal bouncing ball orbits;(b)vertical bouncing ball orbits.Insets show the difference Δ n between these two methods.

對(duì)于圖3(b)—圖3(f)中的軌道,雖然比較復(fù)雜,但仍然是一維軌道,可以分為沿軌道方向和橫截方向來(lái)處理.橫截方向在小振幅擾動(dòng)的情況下近似為諧振子,對(duì)能量的貢獻(xiàn)為 Eo=(m+1/2)?ωo,其中 m與橫截方向的波包數(shù)有關(guān),對(duì)于圖中所示各例,m均為0.注意對(duì)于這些復(fù)雜的軌道,與bouncing ball軌道不同,ωo的值是不知道的,但對(duì)于能量相差不大的凝聚在同類(lèi)型軌道上的態(tài),可以假設(shè)這個(gè)值是近似相等的,所以是出現(xiàn)在模型里的一個(gè)待定系數(shù),這樣可以通過(guò)聯(lián)立不同的但凝聚在同類(lèi)型軌道上的態(tài)把它確定下來(lái).沿軌道方向,在圖 3(b),圖 3(d)—圖 3(f)中有兩個(gè)端點(diǎn),而且在端點(diǎn)處勢(shì)場(chǎng)對(duì)軌道參數(shù)的依賴(lài)關(guān)系為線(xiàn)性,因此在兩個(gè)端點(diǎn)處會(huì)有額外的(1/2)2π? 貢獻(xiàn),半經(jīng)典量子化條件為 St=(n+ 1 /2)2π?,n 為沿軌道一周的波長(zhǎng)數(shù)減1.相應(yīng)態(tài)的總能量即為 E=Et+Eo.對(duì)于圖3(c)中的軌道,由于是自身封閉的軌道,沒(méi)有端點(diǎn),故 St=(n+ 1)2π?,n 為沿軌道一周的波長(zhǎng)數(shù)減1.對(duì)于沿軌道方向作用量的計(jì)算,考慮受輕微擾動(dòng)的二維諧振子,作用量對(duì)能量的依賴(lài)關(guān)系略微復(fù)雜,依賴(lài)于具體的軌道類(lèi)型,但仍然可以依據(jù)二維諧振子的情況進(jìn)行計(jì)算,有

由于諧振子 x 方向的運(yùn)動(dòng)與y 方向的運(yùn)動(dòng)解耦,上述積分相對(duì)于對(duì) x 及 y 方向兩個(gè)獨(dú)立的一維諧振子進(jìn)行積分,有St=nx2πEx/ωx+ny2πEy/ωx,其中nx(ny)為沿該軌道運(yùn)行一周,粒子在x(y)方向來(lái)回振蕩的次數(shù),Ex(Ey)為粒子沿軌道運(yùn)動(dòng)的能量在x(y)方向的分量,Ex+Ey=Et.

對(duì)于圖3(b)中的軌道,有nx=1,ny=2,同時(shí)有ωy=2ωx,因此St=2πEx/ωx+2×2πEy/ωy=2πEx/ωx+2πEy/ωx=2πEt/ωx.由于該軌道有兩個(gè)端點(diǎn),其沿軌道方向的量子化條件為St=(n+1/2)2π? 或(n+1/2)?ωx=Et.這意味著如果把沿軌道的運(yùn)動(dòng)近似為一維諧振子(一般來(lái)說(shuō)不是),其平均頻率與x 方向諧振運(yùn)動(dòng)的頻率居然一樣.但是這一結(jié)果又可以理解,因?yàn)閺慕?jīng)典運(yùn)動(dòng)來(lái)講,沿該軌道運(yùn)動(dòng)的周期和頻率確實(shí)是和x 方向諧振運(yùn)動(dòng)的周期和頻率是一致的.圖5(a)展示了對(duì)這一類(lèi)李薩如態(tài)的分析結(jié)果.通過(guò)擬合,得到Eo=?ωo/2=0.026t.可以看到,與圖 4 中 bouncing ball軌道態(tài)的情況對(duì)比,半經(jīng)典量子化條件對(duì)于這個(gè)軌道符合得非常好,而且 n 越小符合得越好.我們找到的最低的能級(jí)對(duì)應(yīng)的 n 為 6.注意這里 n 大時(shí)的偏離應(yīng)該歸因于對(duì) ?2算符的有限差分近似,而不是半經(jīng)典方法的問(wèn)題.這個(gè)例子展示了對(duì)于這些復(fù)雜的軌道,半經(jīng)典處理在能量很小時(shí)也能得到很好的結(jié)果.

