由同順

(南開大學數(shù)學科學學院,天津300071)

§1 引 言

由于間斷Galerkin有限元(DG)方法具有局部守恒性,穩(wěn)定性,自適應(yīng)性及高精度等優(yōu)點,所以近20多年以來,DG方法一直受到人們的廣泛重視.DG方法最初由文[1]對于傳輸方程引入,后來文[2-5]將其拓展到橢圓及拋物問題.文[6]通過引入數(shù)值流的方法,把多種DG格式統(tǒng)一起來,給出了DG格式的一致化誤差分析.關(guān)于DG方法及其綜述可參見文獻[6-15].

對于對流擴散方程,文[10]提出了局部間斷Galerkin有限元(LDG)方法并得到了關(guān)于具有常系數(shù)線性問題的誤差估計.文[16]討論了非線性對流擴散方程的hp-LDG方法,給出了關(guān)于h的最優(yōu)L2(H1)誤差估計以及關(guān)于h的次最優(yōu)L∞(L2)誤差估計.文[17]討論了非線性對流擴散方程的三層隱-顯hp-LDG有限元方法,得到了全離散格式的最優(yōu)L2(H1)誤差估計以及次最優(yōu)L∞(L2)誤差估計.據(jù)作者所知,關(guān)于對流-擴散方程的hp-LDG方法的有關(guān)h的最優(yōu)L∞(H1)誤差估計還不多見.本文的目的就是討論非線性對流擴散方程的hp-LDG方法,使用不同于文[10]的方法,采用文[5-6,12]對于橢圓方程提出的提升算子方法給出了格式的關(guān)于h的最優(yōu)L∞(H1)誤差估計.本文的計算結(jié)果驗證了文中得到的理論結(jié)果.關(guān)于本文提出的方法應(yīng)用到其他方程(如：Soblev方程，4階方程等高階方程)將在以后討論.

§2 hp-LDG方法

§3 誤差估計

§4 數(shù)值例子

表 1 ‖u?uh‖L∞(H1)誤差階