付軍豪，劉 康*，胥 云，張 明，熊奉奎

(1.四川輕化工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，四川 宜賓 644000；2.綿陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，四川 綿陽 621000)

0 引 言

五軸機(jī)床是加工航空發(fā)動機(jī)葉片和復(fù)雜回轉(zhuǎn)軸類零件的重要裝備，轉(zhuǎn)臺是五軸機(jī)床的核心部分之一，其齒輪傳動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)性能直接決定五軸機(jī)床的整體性能。根據(jù)五軸機(jī)床的設(shè)計要求，轉(zhuǎn)臺采用多級齒輪傳動系統(tǒng)，在滿足工作條件下要求轉(zhuǎn)臺的齒輪傳動系統(tǒng)具有體積小、輕量化、傳動平穩(wěn)等特點(diǎn)。多級齒輪傳動系統(tǒng)由于結(jié)構(gòu)復(fù)雜，影響傳動性能的因素眾多，其結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計是一個復(fù)雜問題[1-3]。

遺傳算法(genetic algorithm，GA)具備可以直接對結(jié)構(gòu)對象進(jìn)行操作、不存在求導(dǎo)和函數(shù)連續(xù)性的限定、采用概率化的尋優(yōu)方法等特點(diǎn)，能夠?qū)崿F(xiàn)較快收斂，尋優(yōu)結(jié)果合理、魯棒性好，所以遺傳算法被廣泛用于多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計問題。

張江紅等[4]針對三齒并聯(lián)內(nèi)嚙合齒輪泵，建立了以流量脈動最小以及齒輪機(jī)構(gòu)體積最小的多目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，采用遺傳算法優(yōu)化后的齒輪機(jī)構(gòu)達(dá)到了減小流量脈動和減小齒輪機(jī)構(gòu)總體積的目的；錢亞平等[5]使用遺傳算法對推料機(jī)的齒輪傳動系統(tǒng)分別進(jìn)行了單目標(biāo)以及多目標(biāo)優(yōu)化，結(jié)果表明多目標(biāo)優(yōu)化相比單目標(biāo)優(yōu)化后，齒輪系統(tǒng)的重合度增加，體積較小，優(yōu)化效果明顯；WANG Jian等[6]以擺線減速器為研究對象，以齒輪體積和齒輪傳動效率為目標(biāo)函數(shù)，采用遺傳算法優(yōu)化后得到了最小體積并最大化效率；曾晨等[7]對微耕機(jī)變速箱進(jìn)行了體積和重合度的多目標(biāo)函數(shù)建模，采用了SGA遺傳算法和NSGA-Ⅱ遺傳算法分別優(yōu)化求解，結(jié)果表明NSGA-Ⅱ遺傳算法優(yōu)化結(jié)果更好。

本文以某航空發(fā)動機(jī)葉片五軸加工機(jī)床轉(zhuǎn)臺的傳動系統(tǒng)為研究對象，考慮轉(zhuǎn)臺結(jié)構(gòu)緊湊和傳動平穩(wěn)等特點(diǎn)，以齒輪傳動系統(tǒng)體積和重合度為設(shè)計目標(biāo)的優(yōu)化模型，使用GAPSO算法[8-9]對優(yōu)化模型進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，以獲得更輕量化的體積和更高的傳動平穩(wěn)性。

1 轉(zhuǎn)臺結(jié)構(gòu)以及優(yōu)化目標(biāo)

轉(zhuǎn)臺的傳動系統(tǒng)主要采用雙齒輪消隙機(jī)構(gòu)，如圖1所示。

圖1 轉(zhuǎn)臺齒輪傳動系統(tǒng)裝配圖

轉(zhuǎn)臺采用西門子1FT6105-8AF7-4AGO型交流伺服電機(jī)驅(qū)動；電機(jī)額定轉(zhuǎn)速3 000 r/min，輸入功率9.7 kW；各級齒輪材料都使用20CrMnTi滲碳淬火，許用接觸應(yīng)力與許用彎曲應(yīng)力分別為：[σH]=1 080 MPa，[σF]=835 MPa。

轉(zhuǎn)臺作為機(jī)床中的重要部分，對機(jī)床的整體性能起著非常重要的作用。在實(shí)際工作中，轉(zhuǎn)臺必須保持長時間平穩(wěn)運(yùn)行，減小齒輪傳動系統(tǒng)的體積和增大齒輪傳動的重合度可以有效提高齒輪傳動的效率和穩(wěn)定性。