圖5(b)展示了對(duì)另一類(lèi)李薩如態(tài)的分析結(jié)果.對(duì)應(yīng)的這個(gè)軌道是一個(gè)封閉的軌道,沒(méi)有端點(diǎn),沿軌道方向的量子化條件為 St=(n+1)2π?,n 為沿軌道一周的波長(zhǎng)數(shù)減1.這一軌道與圖5(a)類(lèi)似,有 nx=1,ny=2,同時(shí)有ωy=2ωx,因此St=2πEt/ωx.對(duì)于該組數(shù)據(jù)的擬合,得出Eo=?ωo/2=0.0275t.對(duì)于這組軌道,除了個(gè)別偏差較大的態(tài),半經(jīng)典分析給出的結(jié)果與從波函數(shù)中數(shù)出的量子數(shù) n 符合得很好,并且由于該軌道在邊界上沒(méi)有折返點(diǎn)(端點(diǎn)),受最外層硬墻邊界的影響較小,與其他有端點(diǎn)的軌道相比,當(dāng)能量靠近邊界能量(1t)時(shí)仍符合得較好.

圖5 小擾動(dòng)二維諧振子勢(shì)場(chǎng)中4類(lèi)李薩如態(tài)的量子化條件.叉號(hào)為根據(jù)波函數(shù)數(shù)出來(lái)的波長(zhǎng)數(shù)減1,圓圈為根據(jù)半經(jīng)典公式得到的 n .圖中小圖為根據(jù)波函數(shù)數(shù)出來(lái)的結(jié)果和根據(jù)本征能量計(jì)算出來(lái)的結(jié)果的差Fig.5.The quantization condition for the four types of scars for the harmonic potential with a small perturbation.Crosses are the numbers of wavelengthes counted from the wavefunctions minus one,circles are the quantum numbers derived from the semiclassical formulas.Insets show the difference Δ n between these two methods.

圖5(c)和圖5(d)展示了另外兩類(lèi)有端點(diǎn)的李薩如態(tài)的分析結(jié)果,基本與圖5(a)相似.略微有些差異的地方是對(duì)于圖 5(c)中的軌道,nx=2,ny=3,有 St=2×2πEt/ωx.如果仍然把粒子沿周期軌道的運(yùn)動(dòng)套用諧振子的公式并假設(shè)平均頻率為 ωt,則 St=2πEt/ωt,有 ωt=ωx/2 .這一結(jié)果與經(jīng)典粒子沿該軌道運(yùn)動(dòng)的情況一致,不難看出,當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)一周時(shí),在 x 方向往返了 2 次,與前面的=2也一致.

3.2 大擾動(dòng)下復(fù)雜勢(shì)場(chǎng)系統(tǒng)

