張安軍
在數(shù)學(xué)歷史的發(fā)展中。有一些耐人尋味的經(jīng)典名題,如璀璨的明珠,吸引了一代又一代的數(shù)學(xué)愛好者,同時也得到廣大數(shù)學(xué)命題者的青睞,試題命制者通過對一些名題的挖掘和改編,選擇了合適的內(nèi)容作為試題的考查對象,以經(jīng)典名題為背景的試題。讓數(shù)學(xué)試卷充滿濃濃的文化味。又能激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的熱情,提升素養(yǎng),把握數(shù)學(xué)的本質(zhì),筆者受區(qū)教學(xué)發(fā)展中心委托,命制一份區(qū)中考模擬試題,在命制過程中,對歷史上一道經(jīng)典的幾何名題進(jìn)行挖掘和開發(fā)。演變成了一道幾何壓軸題,現(xiàn)展示其命制過程,與同行們分享。
1幾何名題及其分析
英國數(shù)學(xué)家塔克給出“逆平行線”的概念?!澳嫫叫芯€”不同于“平行線”。但又和“平行線”有著密切的關(guān)系,兩條直線平行它們所構(gòu)成的同位角、內(nèi)錯角相等,反之若兩條直線被第三條直線所截,所構(gòu)成的同位角或內(nèi)錯角相等,那么這兩條直線平行,在一個三角形中。若一條直線截三角形的兩邊所構(gòu)成的四邊形恰好有一個外接圓,那么該截線稱作三角形第三條邊上的“逆平行線”。圓的內(nèi)接四邊形的一個外角等于內(nèi)對角,實質(zhì)上借助了角的數(shù)量關(guān)系,在平行線的基礎(chǔ)上命名“逆平行線”。三角形各邊上的逆平行線(或平行線)與三角形各邊相交構(gòu)成六個點。如果以此為背景,直接作為考題,證明這六個點共圓,不是很妥,《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡稱“課標(biāo)”)對判斷四點共圓不作要求。另外整個圖形線條繁瑣。背景復(fù)雜,起點高,不利于不同層次的考查和區(qū)分,然而“逆平行線”內(nèi)涵豐富,揭示了角與角之間的數(shù)量關(guān)系,與初中的三角形、相似三角形、圓內(nèi)接四邊形都有著直接的聯(lián)系?!澳嫫叫芯€”這一名稱也是基于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)而提出。
2試題命制過程
塔克圓中最鮮活的素材就是“逆平行線”。由于“逆平行線”是初中教材中沒有出現(xiàn)的一個名詞。因此可以命制一道新定義試題,這樣的新定義源于歷史,而不是命題者為編制試題隨意編造一個新名詞,以“定義——理解——探究——應(yīng)用”命題思路展開。先定義“逆平行線”,在理解定義的基礎(chǔ)上,考查從定義出發(fā)判斷一條線段是否為“逆平行線”。結(jié)合新定義用尺規(guī)作圖求作“逆平行線”,然后在特殊的三角形中運(yùn)用新定義進(jìn)行自主探究解決問題,命制時,為了突顯試題的整體性和連貫性,以“逆平行線”為主線。貫穿問題的始終。
初稿如圖2(1),點D,E分別是△ABC邊AB和AC上的點,若∠B=∠AED,稱DE為邊BC的逆平行線。
(1)如圖2(1),點D,E分別是△ABC邊AB和AC上的點,若AD=3.AB=8.AE=4.AC=6.求證:DE是△ABC邊BC的逆平行線,
(2)在(1)的條件下,過點E作邊AB的逆平行線交BC于F,請用尺規(guī)作圖求作EF,
(3)如圖2(2),已知等腰△ABC,AB=AC,D是邊AB上的一點。過點D作邊BC的逆平行線交AC于點E,過點E作邊AB的逆平行線交BC于點F,再過點F
分析:定義“逆平行線”不夠嚴(yán)謹(jǐn),缺乏一般性,第(1)問,為了考查對定義中“逆平行線”的理解,給出了太多的數(shù)據(jù),這些數(shù)據(jù)對后繼的問題缺乏關(guān)聯(lián)性;第(2)問在理解“逆平行線”的基礎(chǔ)上,過一點作已知直線的“逆平行線”。重在考查幾何尺規(guī)作圖,然而在幾何新圖形學(xué)習(xí)的過程中,如三角形等,一般地是先確定研究對象(給出定義)再探究它的性質(zhì)(發(fā)現(xiàn),證明),那么“逆平行線”是否有特殊的性質(zhì)呢?第(3)問,結(jié)論已知,探索條件,重在考查等腰三角形、全等三角形等相關(guān)知識,由于探索的結(jié)論指向過于明顯。作為壓軸題,綜合難度不夠,也沒有突出初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查,通過上述分析。“逆平行線”定義的嚴(yán)謹(jǐn)性和一般性有待加強(qiáng),第(1)問人為的拼湊明顯,不夠自然,第(2)問沒有突顯幾何圖形學(xué)習(xí)的一般觀念,即確定研究對象(給出定義)→性質(zhì)(發(fā)現(xiàn),證明)→圖形的判定→研究特例,第(3)問在難度上有待加強(qiáng),
