曹銀萍，劉玉雪，陳超峰，李明飛，竇益華*

（1.西安石油大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，陜西 西安 710065；2.中國(guó)石油新疆油田公司勘探部，新疆 克拉瑪依 834000）

油氣井壓裂改造時(shí)，隨著壓裂液的注入，井下套管所處的壓力、溫度改變，并使套管承受附加軸向力，經(jīng)常會(huì)導(dǎo)致套管出現(xiàn)變形、彎曲、斷裂等問題[1]，影響正常的壓裂作業(yè)和后續(xù)油氣開采。而常規(guī)的套管力學(xué)分析方法難以準(zhǔn)確描述壓裂套管在三維井眼中的工作狀態(tài)，難以準(zhǔn)確分析套管的軸向載荷[2-5]。1983年，Johnsiek提出對(duì)微元管柱進(jìn)行受力分析，考慮管柱的重力、拉力及井眼軌跡等參數(shù)，推導(dǎo)出由滑動(dòng)摩擦導(dǎo)致的扭矩和拉力公式，從而分析整口井中套管受力情況，提出了預(yù)測(cè)管柱拉力及扭矩的軟桿計(jì)算模型[6]。1991年，郭恩昌等學(xué)者探討了壓裂改造高壓注入流體的溫度梯度和壓力梯度[7]。1995年，李子豐[8]建立了套管柱在三維彎曲井眼中的幾何方程、運(yùn)動(dòng)平衡方程和本構(gòu)方程。2005年，黃云[9]在前人研究的基礎(chǔ)上，考慮自重、摩阻、井斜角、井眼彎曲、溫度效應(yīng)、臌脹效應(yīng)等因素，通過三維彎曲井眼的幾何描述，建立了三維彎曲井眼中壓裂套管的力學(xué)模型，分析了壓裂套管的變形量。2007年，竇益華等[10]學(xué)者考慮井身結(jié)構(gòu)、載荷、溫度效應(yīng)等因素，通過研究高溫高壓深井管柱軸向屈曲載荷分析，得到管柱載荷、應(yīng)力、變形計(jì)算公式，通過大量實(shí)踐得到實(shí)用的試油管柱應(yīng)力應(yīng)變計(jì)算方法。2008年，杜現(xiàn)飛等[11]學(xué)者由井眼軌跡、套管結(jié)構(gòu)，考慮壓裂套管浮容重、內(nèi)外壓、溫度效應(yīng)、臌脹效應(yīng)、摩阻、彎矩等多種載荷，建立了壓裂套管力學(xué)模型，進(jìn)行壓裂套管強(qiáng)度分析和校核。2016年，曹銀萍等[12]學(xué)者針對(duì)水平井彎曲段套管抗擠強(qiáng)度問題，建立彎曲、剪切、擠壓共同作用下的套管受力分析模型，進(jìn)行實(shí)例計(jì)算，并與有限元分析對(duì)比分析，推導(dǎo)出井眼曲率與套管抗擠強(qiáng)度的關(guān)系。

針對(duì)三維彎曲井眼中壓裂套管的工作特點(diǎn)[13-14]，開展考慮井眼軌跡、套管結(jié)構(gòu)、壓裂施工要求?？紤]套管浮容重、管內(nèi)流體壓力、流體摩擦阻力以及溫度載荷作用，建立套管軸向載荷力學(xué)模型，計(jì)算套管所受軸向力，分析其抗拉強(qiáng)度，為合理選擇壓裂參數(shù)提供依據(jù)。以某口井壓裂施工為例，根據(jù)建立的軸向載荷力學(xué)模型分析套管在三維彎曲井眼中的軸向載荷，并計(jì)算其所受軸向力和抗拉強(qiáng)度安全系數(shù)。

1 三維彎曲井眼中壓裂套管所受的軸向載荷

在壓裂工況下，套管的軸向載荷分析較為復(fù)雜，主要承受內(nèi)力、浮容重、管內(nèi)流體壓力、流體摩阻、溫度載荷、彎矩等[15]，見圖1。

1） 套管的內(nèi)力[16]

