張 文,孫瑞勝

(1.南京理工大學(xué)泰州科技學(xué)院，泰州 225300；2.南京理工大學(xué) 能源與動力學(xué)院，南京 210094)

0 引 言

近年來，四旋翼飛行器因結(jié)構(gòu)簡單、操作靈活，受到越來越多的學(xué)者和科學(xué)家的關(guān)注。通過深入開發(fā)研究，四旋翼飛行器在很多方面都得到了廣泛的應(yīng)用，比如在航拍攝影、無人偵察、森林防火、城市巡邏以及在各種惡劣環(huán)境下的災(zāi)情監(jiān)測等領(lǐng)域。

四旋翼飛行器的結(jié)構(gòu)簡單源于其機械構(gòu)造。它的四個旋翼分別由4個電機帶動。如果調(diào)整4個電機，讓它們的轉(zhuǎn)速發(fā)生變化，就可以改變飛行器的姿態(tài)，從而實現(xiàn)對姿態(tài)的控制。4個電機的轉(zhuǎn)速之間存在差異，電機所對應(yīng)的旋翼升力就會產(chǎn)生變化，從而飛行器的姿態(tài)也發(fā)生相應(yīng)的改變。

在運動期間，飛行器的姿態(tài)可以通過6個自由度來描述：圍繞X，Y以及Z軸的俯仰、滾轉(zhuǎn)、偏航運動；上下的垂直運動，以及前后、左右的兩個平移運動。這6個自由度通過4個控制量來進行控制。自由度的數(shù)目大于控制量的數(shù)目，符合欠驅(qū)動系統(tǒng)的特征，因此四旋翼飛行器屬于欠驅(qū)動系統(tǒng)。此系統(tǒng)不但非線性比較嚴重、耦合性比較強，而且還容易被外界因素所干擾，具有很強的不確定性。但是這些問題都可以通過采用控制器得到改善，改善的結(jié)果取決于控制器所采用的控制算法，即控制算法直接決定了控制質(zhì)量。因此，許多學(xué)者都希望能夠研究出一個好的控制算法來實現(xiàn)對飛行器的快速穩(wěn)定控制。其中，比較突出的有K Erbatur[1]等，他們設(shè)計的是一種高增益的滑?？刂破?，此控制器可以模糊、自動地調(diào)整邊界層的厚度。針對滑?？刂破鞔嬖诘亩墩駟栴}，高為炳[2]設(shè)計了一種變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)。針對有較強干擾存在的伺服系統(tǒng)，A Kawamura[3]等將觀測器與傳統(tǒng)的滑?？刂品椒ㄏ嘟Y(jié)合，設(shè)計了一種新型的觀測器。對于沒有確定數(shù)學(xué)模型以及動態(tài)性能不確定的機械系統(tǒng)，G Bartolini[4-5]等設(shè)計了切換函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，有效地消除了抖振現(xiàn)象，同時進一步將這種方法應(yīng)用到了多輸入系統(tǒng)中。Zhuang K Y等[6]則是通過調(diào)整增益來降低抖振現(xiàn)象，具體是對于系統(tǒng)的不確定項利用模糊控制在線估計，實現(xiàn)增益的自適應(yīng)調(diào)整。目前，對四旋翼飛行器主要采取的智能控制方法有自適應(yīng)控制、滑模控制、模糊控制等。

本文針對傳統(tǒng)趨近律，對控制器做了一定的改進，并進行了仿真分析，仿真結(jié)果表明所設(shè)計的控制器是有效的。

1 數(shù)學(xué)模型[6]

在各種坐標系描述方法中，我們通常采用機體坐標系或者慣性坐標系來描述四旋翼飛行器。飛行器在慣性空間的位置用ξ=[x,y,z]T來表示，而飛行器的姿態(tài)滾轉(zhuǎn)角、俯仰角及偏航角用η=[φ,θ,ψ]T表示?？梢杂镁仃嘡實現(xiàn)的轉(zhuǎn)換。

(1)

忽略摩擦阻力、大氣對螺旋槳的干擾以及陀螺效應(yīng)等影響因素，對飛行器進行受力分析，推導(dǎo)出飛行器的動力學(xué)模型：

(2)

式中：Ki(i=1,2,…,6)為阻力系數(shù)；Ij(j=1,2,3)為轉(zhuǎn)動慣量；m為飛行器的質(zhì)量;g為重力加速度;l為飛行器的半徑。

U1,U2,U3,U4分別為垂直、滾轉(zhuǎn)、俯仰以及偏航的輸入控制量。

(3)

式中：Fi(i=1,2,3,4)為對應(yīng)的4個旋翼的升力。

2 全驅(qū)動子系統(tǒng)控制器的設(shè)計

根據(jù)動力學(xué)理論，飛行器有6個自由度，4個控制量，可以將模型進行分解，分為全驅(qū)動和欠驅(qū)動兩個子系統(tǒng)，這兩部分的控制器應(yīng)單獨進行設(shè)計。

將高度和偏航角劃分為全驅(qū)動子系統(tǒng)部分，設(shè)計控制器。

(4)

