魯軼戈,章春國

(杭州電子科技大學數(shù)學系,浙江杭州310018)

§1 引 言

近二,三十年來,現(xiàn)代控制理論在空間飛行器控制中處于迅猛發(fā)展階段,在帶有大量燃料及撓性部件的大型應用衛(wèi)星控制中,為了解決振型及頻率不準確的控制以及部件閉路系統(tǒng)中優(yōu)化控制的難題,人們正在積極開展控制理論應用的探索研究.于此同時,由于柔性結構在空間科學及機器人學中被廣泛應用,空間柔性結構的控制問題也引起了人們廣泛的關注,而Euler-Bernoulli梁,Timoshenko梁以及Rayleigh梁扮演了重要的角色,其中尤以Timoshenko梁能更精確地描述一類彈性梁模型,因此能更好地滿足實際應用的需求(參見文獻[1-3]).

許多數(shù)學與力學工作者都致力于研究具有粘彈性阻尼的彈性梁系統(tǒng)的穩(wěn)定性.如:Liu和Liu在[4-5]中研究了抽象粘彈性系統(tǒng)與具有局部粘彈性的振動弦的指數(shù)穩(wěn)定性;趙宏亮在[6]中研究了具局部粘彈性(Kelvin-Voigt阻尼和Boltzmann阻尼)的彈性系統(tǒng)的穩(wěn)定性;章春國在[7]中對只具有一個局部記憶阻尼的非均質Timoshenko梁的穩(wěn)定性進行了研究,借助波速點點相等的條件得到了該系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性;在文獻[8]中,Ma等研究了Timoshenko梁方程與熱方程耦合系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性;Rivera等在[9]中研究的是具有全局記憶阻尼的Timoshenko梁系統(tǒng)的一致指數(shù)穩(wěn)定性;Rivera等在[10]中研究了一類Timoshenko梁系統(tǒng)的Signorini問題,引入混合懲罰法給出了局部耗散模型的多項式衰減估計.

本文主要研究的是具有動態(tài)邊界的局部粘性阻尼的Timoshenko梁的穩(wěn)定性,更確切地說,考慮如下初邊值問題:

§2 主要結果

為了研究系統(tǒng)的能量衰減估計,需要下面的自然假設.

§3 系統(tǒng)的適定性和半群的譜性質

§4 定理2.2的證明