本文主要考慮以轉(zhuǎn)臺傳動系統(tǒng)所有齒輪的體積和重合度為目標(biāo)函數(shù)。

2 轉(zhuǎn)臺優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型

2.1 確定目標(biāo)函數(shù)

在滿足轉(zhuǎn)臺齒輪傳動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)緊湊以及傳動平穩(wěn)的條件下，本文以總體積和總重合度作為目標(biāo)函數(shù)，對轉(zhuǎn)臺齒輪傳動系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化。

2.2.1 體積目標(biāo)函數(shù)

斜齒輪的體積可以近似看做為分度圓圓柱體體積，如圖1所示，齒輪2與齒輪6相同，齒輪3與齒輪5相同，且轉(zhuǎn)臺齒輪傳動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)對稱布局，故以所有齒輪體積和作為體積目標(biāo)函數(shù)，即：

(1)

式中：mn1,mn3—斜齒輪法向模數(shù)；z1,z3—斜齒輪1,3的齒數(shù)；i1—齒輪1與齒輪2的傳動比；i2—齒輪3與齒輪4的傳動比；β1,β3—齒輪1和齒輪3的螺旋角；φd1,φd3—齒輪1和齒輪3的齒寬系數(shù)。

2.1.2 重合度目標(biāo)函數(shù)

轉(zhuǎn)臺齒輪傳動系統(tǒng)的平穩(wěn)性由重合度決定，重合度越大，齒輪傳動越平穩(wěn)，產(chǎn)生的沖擊載荷越小。

本文以轉(zhuǎn)臺傳動系統(tǒng)的齒輪的總重合度為目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)轉(zhuǎn)臺齒輪傳動結(jié)構(gòu)對稱布局可知，重合度目標(biāo)函數(shù)為：

(2)

2.2 設(shè)計變量

設(shè)計變量的變化可以直接改變目標(biāo)函數(shù)，通過對體積目標(biāo)函數(shù)和重合度目標(biāo)函數(shù)的分析可知，選取齒輪1和3的模數(shù)、齒數(shù)、齒寬系數(shù)、螺旋角、齒輪1和2的傳動比、齒輪3和4的傳動比作為設(shè)計變量X：

X=[mn1,mn3,z1,z3,fd1,fd3,β1,β3,i1,i2]T=
[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10]T

(3)

目標(biāo)函數(shù)f1,f2表達(dá)如下：

(4)

(5)

2.3 約束條件

2.3.1 齒面接觸強(qiáng)度約束

根據(jù)機(jī)械設(shè)計手冊第6版[10]的齒面接觸強(qiáng)度校核的公式表可知，齒輪1和齒輪2的接觸應(yīng)力為：

(6)

齒輪3和齒輪4的接觸應(yīng)力為：

(7)

根據(jù)齒輪接觸應(yīng)力約束得：

σH1≤[σH]
σH2≤[σH]

(8)

式中相關(guān)參數(shù)查閱機(jī)械設(shè)計手冊后帶入設(shè)計變量得到：

(9)

(10)

2.3.2 輪齒彎曲強(qiáng)度約束

根據(jù)機(jī)械設(shè)計手冊第6版的齒面接觸強(qiáng)度校核的公式表可知，齒輪1和齒輪2的齒根應(yīng)力為：

(11)

齒輪3和齒輪4的齒根應(yīng)力為：

(12)

根據(jù)齒輪接觸應(yīng)力約束得：

σF1≤[σF]
σF2≤[σF]

(13)

式中相關(guān)參數(shù)查閱機(jī)械設(shè)計后，代入設(shè)計變量可得到：

(14)

(15)

2.3.3 邊界條件約束

齒輪1和齒輪3的模數(shù)取值范圍為：

0.5≤x1≤10，0.5≤x2≤10

(16)

齒輪1和齒輪3的齒數(shù)的取值范圍為：

14≤x3≤30，17≤x4≤40

(17)

齒輪1和齒輪3的齒寬系數(shù)的取值范圍為：

0.4≤x5≤1.2,0.4≤x6≤1.2

(18)

齒輪1和齒輪3的螺旋角的取值范圍為：

8≤x7≤20，8≤x8≤20

(19)

齒輪1和齒輪3的傳動比的取值范圍為：

1≤x9≤10,1≤x10≤10

(20)

2.4 適應(yīng)度函數(shù)

