王科明，張彥斌，荊獻(xiàn)領(lǐng)，陳子豪，蘆風(fēng)林

(河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，河南 洛陽 471003)

0 引 言

按照其動(dòng)平臺(tái)輸出運(yùn)動(dòng)特性的不同，并聯(lián)機(jī)構(gòu)可分為純移動(dòng)[1]、純轉(zhuǎn)動(dòng)[2]和混合型[3]三種機(jī)構(gòu)。純轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)具有2個(gè)或3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。其中，兩自由度轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)在衛(wèi)星天線、踝關(guān)節(jié)康復(fù)機(jī)器人等領(lǐng)域中具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，已成為該領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問題[4-5]。按輸入與輸出之間的關(guān)系，并聯(lián)機(jī)構(gòu)又可分為耦合和解耦兩種機(jī)構(gòu)[6]。其中，解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)因在運(yùn)動(dòng)和控制等方面呈現(xiàn)出來的優(yōu)越性，受到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[7-8]。

宋軼民等[9]提出了一種具有大轉(zhuǎn)角的兩轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，對(duì)其進(jìn)行了構(gòu)型分析和運(yùn)動(dòng)學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)；XU等[10]通過分析機(jī)構(gòu)分支約束力螺旋的幾何關(guān)系，設(shè)計(jì)了一類具有連續(xù)轉(zhuǎn)軸的兩轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)；DUAN等設(shè)計(jì)了兩自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并對(duì)其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)規(guī)劃和動(dòng)力學(xué)分析，得出了機(jī)構(gòu)的輸入和輸出之間的角位移、角速度和角加速度的定量關(guān)系；CARRICATO等[11]通過減少機(jī)構(gòu)中閉環(huán)的數(shù)目，設(shè)計(jì)出了一種含有單環(huán)回路的并聯(lián)手腕機(jī)構(gòu)，增大了機(jī)構(gòu)的工作空間；侯雨雷等[12]針對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)內(nèi)部耦合性所帶來的一些問題，提出了一種新型的兩自由度轉(zhuǎn)動(dòng)解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并討論了驅(qū)動(dòng)輸入的選擇對(duì)機(jī)構(gòu)奇異性的影響。

本文將提出一種新型無耦合RR-RUPU兩轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，詳細(xì)分析機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)、奇異性，利用運(yùn)動(dòng)條件指標(biāo)對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行完全各向同性設(shè)計(jì)，并進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真分析。

1 機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與輸出特性分析

新型RR-RUPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示。

圖1 新型RR-RUPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

圖1中：該機(jī)構(gòu)由動(dòng)平臺(tái)、定平臺(tái)以及連接兩平臺(tái)的兩條單開鏈組成[13]。第一條分支從定平臺(tái)到動(dòng)平臺(tái)的布置依次為轉(zhuǎn)動(dòng)副R11、萬向鉸U12、移動(dòng)副P13、萬向鉸U14。

為便于結(jié)構(gòu)描述和問題分析，將U12副與U14副分別用兩個(gè)軸線垂直相交的轉(zhuǎn)動(dòng)副R12與R13、轉(zhuǎn)動(dòng)副R15與R16代替。第一條分支運(yùn)動(dòng)鏈中R11與R12副的軸線相互平行，R13與R15副的軸線相互平行且垂直于P13副的移動(dòng)方向，因此，該分支運(yùn)動(dòng)鏈的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可記為SOC{-R11//R12⊥R13(⊥R13)//R15⊥R16-}。第二條分支從定平臺(tái)到動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)副的布置依次為轉(zhuǎn)動(dòng)副R21和R22，兩運(yùn)動(dòng)副軸線垂直相交，該分支的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)記為SOC{-R21⊥R22-}。

兩條分支裝配條件為：與定平臺(tái)相連的轉(zhuǎn)動(dòng)副R11和R21的軸線相互垂直；與動(dòng)平臺(tái)相連接的轉(zhuǎn)動(dòng)副R16和R22的軸線相互平行。選取安裝于定平臺(tái)上的R11和R21副作為機(jī)構(gòu)的主動(dòng)副。