對(duì)于具有較大擾動(dòng)的諧振子,3.1節(jié)中聯(lián)系作用量與能量之間的公式不能繼續(xù)使用,作用量只能通過(guò)沿軌道的積分得到.這時(shí)沿軌道的作用量 St和沿軌道運(yùn)動(dòng)的能量 Et仍然具有一個(gè)確定的關(guān)系,這個(gè)關(guān)系不能顯式寫(xiě)出,只能數(shù)值得到,而且對(duì)于不同類(lèi)型的軌道會(huì)有較大的差別.并且,由于勢(shì)函數(shù)復(fù)雜的形式,系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)對(duì)能量的依賴(lài)關(guān)系非常敏感.首先即使對(duì)于同種類(lèi)型的軌道,隨著能量的改變,其軌道的形狀也可能發(fā)生改變.圖6展示了在右側(cè)勢(shì)谷中的兩組 bouncing ball 軌道.當(dāng)能量較低時(shí),軌道接近直線(xiàn),而隨著能量的增加,其形狀在勢(shì)場(chǎng)的約束下發(fā)生了彎折,如圖6中的第一類(lèi)(C1)軌道.其次,有些軌道可能形狀變化不大,但是隨著能量的改變,可能會(huì)出現(xiàn)從穩(wěn)定到不穩(wěn)定或者從不穩(wěn)定到穩(wěn)定的轉(zhuǎn)變,比如圖6 中的第二類(lèi)(C2)軌道.這組軌道在能量E小于0.35t 時(shí)穩(wěn)定,在龐加萊截面圖上對(duì)應(yīng)著明顯的KAM島,超過(guò)0.35t后該KAM島分裂成上下兩個(gè)小島,如圖2(b)中 θ /(2π)大約在0.3和0.8處的KAM島所示,而中心點(diǎn)為上下兩個(gè)小KAM島的交點(diǎn),是一個(gè)不穩(wěn)定點(diǎn).而在能量超過(guò) 0 .6t 以后,該軌道又成為穩(wěn)定的,對(duì)應(yīng)著龐加萊截面上新出現(xiàn)的一個(gè)KAM島,如圖2(c)中最右側(cè)的KAM島所示.而第一類(lèi)(C1)軌道在 0 .35t 時(shí)也失穩(wěn),所對(duì)應(yīng)的KAM島分成了左右兩個(gè)小島,類(lèi)似倍周期分叉,但之后又成為穩(wěn)定軌道,一直到 0 .6t 附近重新失穩(wěn).還有其他一些軌道,在低能時(shí)沒(méi)有,只在能量比較高時(shí)才出現(xiàn),如后面的第三類(lèi)(C3)軌道,就是由C2分化而來(lái)的,其所對(duì)應(yīng)的不穩(wěn)定軌道即為C4.C3和C4隨著能量的增加一起演化,逐漸偏離原來(lái)的C2軌道.當(dāng)能量為 0 .7t 時(shí),一個(gè)新的與原來(lái)C2對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定軌道出現(xiàn),雖然所對(duì)應(yīng)的KAM島比較小,但后續(xù)一直存在.而C4這一組不穩(wěn)定軌道,只有當(dāng)能量非常高時(shí),比如 0 .95t,才又變?yōu)榉€(wěn)定軌道了.還有一些軌道,比如連接左右兩個(gè)勢(shì)谷的軌道,只有當(dāng)能量高過(guò)他們之間的鞍點(diǎn)時(shí)(0 .591t)才會(huì)出現(xiàn),如后面處理的C5和C6兩組軌道.C5對(duì)應(yīng)有一個(gè)小的KAM島.C6軌道非常敏感,只有少量參數(shù)值的時(shí)候軌道才穩(wěn)定,有一個(gè)很小的KAM島(在圖中已經(jīng)看不出來(lái)).這些分析是通過(guò)考察確定這些軌道在龐加萊截面的位置以及龐加萊截面的結(jié)構(gòu)隨能量的變化而得出的.對(duì)這些經(jīng)典軌道有所了解之后,我們就可以考察量子態(tài)在這些軌道上的凝聚及其量子化條件.

圖6 大擾動(dòng)二維諧振子勢(shì)場(chǎng)中的兩類(lèi) bouncing ball 軌道以及它們?cè)诹隳芰棵嫔系耐队?縱軸對(duì)應(yīng)的是每個(gè)軌道的能量值.為了便于辨認(rèn),勢(shì)函數(shù)及其等勢(shì)線(xiàn)也一起畫(huà)在了圖上.第一組(C1)軌道對(duì)應(yīng)著圖2中在 p//=0,θ/(2π)≈ 0.1和0 .6 處兩個(gè)最顯著的KAM島的中心軌道,第二組(C2)軌道對(duì)應(yīng)著圖2(a)中在 p//=0,θ/(2π)≈0.33和0.86 處兩個(gè)KAM島的中心軌道Fig.6.Two types of bouncing ball orbits in the potential shown in Fig.1(b)and their projections on the zero energy surface.The potential function and its equipotential lines are also plotted.The first class of orbits(C1)corresponds to the center point of the two most significant KAM islands for p//=0,θ /(2π)≈ 0.1 and 0 .6 in Fig.2,and(C2)corresponds to the center points of the KAM islands for p//=0,θ /(2π)≈ 0.33 and 0 .86 in Fig.2(a).