定義高度的跟蹤誤差e=zd-z，其中，飛行器的高度用z表示，即飛行器在z軸方向的位移，飛行器高度的期望值用zd表示。

2.1 傳統(tǒng)的指數(shù)趨近律[7]

傳統(tǒng)的指數(shù)趨近律如下：

(5)

式中：k,ε為大于0的常數(shù)。

2.2 改進的快速趨近律

為了更好發(fā)揮趨近律的作用，加快系統(tǒng)到達滑模面，本文對指數(shù)趨近律作了如下改進：

(6)

式中：α>0,b>1,ε>0,k>0。

此系統(tǒng)可以在某個時間收斂到平衡點。

(7)

僅當s=0時，式(7)等于0，系統(tǒng)滿足Lyapunov穩(wěn)定條件，是漸進穩(wěn)定的，可以收斂到平衡點。

當系統(tǒng)的狀態(tài)在遠離滑模面時，式(7)右邊的第二項起主要作用，此時可加快系統(tǒng)遠離滑模面的速度。當系統(tǒng)的狀態(tài)接近滑模面時，第一項起主要作用，同樣可以使得系統(tǒng)以較快的速度趨近滑模面。這樣使得系統(tǒng)在遠離滑模面以及接近滑模面時都能以較快的速度趨近滑模面，達到快速趨近的目的。

定義系統(tǒng)的滑模面：

采用指數(shù)趨近律式(6)，設(shè)計控制律：

(8)

式中：zd為飛行器高度的期望值，e=z-zd，k3>0。

(9)

滿足Lyapunov穩(wěn)定性定理。同理，可得到偏航角的控制器：

(10)

式中:k6>0，λ4>0。

3 欠驅(qū)動子系統(tǒng)的滑?？刂破髟O(shè)計

欠驅(qū)動子系統(tǒng)的描述有多種形式，下面采用了其中一種標準形式：

(11)

式中：d1，d2，d3為擾動項；U為控制量。

四旋翼飛行器欠驅(qū)動子系統(tǒng)模型：

(12)

式中：Ij(j=1,2)為轉(zhuǎn)動慣量；m為飛行器的質(zhì)量；l為飛行器的半徑；Ui(i=1,2,3)為控制變量。

將式(1)改寫：

(13)

與標準形式比較，可得d1=d2=d3=0,

取誤差方程：

(14)

定義系統(tǒng)的滑模面：

s=c1e1+c2e2+c3e3+e4

(15)

式中：ci>0,i=1,2,3。

采用指數(shù)趨近律：

設(shè)計控制律：

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定定理，系統(tǒng)穩(wěn)定。

4 仿 真

本文運用MATLAB對飛行器進行了仿真研究?？刂颇繕藦牡孛娴?2,2,0)到期望的目標位置(0,0,5)，偏航角的期望值為50°，俯仰角和滾轉(zhuǎn)角能夠穩(wěn)定地保持在0。飛行器的參數(shù)設(shè)置：m=2 kg，g=9.81 m/s2，I1=I2=1.25 kg·m2，I3=2.5 kg·m2。采用傳統(tǒng)滑模控制器以及本文設(shè)計的滑?？刂破鲗︼w行器進行仿真分析，得到系統(tǒng)的響應(yīng)曲線，其中圖1為高度響應(yīng)曲線，飛行器的3個姿態(tài)響應(yīng)曲線分別為圖2、圖3以及圖4。

圖1 高度響應(yīng)曲線

圖2 俯仰角響應(yīng)曲線

圖3 滾轉(zhuǎn)角響應(yīng)曲線

圖4 偏航角響應(yīng)曲線

5 仿真結(jié)果分析

從圖1的高度響應(yīng)曲線可以看出，系統(tǒng)從初始狀態(tài)到期望狀態(tài)只需要5 s就可以實現(xiàn)，與傳統(tǒng)滑?？刂葡啾容^，超調(diào)量較小，穩(wěn)定性提高。圖2為俯仰角響應(yīng)曲線，圖3為滾轉(zhuǎn)角響應(yīng)曲線，從圖2、圖3可以看出，只需要4 s，俯仰角和滾轉(zhuǎn)角就能穩(wěn)定地維持在期望的0。而圖4的偏航角響應(yīng)曲線說明系統(tǒng)也只需要5 s就能達到期望的50°，比傳統(tǒng)滑?？刂扑俣扔兴岣?，并且能夠一直保持穩(wěn)定。

6 結(jié) 語

當系統(tǒng)存在擾動影響時，如果采用傳統(tǒng)的控制律對飛行器進行控制，存在一定的缺陷。可通過提高控制器的性能，實現(xiàn)對四旋翼飛行器的姿態(tài)控制。本文在傳統(tǒng)的趨近律滑模控制的基礎(chǔ)上，對控制律做了一定的改進，并且進行了仿真分析。仿真結(jié)果表明，所設(shè)計的控制器能夠有效地減小抖動，并實現(xiàn)了對期望的姿態(tài)實現(xiàn)穩(wěn)定控制的要求。