通過上述分析,在一般三角形中不易探索逆平行線的性質(zhì),若三角形變?yōu)榈妊切?,“逆平行線”有哪些性質(zhì)呢?容易發(fā)現(xiàn)“逆平行線”的相關(guān)性質(zhì),如過等腰三角形其中一腰上的點作底邊上“平行線”。這一條“平行線”也是一條“逆平行線”。同時還發(fā)現(xiàn)這條“逆平行線”垂直于外心與三角形頂點的連線。這兩條性質(zhì)在畫“平行線”的過程中自然產(chǎn)生。這樣就可以構(gòu)成試題的兩個問,然后從定性到定量。讓學(xué)生在具體的等腰三角形中繼續(xù)進(jìn)行探索“逆平行線”的性質(zhì)?!澳嫫叫芯€”所圍成的四邊形有無面積最大值,四邊形最大時,G,D兩點有何位置關(guān)系?這樣就形成二稿,
二稿用一條直線截三角形的兩邊,所截得的四邊形若對角互補(bǔ)。則稱該直線為三角形第三條邊的逆平行線,如圖3(1),已知△ABC中,AB=AC,過邊AC上的點D作DE//BC交BC于點E。
(1)求證:DE是邊BC的逆平行線,
(2)如圖3(2),EF為邊AB的逆平行線,點O,I分別是△ABC的外心和內(nèi)心。連接AO和AI,可得AO⊥DE,AI⊥DE,若連接CO,CI,一定與EF垂直的線段是哪一條。并加以說明。
(3)如圖3(3),已知AB=5.BC=6.過點E作邊AB的逆平行線。交BC于點F,過點F作邊AC的逆平行線,交AB于點G設(shè)AD=x,S四邊形AEFG=y,
①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及其自變量取值范圍,并求y的最大值。
②當(dāng)y最大值時,試探索AD+BG與AB的數(shù)量關(guān)系,
分析:雖然“逆平行線”的定義較以前嚴(yán)謹(jǐn),也突顯了一般性,但是僅用文字語言進(jìn)行定義的界定,對數(shù)學(xué)成績基礎(chǔ)不好的同學(xué)在理解定義上會帶來困難。這樣在理解定義上缺乏公平性,第(1)問過腰上的一點作底邊的平行線,難度適中,敘述簡潔,在特殊的三角形中“逆平行線”和“平行線”是相同的,第(2)問引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般,主要考查提出和發(fā)現(xiàn)問題,并同時對自己所提出的問題加以證明,然而通過類比。特意的引導(dǎo)和鋪設(shè),會降低整道試題的難度,第(3)問從定性到定量的刻畫,揉合了等腰三角形、勾股定理、相似三角形、二次函數(shù)等初中數(shù)學(xué)核心知識,然而在語言上敘述略顯繁瑣。能否使整個問題變得簡潔明了呢?帶著這樣的問題再進(jìn)行命制探索,
在定義“逆平行線”后。再通過圖形加以說明。讓不同層次的學(xué)生都能理解“逆平行線”的定義。突顯試題的效度和信度,考慮壓軸題有一定的區(qū)分度,增加第(2)問的難度,刪除了等腰三角形頂角角平分線與“逆平行線”有關(guān)“垂直”這一性質(zhì)的暗示,將這一結(jié)論隱藏起來,讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論,為了使第(3)問敘述變得簡潔,題意清晰,把條件都移到題干上,通過細(xì)細(xì)研磨,圖形美觀,問題呈現(xiàn)簡潔,設(shè)問層次分明,
定稿用一條直線截三角形的兩邊。若所截得的四邊形對角互補(bǔ),則稱該直線為三角形第三條邊的逆平行線,如圖4(1),DE為△ABC的截線,截得四邊形BCED。若∠BDE+∠C=180°,則稱DE為△ABC邊BC的逆平行線。
如圖4(2),已知△ABC中,AB=AC,過邊AB上的點D作DE//BC交AC于點E,過點E作邊AB的逆平行線EF。交邊BC于點F。
3 幾何名題到試題演變的思考
本題以“逆平行線”為主線構(gòu)造探究題。試題以新定義的方式呈現(xiàn),敘述簡潔,內(nèi)涵豐富,巧妙地將等腰三角形、勾股定理、圓心角定理、平行線、相似三角形、二次函數(shù)等初中數(shù)學(xué)的核心知識融合起來。同時設(shè)計的探究內(nèi)容遵循“簡單到復(fù)雜、特殊到一般”的規(guī)律,是一道具有較好的區(qū)分度和效度的新定義型試題。得到了一線教師的廣泛好評,回顧本題的命題過程。從最初的立意到后續(xù)的試題成型,有許多感悟值得筆者在今后的命題中鞭策自己?,F(xiàn)整理分享如下,
3.1 幾何名題的改編要突出數(shù)學(xué)的核心概念和知識