對(duì)于這些軌道,由于經(jīng)典的能量和作用量沒(méi)有確定的函數(shù)關(guān)系,只能通過(guò)數(shù)值積分計(jì)算.另一方面,由于很多軌道在給定的能量值時(shí)由于KAM島太小或本身不穩(wěn)定就沒(méi)有KAM島,并不容易得到,這使得對(duì)于所有給定的疤痕態(tài)都根據(jù)其 Et來(lái)直接尋找經(jīng)典軌道并積分求得作用量變得異常困難.在此,我們采取一個(gè)迂回的方法.首先,根據(jù)量子系統(tǒng)的疤痕態(tài)所凝聚的軌道以及龐加萊截面上KAM島的信息,在不同能量 E 下分別找到相應(yīng)的軌道并計(jì)算其作用量 S,對(duì)于每一類(lèi)軌道,我們?cè)谒婕暗降膮^(qū)間得到 10 個(gè)左右的數(shù)據(jù)點(diǎn).對(duì)于諧振子 S 正 比于 E,這里由于勢(shì)場(chǎng)的不規(guī)則性以及軌道形狀的變化,S 對(duì) E 的依賴(lài)關(guān)系接近線(xiàn)性,會(huì)有一點(diǎn)偏離.利用這些數(shù)據(jù)點(diǎn)做二次多項(xiàng)式擬合,得到擬合函數(shù) S=fC(E),下標(biāo) C 表示這個(gè)函數(shù)是依賴(lài)于軌道的.這樣,對(duì)于凝聚在某一類(lèi)軌道 C 上的疤痕態(tài)及其本征能量 En,m,其中 n,m 分別為軌道方向和橫截方向的量子數(shù),有En,m=Et(n)+Eo(m)+Vmin,其中 Eo(m)=(m+ 1 /2)?ωo,ωo為經(jīng)典軌道橫截模式的振蕩頻率,Vmin=0.1053t 為該勢(shì)場(chǎng)的最低值.這樣 Et=En,m-Eo(m)-Vmin,其經(jīng)典作用量可以通過(guò) St=fC(Et)來(lái)得到.由經(jīng)典作用量,可以通過(guò) St=(n+ 1 /2)2π? 得 到相應(yīng)的量子數(shù) n,然后與從波函數(shù)圖形上數(shù)出來(lái)的波長(zhǎng)數(shù)減 1 相比,來(lái)檢驗(yàn)半經(jīng)典量子化條件的適用性.

對(duì)于上一節(jié)中小擾動(dòng)下的二維諧振子,同一類(lèi)軌道對(duì)應(yīng)的這個(gè)頻率近似為常數(shù),與能量無(wú)關(guān).這里將看到,雖然對(duì)于復(fù)雜勢(shì)場(chǎng)下同一類(lèi)經(jīng)典軌道可能存在重要差異,但是其 ωo仍然近似保持恒定,對(duì)能量依賴(lài)關(guān)系較小,因此仍然能夠近似成一個(gè)常數(shù),作為待定參數(shù)來(lái)處理.由于橫截方向的運(yùn)動(dòng)可以近似為簡(jiǎn)諧振子,ωo與橫截方向波函數(shù)的寬度的平方具有反比關(guān)系,從我們所考察的能量區(qū)間不同波函數(shù)橫截方向?qū)挾然疽恢乱部梢宰糇C ωo近似為一常數(shù).而 Eo可以通過(guò)調(diào)整其值使得兩者符合得最好來(lái)得到.

