郭 明，閆冰男，周騰飛，陳朝陽，張 晨，劉運明

(1.北京建筑大學(xué) 測繪與城市空間信息學(xué)院，北京 102616；2.北京建筑大學(xué) 代表性建筑與古建筑數(shù)據(jù)庫教育部工程研究中心，北京 102616；3.北京建筑大學(xué) 現(xiàn)代城市測繪國家測繪地理信息局重點實驗室，北京 102616；4.北京建筑大學(xué) 建筑遺產(chǎn)精細重構(gòu)與健康監(jiān)測北京市重點實驗室，北京 102616；5.北京城建勘測設(shè)計研究院有限責(zé)任公司，北京 100101)

0 引 言

應(yīng)縣木塔又稱佛宮寺釋迦塔，位于山西省應(yīng)縣西北隅，建于遼代清寧二年(1056年)是中國現(xiàn)存最高最古老的木構(gòu)塔式建筑，歷史文化價值極高[1]。長期以來，應(yīng)縣木塔經(jīng)歷過多次自然和人為破壞，木材承載能力減弱，部分構(gòu)件損壞，使木塔產(chǎn)生不同程度的傾斜、扭轉(zhuǎn)等形變，并且隨著時間的推移日趨嚴重[2]。應(yīng)縣木塔是中國木結(jié)構(gòu)古建筑的典型代表，對應(yīng)縣木塔進行保護也是古建筑文化遺產(chǎn)保護領(lǐng)域的重要工作，通過測繪手段獲取木塔現(xiàn)狀數(shù)據(jù)，對其形變進行全面分析，以便制定合理的保護方案，科學(xué)保護木塔安全。

近年來大多學(xué)者從結(jié)構(gòu)的角度采用有限元方法分析應(yīng)縣木塔的形變及結(jié)構(gòu)受力情況[3]。陳特等[4]通過有限元模型評估應(yīng)縣木塔的穩(wěn)定性，分析出木塔二層明層的破壞始于西南面外檐中柱的局部失穩(wěn)，該柱因柱腳榫局部最大拉應(yīng)力過大而發(fā)生損傷。陳平等[5]建立應(yīng)縣木塔二層明層柱網(wǎng)的有限元模型并進行糾偏分析，為木塔的進一步加固設(shè)計提供依據(jù)，并提出糾偏方案。杜雷鳴等[2，6]構(gòu)建有限元分析模型，進行了重力和地震作用下的結(jié)構(gòu)受力分析，對木塔結(jié)構(gòu)抗震性能進行了安全評估。也有利用工程測量方法研究應(yīng)縣木塔，隋坤等[7]分析出木塔總的趨勢是南高北低，各層間處于相對扭曲狀態(tài)。由于古建筑木結(jié)構(gòu)與現(xiàn)代混凝土建筑結(jié)構(gòu)不同，單柱的局部失穩(wěn)將引起木塔整體坍塌[8]，因此本文主要測量單柱的形變，從測繪的角度定量分析應(yīng)縣木塔的形變情況。

激光雷達掃描技術(shù)是一種全新的測繪手段，憑借其高效率、高精度、不接觸古建筑本體的優(yōu)勢，在古建筑勘測中被越來越多地應(yīng)用。通過激光雷達掃描技術(shù)可以獲取古建筑精細的三維信息[9-10]，是古建筑文化遺產(chǎn)管理的重要手段和工具[11]；全站儀的測量精度可達到亞毫米級，在密集型遺產(chǎn)監(jiān)測中常作為一種全局控制手段[12]。本文通過不同的地面激光雷達掃描儀獲取木塔內(nèi)、外的點云數(shù)據(jù)，同時在木塔周圍布設(shè)標(biāo)靶控制點，通過全站儀控制測量建立監(jiān)測的絕對坐標(biāo)系。采集到的點云數(shù)據(jù)首先要進行預(yù)處理，外部點云采用整體配準(zhǔn)的算法，內(nèi)部點云采用特征配準(zhǔn)的粗配準(zhǔn)和迭代最近點(ICP)算法精配準(zhǔn)的兩次配準(zhǔn)，再通過控制點將內(nèi)、外點云轉(zhuǎn)換到絕對坐標(biāo)系中，得到整體的點云模型。通過對點云模型進行多種剖切，測量出木塔各層柱子的偏移角度、距離以及整體的傾斜角度等，根據(jù)測量數(shù)據(jù)分析木塔單柱、單層到整體的偏移程度、傾斜方向以及扭轉(zhuǎn)趨勢等。