式中：T(h)為套管所受軸向力，kN；Qn(h)為套管主法線方向上的剪切力，kN；Qb(h)為套管主法線方向上的剪切力，kN。

由微分幾何中的曲率、撓率的定義，有：

將式（3） 分別代入式（1）、（2） 中，得：

2） 套管浮容重

式中：q為單位長(zhǎng)度套管在空氣中的重量，kN/m；KF為浮力系數(shù)；qm為套管單位長(zhǎng)度浮容重，kN/m。

3） 套管內(nèi)流體壓力

因等效分部載荷垂直向下，故由frenet標(biāo)架定義可表示為：

式中：Pi為套管內(nèi)流體壓力，MPa；Ai為套管內(nèi)截面面積，m2；ρi為套管內(nèi)流體密度，kg/m3。

4） 流體摩擦阻力

受井眼約束的套管工作時(shí)，受流體摩擦阻力為：

式中：fλ為內(nèi)外流體產(chǎn)生的摩擦阻力，kN。

其中，壓裂液為牛頓流體，則流體的雷諾數(shù)計(jì)算公式為：

式中：ρ0為套管內(nèi)流體密度，kg/m3；Q為壓裂液的平均流速，m3/s；ν為壓裂液粘度Pa·s；D為套管外徑，m；d為套管內(nèi)徑，m。

故，單位套管所受的摩擦阻力可表示為

5） 彎曲力矩

式中：Mb(h)為套管所受扭矩kN·m。

設(shè)圓截面套管的抗彎剛度為EI，曲率與彎矩的關(guān)系式為：

式中：E為套管材料的彈性模量，MPa；I為套管的慣性矩，mm4。

6） 溫度載荷

由于熱脹冷縮原理，套管在井眼內(nèi)受熱力作用長(zhǎng)度會(huì)發(fā)生變化，而產(chǎn)生套管切線方向的軸向力，故由frenet標(biāo)架定義可表示為：

式中：qW為溫度效應(yīng)引起的單位套管載荷，kN；β為套管管材的線膨脹系數(shù)（一般取值1.2×10-5），1/℃；ΔT為單位套管的溫度變化，℃；D為套管外徑，m；d為套管內(nèi)徑，m。

2 三維彎曲井眼中壓裂套管軸向載荷力學(xué)分析模型

為科學(xué)合理地建立套管軸向載荷力學(xué)模型，需作適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化與假設(shè)，根據(jù)力學(xué)建模特點(diǎn)，采用如下基本假設(shè)：套管軸線與井眼軌跡軸線重合；井壁是剛性的；套管為均質(zhì)彈性桿，套管單元所受重力、壓力、摩阻力均勻分布；摩擦系數(shù)在某一口井為常數(shù)；套管材料為理想彈塑性材料，均勻變溫。

如圖1所示，在空間直角坐標(biāo)系Oxyz內(nèi)任取A點(diǎn)為起點(diǎn)、弧長(zhǎng)為dh、B為終點(diǎn)的微元段套管，對(duì)其進(jìn)行受力分析，建立了考慮井眼軌跡、浮容重、套管內(nèi)流體壓力、流體摩擦阻力、溫度載荷等共同作用下的壓裂套管軸向載荷力學(xué)模型。

通過受力分析，建立套管單元平衡方程：

圖1 套管微元段受力圖

聯(lián)立式（1） ～（20），得、、三個(gè)方向上投影的力平衡方程和力矩方程：

式中：Te(h)為套管的有效軸向力，kN。

化簡(jiǎn)后，得：

又因κθ、κφ均為很小的幾何量，其乘積為微小量，可忽略，化簡(jiǎn)整理得：

式（24）為綜合考慮了井眼軌跡、管柱自重、內(nèi)外流體壓力、溫度載荷，以及流體摩擦阻力作用的壓裂套管軸向載荷模型。采用有限差分法求解，即可得到距套管任意深處的軸向載荷。

由式（24）得到的等效軸向力的抗拉強(qiáng)度安全系數(shù)為：

式中：Fz為套管本身的抗拉強(qiáng)度，kN。

3 三維彎曲井眼中壓裂套管軸向載荷算例分析

如圖2所示為某井深為5183m每隔10m的三維彎曲井眼軌跡擬合圖。以該井壓裂施工為例，進(jìn)行套管軸向載荷分析。已知套管數(shù)據(jù)如表1所示，儲(chǔ)層溫度為155℃，壓裂時(shí)地面泵注壓力為80MPa，泵注排量為10～11m3/min，壓裂液密度為1.07g/cm3。

圖2 某井三維彎曲井眼軌跡擬合圖

表1 某口井套管數(shù)據(jù)

根據(jù)式（1） -（25） 分析得到的井眼軌跡、套管浮容重、內(nèi)外壓值、壓裂液注入后的溫度場(chǎng)變化、壓裂液摩擦阻力以及井眼彎曲產(chǎn)生的彎矩，分析不同井深處套管的軸向力與抗拉安全系數(shù)。如圖3和圖4所示，三維彎曲井眼中套管的最大軸向載荷在井口位置約為2191.648kN；井口套管抗拉強(qiáng)度安全系數(shù)最低，約為1.408，基本滿足壓裂施工要求。

4 結(jié)論

1）壓裂施工作業(yè)會(huì)導(dǎo)致套管處于非常復(fù)雜的受力狀態(tài)，而常規(guī)的套管力學(xué)分析方法沒有考慮壓裂施工作業(yè)中產(chǎn)生的載荷變化，本文考慮井眼軌跡、套管結(jié)構(gòu)、壓裂施工要求，考慮套管浮容重、管內(nèi)流體壓力、溫度載荷以及流體摩擦阻力作用，建立套管軸向載荷力學(xué)模型，計(jì)算套管所受軸向力，分析其抗拉強(qiáng)度。

圖3 套管所受軸向力

圖4 套管抗拉強(qiáng)度安全系數(shù)

2）經(jīng)過實(shí)例計(jì)算得到壓裂套管在井口位置處所受軸向力最大，井口套管抗拉強(qiáng)度安全系數(shù)最低，符合實(shí)際工況，計(jì)算結(jié)果可用于合理選擇壓裂參數(shù)，預(yù)防套管損壞。