首先考察 C1和C2 這兩類(lèi) bouncing ball軌道.這兩類(lèi)軌道是能量較低時(shí)最穩(wěn)定的軌道,具有最大的KAM島.因此,它們所對(duì)應(yīng)的疤痕態(tài)非常規(guī)律,并且除了常見(jiàn)的m=0的態(tài),還有很好的m=1的態(tài),這樣 ? ωo除了可以作為擬合參數(shù)得到,還能通過(guò)兩組本征能量En,1和En,0相減直接得到.圖7內(nèi)的小圖展示了這個(gè)結(jié)果.我們發(fā)現(xiàn),對(duì)于C1和C2 兩類(lèi)軌道,兩種方法得到的 ωo值一致,并且在整個(gè)能量范圍,ωo的變化幅度不超過(guò)10%,而且這部分能量本身就小,因此 ωo可以作為常數(shù)來(lái)處理.

圖7展示了 C1和C2這兩類(lèi) bouncing ball軌道半經(jīng)典估計(jì)的沿軌道方向的量子數(shù)和從波函數(shù)直接數(shù)出來(lái)的量子數(shù).對(duì)于C1軌道兩者符合得較好,對(duì)于 C2 軌道,在能量低時(shí)符合得較好,在能量高時(shí)有系統(tǒng)性的偏差.這可能是由于對(duì) ωo的估計(jì)的問(wèn)題,因?yàn)檫@里我們用了統(tǒng)一的 ωo值,但是實(shí)際上低能軌道和高能軌道的差異還是很大的.

圖7 沿軌道方向量子數(shù) n與能量的依賴(lài)關(guān)系.叉號(hào)為根據(jù)波函數(shù)數(shù)出來(lái)的波長(zhǎng)數(shù)減1,圓圈為根據(jù)半經(jīng)典公式得到的n(a)第一類(lèi) bouncing ball 軌道(C1);(b)第二類(lèi) bouncing ball 軌道(C2).每個(gè)圖中橫截量子數(shù) m=0為上面那組點(diǎn),m=1 的為下面那組點(diǎn).對(duì)于C2軌道,只有能量較低的時(shí)候有 m=1的量子態(tài),能量較高時(shí)在計(jì)算中沒(méi)有發(fā)現(xiàn)m=1 的態(tài).圖中小圖展示了一些標(biāo)準(zhǔn)的疤痕態(tài)及其對(duì)應(yīng)的經(jīng)典軌道,兩種 n的差值(藍(lán)色實(shí)心圓,左側(cè)坐標(biāo))以及由En,1-En,0計(jì)算出的ωo 值(黑色空心圓,右側(cè)坐標(biāo)),其中橫虛線(xiàn)為擬合得到的ωo 值 對(duì)應(yīng)的 Eo=?ωo/2 分 別為 0.0141t和0.0121tFig.7.The quantum numbers n along the trajectory vs.energy for bouncing ball states in the modified harmonic potential shown in Fig.1(b)for C1 orbits(a)and C2 orbits(b).Crosses are the numbers of wavelengthes counted from the wavefunctions minus one,circles are derived from the semiclassical formulas.In each panel,the upper set of points are for m=0,and the lower set of points are for m=1 .For C2 orbits,only when energy is small there are m=1 states.Insets show the difference Δ n(solid circles,left coordinates)between these two methods,and ωo obtained from En,1-En,0(empty circles,right coordinates),where the horizontal dashed line is the ωo obtained from fitting to the data,and the corresponding energies Eo=?ωo/2 are 0 .0141t and 0.0121t for C1 and C2 orbits,respectively.

圖8展示了其他軌道的情況.對(duì)于 C3,C4,C6軌道,半經(jīng)典方法得到的量子數(shù)與從波函數(shù)中數(shù)出來(lái)的量子數(shù)符合得比較好,而C5軌道兩者符合得要差一些,這與C5軌道對(duì)應(yīng)的量子疤痕態(tài)比較模糊不易分辨有關(guān).這里注意,C4在多數(shù)能量值下為不穩(wěn)定軌道,所以這里 Eo并不對(duì)應(yīng)著橫截模式的振蕩頻率 ωo,而是與軌道穩(wěn)定性有關(guān)的一個(gè)參數(shù)[14,33].此外,當(dāng)能量大于 0 .95t 時(shí),該軌道已經(jīng)穩(wěn)定,但是對(duì)應(yīng)的KAM島很小.此時(shí)疤痕態(tài)仍然滿(mǎn)足相同的半經(jīng)典公式,并沒(méi)有因?yàn)榻?jīng)典軌道穩(wěn)定性發(fā)生變化而出現(xiàn)顯著差別.