1 監(jiān)測方案及數(shù)據(jù)獲取

1.1 監(jiān)測方案

根據(jù)應(yīng)縣木塔的地理位置、周圍環(huán)境、建筑結(jié)構(gòu)以及掃描精度要求，制定合理的監(jiān)測方案，如圖1所示。利用中遠程、近程地面激光掃描儀以及全站儀等測量傳感器，獲得能反映木塔特征變化的高精度監(jiān)測數(shù)據(jù)。通過中遠程地面激光掃描儀采集木塔外部點云，但是木塔屋檐容易遮擋并且無法獲取木塔內(nèi)部點云，這時通過近程掃描儀采集內(nèi)部點云；同時利用全站儀進行控制測量，根據(jù)已有監(jiān)測控制點的分布在木塔周圍布設(shè)標(biāo)靶紙，每層至少布設(shè)3個標(biāo)靶點。將塔內(nèi)、塔外點云配準(zhǔn)后，經(jīng)過控制點進行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，得到整體的點云模型，實現(xiàn)傳統(tǒng)測量與激光雷達掃描的坐標(biāo)統(tǒng)一，便于進行形變分析。為了保證數(shù)據(jù)拼接質(zhì)量，相鄰站點之間數(shù)據(jù)重合度應(yīng)達到30%以上，相鄰站點之間至少有3個不共面的公共標(biāo)靶。

圖1 監(jiān)測數(shù)據(jù)獲取技術(shù)路線

1.2 塔外數(shù)據(jù)獲取

中遠程激光掃描儀的測程可以達到1 200 m，適用于遠距離大范圍的掃描。采集數(shù)據(jù)時在應(yīng)縣木塔外部設(shè)置10個測站(圖2)，共布設(shè)25個標(biāo)靶控制點。為了保證數(shù)據(jù)配準(zhǔn)和坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精度，對25個標(biāo)靶點控制進行高精度掃描，標(biāo)靶紙及標(biāo)靶點云如圖3所示。

圖2 外部掃描站點分布

圖3 標(biāo)靶紙及標(biāo)靶點云

在單站掃描過程中，設(shè)置粗略掃描精度為0.04 cm·m-1，對木塔所在區(qū)域做高精度掃描，精度為0.01 cm·m-1，單站掃描數(shù)據(jù)如圖4所示。

圖4 塔外單站掃描數(shù)據(jù)

1.3 塔內(nèi)數(shù)據(jù)獲取

近程激光掃描儀的測程為0.5～130 m，掃描儀輕巧，便于攜帶，因此用于采集木塔內(nèi)部數(shù)據(jù)。應(yīng)縣木塔每層均由8根內(nèi)柱和24根外柱支撐，在掃描過程中對內(nèi)中外三側(cè)進行掃描(圖5)，設(shè)置掃描分辨率為0.07 mm·m-1，保證每根柱子都能掃描清楚且沒有遺漏部分。為方便數(shù)據(jù)配準(zhǔn)，每兩站之間通過標(biāo)靶球連接(圖6)，木塔上下2層通過樓梯上特征點、特征面連接。

圖5 內(nèi)部掃描站點分布

圖6 標(biāo)靶球

1.4 控制點數(shù)據(jù)獲取

為了精確測定應(yīng)縣木塔的形變，需要建立較高精度的控制網(wǎng)[13]，通過全站儀進行控制測量，建立應(yīng)縣木塔的監(jiān)測絕對坐標(biāo)系。應(yīng)縣木塔院內(nèi)已經(jīng)埋設(shè)了固定的監(jiān)測控制點，根據(jù)這些控制點的分布在木塔周圍布設(shè)標(biāo)靶紙，標(biāo)靶紙易于粘貼和清理，不會對木塔造成傷害。標(biāo)靶控制點布設(shè)應(yīng)該精簡，外側(cè)主要分布在木塔東南面和西面，內(nèi)側(cè)布設(shè)在柱子上，每層至少布設(shè)3個標(biāo)靶點。木塔東南面標(biāo)靶紙分布如圖7(a)所示，圖7(b)，(c)分別為外部和內(nèi)部布設(shè)的標(biāo)靶紙。