由于自身的局限性，標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法不能解決所有的優(yōu)化問題，針對轉(zhuǎn)臺齒輪傳動系統(tǒng)優(yōu)化問題，本文采用罰函數(shù)尋優(yōu)計算，將目標(biāo)函數(shù)和約束條件相結(jié)合組成新的目標(biāo)函數(shù)；將新的目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換成適應(yīng)度函數(shù)后通過加權(quán)系數(shù)把原來的多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題，加權(quán)系數(shù)值的大小體現(xiàn)每個目標(biāo)函數(shù)的重要程度。本文對體積目標(biāo)函數(shù)和重合度函數(shù)的加權(quán)系數(shù)分別取0.7,0.3；懲罰因子選取6。

體積函數(shù)與重合度函數(shù)的數(shù)量級相差較大，本文體積值數(shù)量級是106，單對齒輪重合度是1～2，所以轉(zhuǎn)臺齒輪傳動系統(tǒng)最終求解目標(biāo)函數(shù)為：

(21)

3 GAPSO算法與優(yōu)化結(jié)果分析

3.1 GAPSO算法

根據(jù)以往相關(guān)文獻(xiàn)對齒輪傳動系統(tǒng)多目標(biāo)優(yōu)化方法的總結(jié)，一般都采用遺傳算法(GA)對其進(jìn)行尋優(yōu)求解。本文在前人的工作基礎(chǔ)上，利用粒子群優(yōu)化算法(PSO)和遺傳算法(GA)，結(jié)合彼此的優(yōu)點(diǎn)，既有GA算法的強(qiáng)大全局搜索能力又有PSO算法的快速收斂能力，形成遺傳粒子群算法(GAPSO)求解轉(zhuǎn)臺齒輪傳動系統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。

相比GA算法，GAPSO算法多了PSO算法對群體中優(yōu)秀個體的篩選，經(jīng)過PSO算法篩選后的優(yōu)秀個體再經(jīng)過交叉和變異得到剩下的個體，采用GAPSO算法得到個體得到相比GA算法得到的個體更加優(yōu)秀。

GAPSO算法流程圖如圖2所示。

圖2 GAPSO算法流程圖

3.2 優(yōu)化結(jié)果分析

根據(jù)求解目標(biāo)函數(shù)f以及齒輪的接觸強(qiáng)度約束、彎曲強(qiáng)度約束和邊界條件約束，本文使用Matlab分別編寫GA算法、PSO算法和GAPSO算法程序，得到轉(zhuǎn)臺齒輪傳動系統(tǒng)多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果。其中，GAPSO算法的交叉概率為0.8，變異概率0.2，進(jìn)化次數(shù)500，種群規(guī)模500。

3種算法所求設(shè)計變量如表1所示。

表1 各算法所求的設(shè)計變量

在3種不同算法下，轉(zhuǎn)臺傳動系統(tǒng)齒輪的總重合度和總體積的變化的優(yōu)化結(jié)果，如表2所示。

表2 各算法的優(yōu)化結(jié)果

從表2可以看出：

采用PSO算法、GA算法、GAPSO算法優(yōu)化后，轉(zhuǎn)臺齒輪傳動系統(tǒng)的總體積分別減少10.38%、23.97%、27.26%；轉(zhuǎn)臺齒輪傳動系統(tǒng)總重合度分別增加4.39%、3.32%、8.10%。優(yōu)化結(jié)果綜合表明GAPSO算法對轉(zhuǎn)臺齒輪優(yōu)化效果最好。

4 結(jié)束語

本文主要對某航空發(fā)動機(jī)葉片五軸加工機(jī)床轉(zhuǎn)臺的齒輪傳動系統(tǒng)進(jìn)行了結(jié)構(gòu)優(yōu)化，從齒輪傳動系統(tǒng)的輕量化和傳動平穩(wěn)性出發(fā)，建立了以體積和重合度為目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，利用GAPSO算法尋優(yōu)求解更快、精度更高的特點(diǎn)，對目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了求解。

優(yōu)化后的轉(zhuǎn)臺齒輪傳動系統(tǒng)的體積減少27.26%，重合度增加8.10%；優(yōu)化后的齒輪參數(shù)為：mn1=2，mn3=3，Z1=21，Z3=18，φd1=0.5，φd3=0.4，β1=10，β3=10，i1=2，i2=3。

優(yōu)化后的轉(zhuǎn)臺齒輪傳動系統(tǒng)有效地減小了轉(zhuǎn)臺的體積，在實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品輕量化的同時，增加了轉(zhuǎn)臺齒輪傳動系統(tǒng)的重合度，提高了轉(zhuǎn)臺傳動系統(tǒng)的平穩(wěn)性，也為五軸機(jī)床轉(zhuǎn)臺的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計提供了一種新思路。

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