這些結(jié)果顯示,在這種復(fù)雜的勢(shì)場(chǎng)下,半經(jīng)典量子化仍然能夠?qū)Π毯蹜B(tài)對(duì)應(yīng)的能級(jí)給出比較好的描述,并且在低能下也符合得很好.這是由于,雖然勢(shì)場(chǎng)本身及其經(jīng)典動(dòng)力學(xué)很復(fù)雜,但是在勢(shì)谷附近,系統(tǒng)仍然具有兩個(gè)較好的軌道方向,使得系統(tǒng)沿每組軌道的運(yùn)動(dòng)近似為穩(wěn)定的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),在龐加萊截面上表現(xiàn)為四個(gè)較大的KAM島(每個(gè)穩(wěn)定bouncing ball 軌道有兩個(gè) KAM 島),因此量子化條件能夠比較好地適用.對(duì)于我們的情況,軌道C1和軌道C2在低能時(shí)基本互相垂直,因此C1的ωt應(yīng)為C2的ωo,C1的ωo應(yīng)為C2的ωt.圖7展示ωo,在低能時(shí)分別接近 2.03和1.72,而由圖中數(shù)據(jù)按St=2πEt/ωt估計(jì)得到的在低能時(shí)分別為 1.69和2.00,與上述分析一致.當(dāng)能量較高系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)較復(fù)雜時(shí),對(duì)應(yīng)的KAM島變小或消失,部分軌道從穩(wěn)定變到不穩(wěn)定,或者出現(xiàn)新的穩(wěn)定軌道,這時(shí)雖然每個(gè)軌道比較復(fù)雜,但在一個(gè)比較小的能量區(qū)間,軌道性質(zhì)變化不大,量子化條件對(duì)于這組軌道所對(duì)應(yīng)的疤痕態(tài)仍能給出較好的描述.但如圖7(b)所示,如果軌道已經(jīng)存在一定的差異,比如KAM島的顯著變化(低能時(shí) KAM 島很大,高能時(shí)很小),那么 ωo應(yīng)該分段取值.可以預(yù)期,對(duì)于圖7(b)中能量較高的態(tài),重新標(biāo)度 ωo將能夠使得半經(jīng)典得到的量子數(shù)整體上移,與從波函數(shù)數(shù)出來(lái)的 n 符合得更好.

關(guān)于疤痕態(tài)重復(fù)出現(xiàn)的規(guī)律,鑒于低能時(shí)在勢(shì)谷中沿軌道方向的運(yùn)動(dòng)近似為諧振子運(yùn)動(dòng),這些疤痕態(tài)重復(fù)出現(xiàn)的規(guī)律與一維諧振子類(lèi)似,在能量上等間距出現(xiàn),或 n與E 是線(xiàn)性關(guān)系.在數(shù)值上,這一規(guī)律對(duì)于我們所處理的小擾動(dòng)下二維諧振子的各組軌道(圖4和圖5)以及復(fù)雜勢(shì)場(chǎng)中的各組軌道(圖7和圖8)均成立.當(dāng)然這一特征的根源是作用量與能量之間近似線(xiàn)性的關(guān)系.此外,并不需要作用量對(duì)能量有全局的線(xiàn)性關(guān)系,由于疤痕態(tài)重復(fù)出現(xiàn)的規(guī)律只與作用量的改變量有關(guān),即ΔS/?=2π或 Δ S=h,因此只要在一個(gè)能量區(qū)間在某一類(lèi)周期軌道上的作用量線(xiàn)性依賴(lài)于能量,那么在這個(gè)能量區(qū)間,這一軌道上的疤痕態(tài)就會(huì)在能量上等間距出現(xiàn).注意由于作用量對(duì)能量的函數(shù)關(guān)系取決于軌道(勢(shì)場(chǎng)沿該軌道的 profile),對(duì)于不同類(lèi)型的軌道哪怕在相同的能量區(qū)間,函數(shù)關(guān)系也可能不同.所以在一類(lèi)軌道上的疤痕態(tài)在能量上等間距出現(xiàn)并不會(huì)意味著其他軌道也是如此.但是對(duì)于一般的復(fù)雜勢(shì)場(chǎng)的低能情況,當(dāng)粒子局限在某個(gè)勢(shì)谷中時(shí),由于沿軌道方向的運(yùn)動(dòng)近似為諧振子運(yùn)動(dòng),一般會(huì)有 n與E 的線(xiàn)性關(guān)系.