圖7 標(biāo)靶紙控制點

2 監(jiān)測數(shù)據(jù)預(yù)處理

監(jiān)測數(shù)據(jù)預(yù)處理即為點云配準(zhǔn)，點云配準(zhǔn)是獲得完整點云模型的必要步驟，配準(zhǔn)質(zhì)量也關(guān)系到后續(xù)成果的整體質(zhì)量[14]。外部點云采用整體配準(zhǔn)方法，內(nèi)部點云首先通過特征進行粗配準(zhǔn)再使用ICP算法精配準(zhǔn)，最后由標(biāo)靶控制點將內(nèi)外點云均配準(zhǔn)到絕對坐標(biāo)系中。點云配準(zhǔn)通過羅德里格矩陣求解空間轉(zhuǎn)換參數(shù)，最終得到帶有絕對坐標(biāo)的整體點云模型，配準(zhǔn)流程如圖8所示。

圖8 點云數(shù)據(jù)配準(zhǔn)流程圖

2.1 外部點云配準(zhǔn)

整體配準(zhǔn)將多站數(shù)據(jù)根據(jù)其中的約束關(guān)系一次性轉(zhuǎn)換到統(tǒng)一的坐標(biāo)系下，進行整體配準(zhǔn)時必須以高精度的控制約束為基礎(chǔ)[15]，同時點云中要具備足夠的約束求解空間轉(zhuǎn)換參數(shù)[16]。獲取監(jiān)測數(shù)據(jù)時，在應(yīng)縣木塔外部布設(shè)大量標(biāo)靶，可以將標(biāo)靶控制網(wǎng)作為基準(zhǔn)，因此外部點云適用于整體配準(zhǔn)。以標(biāo)靶點構(gòu)造點約束誤差方程，則掃描點云中的標(biāo)靶點X0(x0,y0,z0)與其觀測值X(x,y,z)有如下關(guān)系[17]

X0-(-λRXt+ΔX)=0

(1)

式中：R為站點變換旋轉(zhuǎn)矩陣；ΔX為平移參數(shù)，ΔX=[(Δx,Δy,Δz)]T；λ為尺度參數(shù)，一般在點云運算中取λ=1。

大旋角空間變換的角度參數(shù)求解通常用羅德里格矩陣，由反對稱矩陣S[式(2)]構(gòu)建，R=(I+S)·(I-S)-1，其中I為3階單位陣。

(2)

式中：a,b,c為3個獨立的參數(shù)。

結(jié)合羅德里格矩陣線性化展開得到點的誤差方程為

V1=A1t+BX-L1

(3)

V1=[VxVyVz]

t=[dΔxdΔydΔzdadbdc]

B=R-1

X=[dx0dy0dz0]T

式中：V1為觀測值改正數(shù)；A1為空間變換參數(shù)相關(guān)的系數(shù)矩陣；t為空間變換參數(shù)改正數(shù)；B為待定點系數(shù)矩陣；X為待定點改正值；L1為觀測值殘差。

配準(zhǔn)后點云的平均誤差在5 mm以下，如圖9所示。

圖9 應(yīng)縣木塔外部點云

2.2 內(nèi)部點云數(shù)據(jù)配準(zhǔn)

內(nèi)部點云是形變分析的主要數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)的精度要求高，因此進行兩次配準(zhǔn)。由于在采集木塔內(nèi)部數(shù)據(jù)時布設(shè)了標(biāo)靶球，其他的同名特征也比較明顯，所以先利用特征進行粗配準(zhǔn)，同一層相鄰測站點云以標(biāo)靶球為特征進行配準(zhǔn)，上下層點云以樓梯上特征點、特征面進行配準(zhǔn)。粗配準(zhǔn)后點云大致重合但精度不高，此時利用ICP算法再次配準(zhǔn)能提高配準(zhǔn)精度。

(4)

重心坐標(biāo)分別為Xm和Xn，重心化坐標(biāo)為

旋轉(zhuǎn)參數(shù)的誤差方程可以表示為

V=At-L

(5)

求解羅德里格參數(shù)構(gòu)造矩陣R后，平移參數(shù)的誤差方程可表示為

(6)

Y=C(P,X)

(7)

式中：C為對應(yīng)點的坐標(biāo)變換，不停迭代直到滿足精度為止。

粗配準(zhǔn)后的點云誤差在7 mm以下，經(jīng)過ICP算法再次配準(zhǔn)的誤差在2 mm以下，二層至五層的內(nèi)部點云模型如圖10所示。

圖10 應(yīng)縣木塔內(nèi)部點云

2.3 點云數(shù)據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換及內(nèi)外部數(shù)據(jù)配準(zhǔn)