根據(jù)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副的配置關(guān)系，可寫出第一條分支和第二條分支的方位特征集Mb1和Mb2，分別為：

(1)

(2)

其中，符號(hào)右上標(biāo)數(shù)字表示支鏈的特征自由度數(shù)，如r2//(R15,R16)表示第一條分支末端構(gòu)件在平行于R15和R16副軸線所確定的平面上，存在2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，t0表示移動(dòng)自由度的數(shù)目為0。

因此，圖1所示機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的方位特征集Mb為：

(3)

由式(3)可知：動(dòng)平臺(tái)具有繞R21副和R22副軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度，即輸出特性為二維轉(zhuǎn)動(dòng)，而不存在移動(dòng)自由度。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度M可利用Yang-Sun公式進(jìn)行計(jì)算，即：

(4)

式中：g—機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副總數(shù)；fk—第k個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度數(shù)；v—獨(dú)立回路數(shù)。

對(duì)于圖1所示機(jī)構(gòu)，g=6，∑fk=8，v=1，∑ξLm=6，因此M=2?？梢娪?jì)算結(jié)果與前述分析一致，所以該機(jī)構(gòu)只能實(shí)現(xiàn)空間二自由度轉(zhuǎn)動(dòng)。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1 姿態(tài)分析

在RR-RUPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的三維CAD模型中，定坐標(biāo)系O-xyz，其原點(diǎn)O位于第二條分支兩轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線的交點(diǎn)，z軸與R21副軸線重合，x軸平行于R11副軸線；動(dòng)坐標(biāo)系P-uvw，其原點(diǎn)P位于動(dòng)平臺(tái)上且與定坐標(biāo)系的原點(diǎn)O重合，v軸與R22副軸線重合，w軸垂直于動(dòng)平臺(tái)平面。

在初始位形下，兩坐標(biāo)系的軸線分別對(duì)應(yīng)重合。設(shè)q11和q21分別為兩主動(dòng)副的輸入角位移；α為動(dòng)平臺(tái)繞v軸轉(zhuǎn)動(dòng)的姿態(tài)角，設(shè)其繞v軸的反方向轉(zhuǎn)動(dòng)為正；β為動(dòng)平臺(tái)繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的姿態(tài)角，繞z軸方向轉(zhuǎn)動(dòng)為正；l為第一條分支主動(dòng)桿的長度，即R11和R12副軸線間的距離；r表示動(dòng)平臺(tái)結(jié)構(gòu)尺寸，即R16和R22副軸線間距離。

建立局部坐標(biāo)系O1-x1y1z1，其原點(diǎn)O1位于轉(zhuǎn)動(dòng)副R11的軸線上，且x1軸與該軸線重合，z1軸垂直定平臺(tái)平面。

新型RR-RUPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)CAD模型如圖2所示。

圖2 新型RR-RUPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)CAD模型

故第一條分支運(yùn)動(dòng)鏈在局部坐標(biāo)系O1-x1y1z1下的運(yùn)動(dòng)螺旋系為：

(5)

式中：Lij，Mij，Pij，Qij，Rij—非零常數(shù)(i=1，j=1,4,5,6)。

根據(jù)式(5)可知：第一條分支運(yùn)動(dòng)鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋系為6系，因此不存在反螺旋。

而在定坐標(biāo)系O-xyz下，第二條分支運(yùn)動(dòng)鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋系為：

(6)

同理可得，該螺旋系為2系，反螺旋為4系，即：

(7)

(8)

(9)

純轉(zhuǎn)動(dòng)RR-RUPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的姿態(tài)正解，是指已知主動(dòng)關(guān)節(jié)的輸入角位移(q11,q21)，求其動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)角(α,β)。圖2中，A點(diǎn)為U12副中兩轉(zhuǎn)軸軸線的交點(diǎn)，B點(diǎn)為P13副移動(dòng)方向與U12副豎直轉(zhuǎn)軸軸線的交點(diǎn)，C點(diǎn)為P13副的移動(dòng)方向與U14副豎直轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)，D點(diǎn)為U14副中兩轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)。