圖8 沿軌道方向量子數(shù) n與能量的依賴(lài)關(guān)系.叉號(hào)為根據(jù)波函數(shù)數(shù)出來(lái)的波長(zhǎng)數(shù)減1,圓圈為根據(jù)半經(jīng)典公式得到的 n .這里所有態(tài)的橫截量子數(shù) m均為0.(a)—(d)分別對(duì)應(yīng)第三類(lèi)(C3)、第四類(lèi)(C4)、第五類(lèi)(C5)、第六類(lèi)(C6)軌道,對(duì)應(yīng)的 Eo 分別為0.0220 t,0.0013 t,0.0280 t,和0.0193 t .圖中小圖展示了一些標(biāo)準(zhǔn)的疤痕態(tài)及其對(duì)應(yīng)的經(jīng)典軌道,以及兩種 n 的差值.C3 只在能量為 0 .35t 時(shí) C2 失穩(wěn)后才出現(xiàn).C4 為 C2 的另外一支不穩(wěn)定軌道,只在能量超過(guò) 0 .95t 后才穩(wěn)定.C5和C6 是連接兩個(gè)勢(shì)谷的軌道,只在較高能級(jí)時(shí)出現(xiàn)Fig.8.The quantum numbers n along the trajectory vs energy.m=0 for all cases.Crosses are the numbers of wavelengthes counted from the wavefunctions minus one,circles are derived from the semiclassical formulas.(a)–(d)correspond to C3-C6 orbits,with Eo=0.0220t,0 .0013t,0 .0280t and 0 .0193t,respectively.Insets show some typical scarring states and the corresponding classical orbits,and the difference Δ n between these two methods.Note that C3 orbits only appear for E ＞0.35t when C2 becomes unstable.C4 is the other unstable branch of C2,and becomes stable only for E ＞0.95t .C5 and C6 are orbits connecting the two potential valleys,only appear when higher energy is high enough.

隨機(jī)雜質(zhì)系統(tǒng).當(dāng)系統(tǒng)足夠隨機(jī),大部分態(tài)只提供雜亂的背景,那么這組凝聚在經(jīng)典軌道上的比較強(qiáng)的局域態(tài)將具有一定的主導(dǎo)性,在態(tài)密度的譜中能夠體現(xiàn)出來(lái).在分析其重復(fù)出現(xiàn)的規(guī)律時(shí),由于是非相對(duì)論量子系統(tǒng),一般會(huì)假定按照的方式,我們此次的結(jié)果表明,在復(fù)雜勢(shì)場(chǎng)下對(duì)于疤痕態(tài)重復(fù)出現(xiàn)的規(guī)律,要根據(jù)其經(jīng)典軌道做相應(yīng)的分析,找出作用量對(duì)能量的依賴(lài)關(guān)系,才能判斷疤痕態(tài)按照E出現(xiàn)的方式.