由于內(nèi)部點云和外部點云都完成了配準(zhǔn)，因此內(nèi)外部數(shù)據(jù)可看作兩站點云，將內(nèi)部點云和外部點云均配準(zhǔn)到控制點坐標(biāo)下，既實現(xiàn)了內(nèi)外部點云的配準(zhǔn)，也完成了點云坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換。根據(jù)3個同名標(biāo)靶點坐標(biāo)可以求出旋轉(zhuǎn)參數(shù)和平移參數(shù)，存在多余觀測時,可根據(jù)最小二乘平差求出最優(yōu)解，兩站之間的空間轉(zhuǎn)換模型為[21]

(9)

[XYZ]T和[xyz]T表示相鄰兩測站中的同名特征點坐標(biāo)，結(jié)合羅德里格矩陣求出點誤差方程，如式(5)所示，由于各控制點的權(quán)重相同，根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則得

X=(ATA)-1ATL

(9)

求出旋轉(zhuǎn)參數(shù)的最優(yōu)解，代入轉(zhuǎn)換模型求出平移參數(shù)[ΔXΔYΔZ]T。配準(zhǔn)后平均誤差在5 mm以下，配準(zhǔn)后的數(shù)據(jù)未出現(xiàn)分層情況，滿足精度要求，整體點云如圖11所示。

圖11 應(yīng)縣木塔完整點云

3 形變分析

應(yīng)縣木塔形變主要是由柱子形變引起的，因此主要分析柱子形變。從不同視圖的整體點云中截取柱子點云，測量出各柱子的傾斜角度、偏移距離；對模型整體同樣進行剖分，測量整體的傾斜角度。根據(jù)測量數(shù)據(jù)分析單柱傾斜、單層位移、柱結(jié)構(gòu)縱向傾斜、木塔整體傾斜和扭轉(zhuǎn)等形變情況。

3.1 單柱傾斜分析

截取每根柱子的完整點云，在正視圖和左視圖中量測柱子的傾斜角度。將柱頭、柱腳的點云數(shù)據(jù)擬合成圓，柱子邊緣的點云數(shù)據(jù)擬合成直線，連接柱頭、柱腳的圓心得到柱子的中心線，同時過柱腳圓心做出柱子垂線，垂線與中心線所形成的夾角視為柱子的傾斜角度。圖12為應(yīng)縣木塔第2層部分柱子的傾斜角度。西南面柱子傾斜角度最大，向東最大傾斜3.43°，向北最大傾斜5.05°；東北面柱子傾斜角度最小，向東最大傾斜0.43°，向北最大傾斜0.26°；各面柱子向東北方向有不同程度的傾斜，西南面柱子傾斜情況最嚴重，東北面柱子傾斜角度小。

3.2 單層位移分析

截取每層柱頭、柱腳的點云，根據(jù)點云擬合出圓，疊加2層數(shù)據(jù)量測出柱頭圓心到柱腳圓心3個方向的位移，橫向偏移表示沿東西方向的位移，縱向偏移表示沿南北方向的位移，綜合偏移表示柱頭、柱腳圓心的直線距離，圖13為第2層柱子的偏移。

圖13 應(yīng)縣木塔第2層位移

第2層西南面(M2W22～M2W24)外柱在3個方向的位移都很大，其中M2W23號外柱形變最大，向東偏移0.356 m，向北偏移0.326 m，綜合偏移0.483 m，這面柱子嚴重向東北方向傾斜；南面、東南面、東面(M2W01～M2W10)外柱縱向偏移較大，柱子向北方向的傾斜程度比向東方向嚴重，并且傾斜程度逐漸減少；東北面(M2W10～M2W13)是平均傾斜程度最小的面，柱子變形程度最小，其中M2W12號外柱的南北位移是第2層中最小的，向北偏移0.002 m；北面(M2W13～M2W16)外柱橫向偏移較大，柱子向東方向的傾斜程度較大；西北面和西面(M2W16～M2W22)外柱偏移量逐漸增大，柱子向東北方向的傾斜程度逐漸增大。內(nèi)柱的位移量和外柱不同，但同方位內(nèi)柱和外柱的偏移方向相同，東北角的M2N05號內(nèi)柱變形最小，向東位移值最小為0.002 m，綜合位移最小為0.005 m。其他層的偏移方向與第2層類似，但位移量偏小，分析得出應(yīng)縣木塔各層均向東北方向有不同程度的位移，每層西南面柱子位移最大，東北面柱子位移最小。