(10)

(11)

將式(11)進(jìn)一步整理，可得：

rsinα=O1z+lsinq11+a+b

(12)

由于O1z、a、b僅與機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)尺寸有關(guān)，只需適當(dāng)設(shè)計(jì)其結(jié)構(gòu)尺寸，便可滿足O1z+a+b=0成立，那么式(12)可化簡(jiǎn)為：

rsinα=lsinq11

(13)

從而可求得動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)角α為：

(14)

由圖2可知，動(dòng)平臺(tái)繞z軸的姿態(tài)角β僅與第二條分支主動(dòng)副R21的角位移q21相關(guān)，故兩者的關(guān)系可寫為：

q21=β+c0

(15)

式中：c0—?jiǎng)悠脚_(tái)繞z軸的初始角度。

由于前面定義了動(dòng)坐標(biāo)系在初始位置時(shí)與定坐標(biāo)系重合，即c0=0，則式(15)可改寫為：

β=q21

(16)

2.2 角速度分析

將式(13，16)對(duì)時(shí)間進(jìn)行一階求導(dǎo)，可得到該機(jī)構(gòu)的角速度方程，即:

(17)

且有：

(18)

根據(jù)式(18)可知：速度雅可比矩陣為對(duì)角陣，主動(dòng)關(guān)節(jié)的輸入速度與動(dòng)平臺(tái)的輸出速度之間存在一對(duì)一的控制映射關(guān)系，所以該機(jī)構(gòu)具有無耦合的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性，尤其是雅可比矩陣對(duì)角線上的第二個(gè)元素等于1。

3 奇異性分析

奇異性是并聯(lián)機(jī)構(gòu)的固有屬性，在機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)過程中，奇異性分析是必不可少的環(huán)節(jié)。FANG和TSAI[14]將并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異類型分為：分支運(yùn)動(dòng)奇異、驅(qū)動(dòng)奇異和約束奇異3種類型。

3.1 分支運(yùn)動(dòng)奇異

這種運(yùn)動(dòng)奇異的發(fā)生與并聯(lián)機(jī)構(gòu)分支運(yùn)動(dòng)鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋系的階數(shù)有關(guān)，故稱為分支運(yùn)動(dòng)奇異。當(dāng)運(yùn)動(dòng)螺旋系的階數(shù)發(fā)生改變時(shí)，動(dòng)平臺(tái)的約束螺旋系的階數(shù)也隨之改變，導(dǎo)致機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)會(huì)瞬間得到或失去一個(gè)或幾個(gè)自由度。

由式(6)可知：第二條分支的運(yùn)動(dòng)螺旋系始終為2系，故該分支不會(huì)發(fā)生分支運(yùn)動(dòng)奇異形式。而式(5)表明，第一條分支的運(yùn)動(dòng)螺旋系為6系螺旋，該螺旋系的相關(guān)性可等價(jià)于由該螺旋系構(gòu)成的階方陣A是否滿秩，即：

(19)

若矩陣A不滿秩，則該運(yùn)動(dòng)螺旋系線性相關(guān)，此時(shí)其行列式的值det(A)為0。

由于矩陣初等變換不影響矩陣的秩，即不影響其行列式是否為0。根據(jù)矩陣分塊計(jì)算方法，當(dāng)僅考慮A對(duì)應(yīng)行列式的值是否為0時(shí)，則有：

det(A)=det(E)det(F)

(20)

其中：

若矩陣E或F其中一個(gè)不滿秩，那么矩陣A便不滿秩。下面對(duì)兩種類型分別進(jìn)行分析：

(1)類型1：矩陣E不滿秩。

經(jīng)計(jì)算det(E)=lcosq11cosβ，那么det(E)=0成立的條件為β=±π/2或q11=±π/2。

當(dāng)q11=±π/2時(shí)，將其代入式(5)可得該位形下的運(yùn)動(dòng)螺旋系，同時(shí)可求得該位形處分支的約束螺旋為：

(21)