4 結(jié) 論

半經(jīng)典量子化公式具有廣泛的應(yīng)用,被人們用來(lái)分析量子系統(tǒng)中各種與經(jīng)典軌道有關(guān)的物理量,特別是在解釋量子疤痕態(tài)及其出現(xiàn)的量子化條件時(shí)起到了重要的作用.我們研究了軟墻量子彈球以及復(fù)雜勢(shì)場(chǎng)下的量子彈球,考察其中疤痕態(tài)出現(xiàn)的量子化條件及其重復(fù)出現(xiàn)的規(guī)律,發(fā)現(xiàn)半經(jīng)典方法在處理復(fù)雜勢(shì)場(chǎng)下的量子彈球時(shí)對(duì)疤痕態(tài)出現(xiàn)的量子化條件能夠給出較好的預(yù)測(cè),而且對(duì)于同一類(lèi)軌道,甚至當(dāng)軌道的穩(wěn)定性發(fā)生改變時(shí),半經(jīng)典預(yù)測(cè)仍能與數(shù)據(jù)符合得較好.此外,一般認(rèn)為半經(jīng)典量子化公式對(duì)于較高能級(jí)適用得較好,對(duì)于低能級(jí)符合得較差.但是由于半經(jīng)典量子化公式能夠精確描述諧振子,而我們?cè)诖髷_動(dòng)光滑勢(shì)場(chǎng)中的系統(tǒng)雖然整體動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜,但在低能下當(dāng)粒子主要約束在一個(gè)勢(shì)谷中時(shí),經(jīng)典龐加萊截面上有非常大的KAM島,粒子在KAM島中心點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)近似為一維簡(jiǎn)諧振動(dòng),因此半經(jīng)典公式能夠較好地描述相應(yīng)疤痕態(tài)的量子化條件.當(dāng)能量較高，經(jīng)典動(dòng)力學(xué)更加復(fù)雜,甚至經(jīng)典粒子能夠在兩個(gè)勢(shì)谷中穿梭時(shí),我們的結(jié)果顯示半經(jīng)典公式仍然能夠較好地給出疤痕態(tài)的量子化條件.

關(guān)于疤痕態(tài)重復(fù)出現(xiàn)的規(guī)律,在低能時(shí),由于粒子沿軌道運(yùn)動(dòng)類(lèi)似一維諧振子,疤痕態(tài)按照在能量E軸上等間距的方式出現(xiàn),并且對(duì)于我們所處理的系統(tǒng),在較高能級(jí)甚至軌道不穩(wěn)定時(shí)仍是如此.對(duì)比之前非相對(duì)論性硬墻量子彈球系統(tǒng)疤痕態(tài)按照等間距出現(xiàn)的結(jié)論,我們的結(jié)果是一個(gè)有益的補(bǔ)充,使得人們?cè)谔幚碥泬ο到y(tǒng)時(shí)必須重新審視這些規(guī)律.雖然我們期待這個(gè)結(jié)果對(duì)于無(wú)規(guī)的較復(fù)雜的勢(shì)場(chǎng)中的量子系統(tǒng)也適用,但是必須指出,最終疤痕態(tài)在能量軸上重復(fù)出現(xiàn)的規(guī)律取決于作用量與能量的關(guān)系.因?yàn)榘毯蹜B(tài)在作用量軸上等間距重復(fù)出現(xiàn),因此對(duì)于一些特殊情況,必須要分析在所研究的軌道上作用量與能量之間的關(guān)系.在我們的系統(tǒng)中,對(duì)于大多數(shù)軌道,作用量均近似線(xiàn)性依賴(lài)于能量,導(dǎo)致疤痕態(tài)在能量軸上等間距出現(xiàn)的結(jié)果.

由于疤痕態(tài)對(duì)應(yīng)著較強(qiáng)的局域化的態(tài),尤其是穩(wěn)定軌道上的局域態(tài)在開(kāi)放系統(tǒng)中仍能存在[34],成為影響系統(tǒng)態(tài)密度及輸運(yùn)性質(zhì)的重要因素[35],這些疤痕態(tài)重復(fù)出現(xiàn)的規(guī)律也會(huì)反映在態(tài)密度譜峰和輸運(yùn)特性上.我們期待這些結(jié)果對(duì)于理解普遍存在的無(wú)規(guī)長(zhǎng)程雜質(zhì)下的二維電子的態(tài)密度及輸運(yùn)性質(zhì)能夠提供一定的幫助,一方面可以解釋實(shí)驗(yàn)觀(guān)察到的現(xiàn)象,另一方面也可以反推出勢(shì)谷的信息,有助于理解雜質(zhì)的特性.

感謝北京大學(xué)汪知昌博士、江穎教授分享的未發(fā)表實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及討論,引起了我們對(duì)這一理論問(wèn)題的研究.