3.3 柱結(jié)構(gòu)縱向傾斜分析

為了直觀分析各層柱子的傾斜，從點云模型的俯視圖中沿對角線方向截取整體的柱子點云，圖14為北偏東67.5°方向上截取的點云?？v向來看，應(yīng)縣木塔各層的傾斜程度不同，二層和三層的傾斜程度遠大于上部2層，第5層的傾斜程度相對最小，第2層的傾斜程度最大，第2層明層西南面柱子發(fā)生了嚴重的變形，現(xiàn)已對西南面內(nèi)柱進行了加固。

圖14 應(yīng)縣木塔柱結(jié)構(gòu)縱向傾斜分析示意圖

3.4 木塔整體傾斜分析

從整體模型中截出木塔的縱截面，在截面中將木塔第1層和第5層兩側(cè)的點云擬合出邊緣線，連接兩側(cè)邊緣線中點作為假定中心線，取中心線中點作為該層的中心點，連接2層中心點得到木塔的傾斜方向線，同時過底層中心做垂線，傾斜方向線和垂線的夾角即為傾斜角度。圖15為東西方向和南北方向?qū)蔷€的截面，可以看出木塔整體向東傾斜0.35°，向北傾斜0.54°。由此分析應(yīng)縣木塔整體的傾斜方向為東北方向，和單柱以及單層的傾斜方向一致。

圖15 應(yīng)縣木塔整體傾斜示意圖

3.5 木塔整體扭轉(zhuǎn)分析

通過結(jié)構(gòu)剖切，可以快速精確得出應(yīng)縣木塔的扭轉(zhuǎn)姿態(tài)[22]。在木塔點云模型中沿著每一層最外沿進行剖切，擬合出每層的外側(cè)邊緣，連接對角點做出對角線，疊加各層數(shù)據(jù)，如圖16所示。由于木塔每層相同位置的對角線不重合，因此木塔存在扭轉(zhuǎn)變形。相對底層來說，各層對角線的位置和相對位移不同，表明木塔發(fā)生的扭轉(zhuǎn)是復(fù)雜的，如圖16箭頭所指，木塔整體扭轉(zhuǎn)趨勢為西側(cè)由南向北發(fā)生順時針扭轉(zhuǎn)，東側(cè)由南向北發(fā)生逆時針扭轉(zhuǎn)，并且上下2層的相對扭轉(zhuǎn)程度各不相同。

圖16 應(yīng)縣木塔扭轉(zhuǎn)示意圖

4 結(jié)語

(1)通過激光雷達掃描技術(shù)獲取應(yīng)縣木塔內(nèi)外部的點云數(shù)據(jù)，利用全站儀控制測量得到標(biāo)靶控制點坐標(biāo)，進行點云配準(zhǔn)及坐標(biāo)轉(zhuǎn)換等處理后得到絕對坐標(biāo)系下的整體點云模型。對應(yīng)縣木塔各層柱子的偏移量以及偏移角度進行了測量，由測量數(shù)據(jù)定量分析了目前的形變情況。分析得出應(yīng)縣木塔所有柱子都存在變形，第2層柱子的傾斜角度和位移都大于其他各層，其中M2W23號柱子形變最嚴重；單層來看西南面柱子偏移程度比其他面嚴重，各層向東北方向存在不同程度的傾斜；縱向看應(yīng)縣木塔二、三層的傾斜程度比四、五層要大；在縱截面中測量整體的傾斜角度，同樣表明木塔的傾斜方向為東北方向；同時木塔存在復(fù)雜的扭轉(zhuǎn)變形，扭轉(zhuǎn)趨勢為西側(cè)由南向北順時針扭轉(zhuǎn)，東側(cè)由南向北逆時針扭轉(zhuǎn)。依據(jù)測量數(shù)據(jù)分析了應(yīng)縣木塔的形變，但沒有分析各柱、各層的承載力大小和受力情況，還需進一步研究。

(2)通過三維激光雷達技術(shù)可以采集到相對完整的高精度點云數(shù)據(jù)，構(gòu)建出精確的應(yīng)縣木塔點云模型，對點云模型測量可得出傾斜角度及位移量，方便對木塔的整體姿態(tài)、偏移、傾斜、扭轉(zhuǎn)等情況進行全面分析，對研究應(yīng)縣木塔的形變有重要意義，本文的技術(shù)方案對研究中國其他物質(zhì)文化遺產(chǎn)同樣具有應(yīng)用價值。