(2)類型2：矩陣F不滿秩。

根據(jù)式(20)可得矩陣F行列式的值為：

det(F)=M14lcosq11

(22)

由于結(jié)構(gòu)的限制，在圖2所示的裝配位形下，當(dāng)β=-π/2和q11=-π/2時(shí)，機(jī)構(gòu)不會(huì)發(fā)生分支奇異。

分支奇異位形如圖3所示。

圖3 分支奇異位形

3.2 驅(qū)動(dòng)奇異

(23)

(24)

式中：Q=-(cosβ+lcosq11sinβ)/R16。

將式(23，24)整理成矩陣的形式，即：

(25)

將矩陣分塊后可知，當(dāng)且僅當(dāng)矩陣G主對(duì)角線上的第二個(gè)子塊不滿秩時(shí)，矩陣G不滿秩。即當(dāng)時(shí)矩陣欠秩，從而約束力螺旋系線性相關(guān)，那么便有4組奇異位形組合，分別為：β=π/2,q11=π/2；β=-π/2,q11=π/2；β=π/2,q11=-π/2；β=-π/2,q11=-π/2。

由于機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)限制，在圖2所示的裝配位形下，組合c、d不會(huì)發(fā)生。

當(dāng)R11副被鎖定后，該分支對(duì)動(dòng)平臺(tái)的驅(qū)動(dòng)力螺旋與第二條分支產(chǎn)生的約束力螺旋線性相關(guān)，從而產(chǎn)生驅(qū)動(dòng)奇異位形，如圖4所示。

圖4 驅(qū)動(dòng)奇異位形

3.3 約束奇異

分支施加到動(dòng)平臺(tái)的約束力螺旋線性相關(guān)時(shí)，動(dòng)平臺(tái)得不到應(yīng)有的約束力，產(chǎn)生非預(yù)期自由度，即發(fā)生約束奇異。

由式(7)可知：在圖2所示機(jī)構(gòu)的裝配位形下，分支施加到動(dòng)平臺(tái)上的約束力螺旋系始終包含3個(gè)線性獨(dú)立的約束線力螺旋和一個(gè)約束力偶螺旋，因此，該機(jī)構(gòu)不存在約束奇異。

4 機(jī)構(gòu)的完全各向同性設(shè)計(jì)

在整個(gè)工作空間內(nèi)，若機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣條件數(shù)恒等于1，則稱該機(jī)構(gòu)具有完全各向同性的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能。由于這類機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣為單位陣，其輸入-輸出速度之間的運(yùn)動(dòng)傳遞既不放大也不縮小，更不存在失真情況，可見完全各向同性并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有良好的運(yùn)動(dòng)和力傳遞性能。

通常采用機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)條件指標(biāo)(KCI)來表征機(jī)構(gòu)的靈巧性。當(dāng)KCI=1時(shí)，機(jī)構(gòu)具有各向同性的特性。KCI在數(shù)值上等于雅可比矩陣J的條件數(shù)k(J)的倒數(shù)，即：

(26)

式中：σmax—J的最大奇異值；σmin—J的最小奇異值。

對(duì)于無耦合并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其速度雅可比矩陣為對(duì)角矩陣即正規(guī)矩陣，因此，對(duì)于式(18)所示的雅可比矩陣J，存在一個(gè)階的酉矩陣U，使得：

(27)

(28)

式中：λ1，λ2—矩陣J的特征值；UH—U的共軛轉(zhuǎn)置矩陣；JH—J的共軛轉(zhuǎn)置矩陣。

由于KCI的V值在區(qū)間[0,1]內(nèi)變化，將雅可比矩陣J的奇異值代入式(26)可得：

(29)

