唐忠敏

(西北民族大學(xué)預(yù)科教育學(xué)院理科教研室，甘肅 蘭州 730030)

在高中物理和大學(xué)基礎(chǔ)物理中經(jīng)常會(huì)有變力做功問(wèn)題,但由于學(xué)生不具備或不熟悉微積分計(jì)算知識(shí),通常會(huì)用能量守恒定律、動(dòng)能定理等間接方法進(jìn)行求解．但這些方法有時(shí)并非簡(jiǎn)便,圖示法卻能化繁為簡(jiǎn)、化難為易,取得出乎意料的效果,變質(zhì)量鏈條運(yùn)動(dòng)的做功問(wèn)題就是其中一例．

圖1 水平桌面下滑的鏈條

題目.一質(zhì)量為m、長(zhǎng)為L(zhǎng)的勻質(zhì)鏈條,放在摩擦因數(shù)為μ的水平桌面上,其長(zhǎng)為a的一端下垂,如圖1所示．鏈條與桌邊緣的相互作用忽略不計(jì),當(dāng)鏈條由靜止開始沿桌邊向下滑動(dòng)至剛剛?cè)侩x開桌邊的過(guò)程中,重力與摩擦力各做多少功?

解析： 以鏈條為研究對(duì)象,選桌邊為坐標(biāo)原點(diǎn)O,鏈條運(yùn)動(dòng)徑跡豎直向下為坐標(biāo)軸正方向,某時(shí)刻坐標(biāo)為s,鏈條受力如圖1所示．因此在鏈條下滑過(guò)程中,下垂部分鏈條的重力大小為

(1)

桌面上的鏈條所受的摩擦力為

f=μN(yùn)′.

(2)

桌面對(duì)鏈條的支持力為

(3)

由牛頓第三定律知

N=N′.

(4)

由(2)～(4)式得鏈條所受摩擦力大小為

(5)

方法1:積分法.

由于桌面上的鏈條質(zhì)量時(shí)刻在變化,受到的摩擦力也時(shí)刻在變化,嚴(yán)格來(lái)講,變質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題較適合用積分方法來(lái)分析.

下垂部分鏈條重力做功滿足

(6)

將(1)式代入(6)式得

(7)

桌面上鏈條所受摩擦力做功滿足

(8)

將(5)式代入(7)式得

(9)

以上涉及到變質(zhì)量物體的受力與做功的計(jì)算,積分方法是較為常見的方法,但對(duì)于積分計(jì)算不熟悉的學(xué)生而言,這種方法顯得頗有難度．下面將運(yùn)用圖示法巧妙化解這一難度問(wèn)題．

方法2:圖示法.

(10)

建立桌面剩余鏈條所受摩擦力隨s變化圖像,如圖2(b)所示,陰影部分三角形面積數(shù)值上等于摩擦力做功大小,則有

(11)

圖2 重力、摩擦力

由上述結(jié)果可知,運(yùn)用圖示法計(jì)算結(jié)果與積分運(yùn)算結(jié)果完全一致,且圖示法顯得更為巧妙和簡(jiǎn)約,方便學(xué)生理解和計(jì)算．

對(duì)于變力做功的問(wèn)題,適當(dāng)建立坐標(biāo)系,找出該力隨坐標(biāo)而變化的函數(shù)關(guān)系,然后采用積分法和圖示法均可求得此變力對(duì)物體的功．使用圖示法需要確定圖像具體的物理意義，可通過(guò)圖像與坐標(biāo)軸圍成的面積來(lái)反映某一物理量,從而用圖示法進(jìn)行直觀地分析,例如“速度—時(shí)間”圖像求解勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移、“加速度—時(shí)間”圖像求解某一過(guò)程的速度等,以及在變力做功問(wèn)題中尤其是變力大小是坐標(biāo)的線性函數(shù)時(shí),則運(yùn)用圖示法分析就顯得更為簡(jiǎn)便．當(dāng)然,變質(zhì)量鏈條運(yùn)動(dòng)類問(wèn)題的求解方法并不限于此,如利用能量守恒、功能原理等也可求解速度、重力和摩擦力做功問(wèn)題[1，2],但過(guò)程稍遜復(fù)雜．本文提供的圖示法解決此類變力做功問(wèn)題旨在拋磚引玉,以期促進(jìn)學(xué)生在相似問(wèn)題解決中能夠觸類旁通、舉一反三地遷移應(yīng)用,促進(jìn)學(xué)生科學(xué)思維、物理觀念水平[3]等提升,從而增進(jìn)物理學(xué)科核心素養(yǎng)．