歷史上數(shù)學(xué)名題是許多數(shù)學(xué)家歷經(jīng)多年精心研究的成果,直接搬遷作為試題,特別是關(guān)鍵性的壓軸題有許多不妥。如上述中數(shù)學(xué)名題塔克圓和三角形九點共圓定理等。用到的許多數(shù)學(xué)知識在“課標(biāo)”中不作要求,如四點共圓的判定定理等;也有的作為選學(xué)內(nèi)容。如垂徑定理等,同時歷史上數(shù)學(xué)名題都有一定的難度,直接作為試題,不利于不同層次學(xué)生的考查,因此從數(shù)學(xué)名題走向試題需要醞釀和發(fā)酵的過程。命制者根據(jù)數(shù)學(xué)名題的材料對考查的目標(biāo)重新進(jìn)行構(gòu)造。所考查的內(nèi)容應(yīng)是初中數(shù)學(xué)的主干知識。不得超越“課標(biāo)”。也不得通過新定義的方式把高中的知識下放到初中。避免加重學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān),例如上述試題命制時雖取自于塔克圓。但所考查的內(nèi)容避免了“六點共圓”的繁瑣,在“六點共圓”的材料中取出一條線,即“逆平行線”。然后通過對“逆平行線”在特殊的三角形中展開研究,在研究的過程中既涉及到初中的主干知識,又突顯對數(shù)學(xué)能力的考查,讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查落地生根,
3.2 幾何名題的改編要體現(xiàn)自然流暢的表達(dá)
從幾何名題走向試題要基于學(xué)生的認(rèn)知,新概念要基于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)提出。在名題改編時要深入挖掘數(shù)學(xué)名題所蘊(yùn)含的思維資源。要以與學(xué)生智力發(fā)展水平相適應(yīng)的方式,有層次、有梯度的表達(dá)出來,這樣才能有效地發(fā)揮數(shù)學(xué)名題的育人價值,
例如上述試題中“逆平行線”的提出基于學(xué)生已有的“平行線”概念。在問題的設(shè)置上類比三角形的“平行線”,如圖5(1),過△ABC邊AB上一點D作BC的平行線交AC于點E,過點E作AB平行線EF交BC于點F,再過點F作AC的平行線交AB于點G,這樣得到三條平行線,一般地點G與點D不重合,如圖5(2),特殊情形當(dāng)點D是邊AB的中點時,點G與點D重合,此時這三條平行線組成三角形的中位線。三條中位線所構(gòu)成的三角形的面積是原三角形的面積的四分之一,那么三角形的“逆平行線”也有相類似性質(zhì)嗎?
試題以“逆平行線”為主線。讓學(xué)生展開類似性質(zhì)探究,在最后的一個問題中,AD在何位置時,點D和G點重合。讓學(xué)生進(jìn)行自主探究,整個問題的設(shè)置由易到難,梯度合理,各問之間既要相對獨(dú)立,又要相互關(guān)聯(lián)。學(xué)生的思維始終在探究“逆平行線”的主線上,承接問題很好地兼顧兩頭。每一個問題都和下面的問題相關(guān)。既推動學(xué)生的思維向縱深發(fā)展。問題和問題又相互關(guān)聯(lián),
3.3 幾何名題的改編要突顯探究的意義和價值
數(shù)學(xué)經(jīng)典問題或名題有的是因為好玩或美學(xué)價值等激發(fā)一代又一代人去研究和探索。例如愛因斯坦說:“在12歲時,我經(jīng)歷了另一種性質(zhì)完全不同的驚奇,就是在一個學(xué)年的開始時,當(dāng)我得到一本關(guān)于歐幾里德平面幾何的小書時所經(jīng)歷的。這本書里有許多斷言,比如,三角形的三個高交于一點,它們本身雖然不是顯而易見的,但是可以很可靠地加以證明,以至任何懷疑似乎都不可能,這種明晰性和可靠性給我造成了一種難以想象的印象……”。愛因斯坦被三角形的三條高線交于一點所震撼。激起他對數(shù)學(xué)的探究的熱情,因此從數(shù)學(xué)名題到試題的演變也要讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的文化價值和廣泛的應(yīng)用價值。同時也讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)思維解決問題,感受到數(shù)學(xué)家積極探索和追求真理的精神,在上述命題中。英國數(shù)學(xué)家塔克提出“逆平行線”。命制者借助已有的名稱。構(gòu)建新概念,然后和“平行線”進(jìn)行比較,在一個三角形中有沒有既是“平行線”又是“逆平行線”呢?讓學(xué)生在特殊的三角形中進(jìn)行驗證,其次在等腰三角形中,發(fā)現(xiàn)等腰三角形的頂點和外心的連線垂直于兩腰上的“逆平行線”,那么這一性質(zhì)不在兩腰上的“逆平行線”還成立嗎?更一般地,對于任意三角形的外心和頂點的連線都垂直于“逆平行線”嗎?在等腰三角形中過其中邊上的一點依次作“逆平行線”,存在特殊時刻的位置,三條“逆平行線”可組成一個三角形,那么更一般地這一規(guī)律還成立嗎?“逆平行線”的性質(zhì)讓學(xué)有余力的學(xué)生引申到課外繼續(xù)探索。在對比和關(guān)聯(lián)中感受到問題探究的意義和必要性。
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版)2020年1期