因此，KCI值的大小不僅與機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)尺寸有關(guān)，還與機(jī)構(gòu)輸入角位移q11以及輸出角位移α有關(guān)。

對(duì)于給定的機(jī)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)尺寸也隨之確定。將式(14)進(jìn)行三角變換，并代入ζ的表達(dá)式可得：

(30)

式中：κ=l/r。

機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)條件指標(biāo)KCI隨其結(jié)構(gòu)參數(shù)κ和輸入角位移q11變化的規(guī)律如圖5所示。

圖5 運(yùn)動(dòng)條件指標(biāo)的等值線圖

由圖5可知：KCI等值線關(guān)于直線q11=0°對(duì)稱分布，且隨著結(jié)構(gòu)參數(shù)κ值的增大趨于平緩；值得注意的是，當(dāng)κ=1時(shí)，無論q11如何變化，KCI的值為常數(shù)且恒等于1。

將κ=1代入式(28)可得KCI=1，驗(yàn)證了圖5中KCI等值線的變化規(guī)律。由此可見，只要滿足結(jié)構(gòu)尺寸條件l=r，則機(jī)構(gòu)在整個(gè)工作空間內(nèi)具有完全各向同性的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能。

5 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真分析

運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真的主要目的是直觀再現(xiàn)機(jī)構(gòu)輸入與輸出之間的映射關(guān)系。ADAMS/View中提供了豐富的幾何體建模工具，但其對(duì)復(fù)雜形狀零件的建模功能相對(duì)薄弱，難以用其來創(chuàng)建具有復(fù)雜特征的零件；而相對(duì)于ADAMS/View的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，SolidWorks/motion運(yùn)動(dòng)分析模塊的通用性和準(zhǔn)確度較差，因此，本文采用SolidWorks和ADAMS軟件的運(yùn)動(dòng)學(xué)聯(lián)合仿真的方式，對(duì)RR-RURU并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)虛擬樣機(jī)的建模和仿真。

設(shè)定機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)尺寸為l=r，基于SolidWorks軟件，對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行建模。筆者將模型數(shù)據(jù)文件導(dǎo)入ADAMS軟件，并對(duì)導(dǎo)入的三維實(shí)體模型重新定義各構(gòu)件的約束關(guān)系，完成虛擬樣機(jī)的創(chuàng)建；設(shè)置兩主動(dòng)關(guān)節(jié)的角位移函數(shù)分別為：q11=30°sin(πt/6)，q21=-25°sin(πt/4-π/3)，將其編譯到ADAMS的驅(qū)動(dòng)函數(shù)中，設(shè)置仿真時(shí)間為12 s，仿真步數(shù)為200。

在ADAMS/Postprocessor模塊中得到的動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真曲線如圖6所示。

圖6 動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真曲線

根據(jù)圖6的運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真結(jié)果可知：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，動(dòng)平臺(tái)的角位移和角速度可在一定范圍內(nèi)變化，運(yùn)動(dòng)過程平穩(wěn)，不存在劇烈沖擊的現(xiàn)象。

6 結(jié)束語

針對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的強(qiáng)運(yùn)動(dòng)學(xué)耦合性問題，本文設(shè)計(jì)出了一種新型RR-RUPU兩轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，推導(dǎo)出了其姿態(tài)和角速度方程；由于其速度雅可比矩陣為對(duì)角陣，其具有無耦合運(yùn)動(dòng)學(xué)特性，即其主動(dòng)關(guān)節(jié)的輸入速度與其動(dòng)平臺(tái)的輸出速度之間具有一對(duì)一的控制映射關(guān)系，所以該機(jī)構(gòu)具有良好的運(yùn)動(dòng)傳遞性能。尤其是當(dāng)結(jié)構(gòu)尺寸滿足一定的要求情況下，其雅可比矩陣為單位陣，機(jī)構(gòu)具有完全各向同性的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能。

筆者所作的研究為該機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)及其實(shí)體樣機(jī)的研制提供了一定的理論基礎(chǔ)。

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