蔡光輝,項 琳,章 茜

(浙江工商大學(xué)統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院,浙江杭州310018)

§1 引 言

Wang等[1]引入了WOD(widely orthant dependent)隨機變量序列的概念.

定義1[1]稱{Xn,n≥1}是帶有控制系數(shù){gU(n),n≥1},n≥1的WUOD(widely upper orthant dependent)序列,如果存在有限的實數(shù)序列{gU(n),n≥1},任取n≥1和xi∈(?∞,∞),1≤i≤n滿足

稱{Xn,n≥1}是帶有控制系數(shù){gL(n),n≥1},n≥1 WLOD(widely lower orthant dependent)序列,如果存在有限的實數(shù)序列{gL(n),n≥1},任取n≥1和xi∈(?∞,∞),1≤i≤n滿足

稱{Xn,n≥1}是WOD(widely orthant dependent)序列,如果{Xn,n≥1}既是WUOD序列,又是WLOD序列,其控制系數(shù)記為g(n)=max{gU(n),gL(n)}.

顯然,WOD序列較NOD(negatively orthant dependent)序列(g(n)≡1)和END(extended negatively dependent)序列(g(n)≡M,M>0)等隨機變量序列均更加廣泛和更加一般.對于特殊情形,不少學(xué)者做了相關(guān)研究,詳見文獻[2-6].其中Wang(2014)[2]研究了END隨機變量序列加權(quán)和的完全收斂性(具體見下面定理A,定理B,定理C).

定理A設(shè){Xn,n≥1}是同分布的END隨機變量序列,1/2<α≤1,αp>1,EX1=0,E|X1|p<∞.設(shè){ani,1≤i≤n,n≥1}是一個實數(shù)陣列且|ani|≤1,1≤i≤n,n≥1.那么對任意的ε>0,有

定理B設(shè){Xn,n≥1}是同分布的END隨機變量序列,1/2<α≤1,αp>1,EX1=0,E|X1|p<∞.設(shè){ani,1≤i≤n,n≥1}是一個實數(shù)陣列滿足|ani|>1或者ani=0,且,s>p.那么對任意的ε>0,有(1.1)式成立.

定理C設(shè){Xn,n≥1}是同分布的END隨機變量序列,1/2<α≤1,αp>1,EX1=0,E|X1|p<∞.設(shè){ani,1≤i≤n,n≥1}是一個實數(shù)陣列滿足,s>p.那么對任意的ε>0,有(1.1)式成立.

對于WOD隨機變量序列,Wang等(2012)[7]獲得了WOD隨機變量序列的精確大偏差.邱德華等(2014)[8]在適當條件下獲得了WOD隨機變量序列加權(quán)和的完全收斂性和矩完全收斂性.蔡光輝等(2014)[9]在一個獨立隨機變量序列的重對數(shù)律的基礎(chǔ)上,獲得了不同分布WOD隨機變量序列的重對數(shù)律.Tao和Wu(2016)[10]獲得了WOD隨機變量序列滑動平均的完全收斂性.Liu和Shen等(2017)[11]獲得了WOD隨機變量序列的矩完全收斂性.特別地,丁洋等(2015)[12]獲得了WOD隨機變量加權(quán)和的完全收斂性(具體見定理D).

定理D設(shè){Xn,n≥1}是一個被隨機變量X隨機控制的WOD隨機變量序列,α>1/2,αp>1,且EX=0,E|X|p<∞.令g(n)=O(nθ),其中θ>0.設(shè){ani,1≤i≤n,n≥1}是一個實數(shù)陣列且滿足,其中

本文的主要目的是在WOD隨機變量序列的情形下,利用部分和最大值的Rosenthal型矩不等式，獲得加權(quán)部分和最大值的完全收斂性結(jié)果,具體的結(jié)論見如下定理1所示.

定理1設(shè){X,Xn,n≥1}是同分布的WOD隨機變量序列,α>1/2,αp>1,且E|X|p<∞.令g(n)=O(nθ),θ≥0,當α≤1時,EX=0.設(shè){ani,1≤i≤n,n≥1}是一個實數(shù)陣列且滿足

注1當θ=0時,則定理1為{X,Xn,n≥1}是同分布的END隨機變量序列情形的加權(quán)和的完全收斂性.

注2定理1與定理A,定理B,定理C比較,不僅將END隨機變量情形推廣至WOD隨機變量情形,還將部分和推廣至最大值部分和的情形及將1/2<α≤1拓展至α>1/2.

注3定理1與定理D比較,不但將定理D中的部分和推廣至最大值部分和情形,并將權(quán)條件減弱至s>p.

定理2設(shè){X,Xn,n≥1}是同分布的WOD隨機變量序列,α>1/2,αp>1,且E|X|p<∞.

§2 定理的證明

2.1 若干引理

為了證明定理1,需要如下3個引理.

引理1[1]設(shè){Xn,n≥1}為WOD隨機變量序列,如果{fn(·),n≥1}是均非升(或均非降)的函數(shù)，則{fn(Xn),n≥1}仍為WOD隨機變量序列.

引理2[10]設(shè)p>1,{Xn,n≥1}是均值為零的WOD隨機變量序列,對任意的n≥1都有E|Xn|p<∞.則存在僅依賴于p的正整數(shù)c1(p)和c2(p),使得對任意的n≥1,有

引理3設(shè)X是隨機變量,α>1/2,αp>1,且E|X|p<∞.設(shè){ani,1≤i≤n,n≥1}是一個實數(shù)陣列且滿足(1.3)式.則有

證由文獻[13]中的引理2.3及引理2.4的證明即可得到.

2.2 主要結(jié)果證明