張安軍

在數學歷史的發(fā)展中。有一些耐人尋味的經典名題，如璀璨的明珠，吸引了一代又一代的數學愛好者，同時也得到廣大數學命題者的青睞，試題命制者通過對一些名題的挖掘和改編，選擇了合適的內容作為試題的考查對象，以經典名題為背景的試題。讓數學試卷充滿濃濃的文化味。又能激發(fā)學生探索數學的熱情，提升素養(yǎng)，把握數學的本質，筆者受區(qū)教學發(fā)展中心委托，命制一份區(qū)中考模擬試題，在命制過程中，對歷史上一道經典的幾何名題進行挖掘和開發(fā)。演變成了一道幾何壓軸題，現展示其命制過程，與同行們分享。

1幾何名題及其分析

英國數學家塔克給出“逆平行線”的概念?！澳嫫叫芯€”不同于“平行線”。但又和“平行線”有著密切的關系，兩條直線平行它們所構成的同位角、內錯角相等，反之若兩條直線被第三條直線所截，所構成的同位角或內錯角相等，那么這兩條直線平行，在一個三角形中。若一條直線截三角形的兩邊所構成的四邊形恰好有一個外接圓，那么該截線稱作三角形第三條邊上的“逆平行線”。圓的內接四邊形的一個外角等于內對角，實質上借助了角的數量關系，在平行線的基礎上命名“逆平行線”。三角形各邊上的逆平行線（或平行線）與三角形各邊相交構成六個點。如果以此為背景，直接作為考題，證明這六個點共圓，不是很妥，《數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“課標”）對判斷四點共圓不作要求。另外整個圖形線條繁瑣。背景復雜，起點高，不利于不同層次的考查和區(qū)分，然而“逆平行線”內涵豐富，揭示了角與角之間的數量關系，與初中的三角形、相似三角形、圓內接四邊形都有著直接的聯系?！澳嫫叫芯€”這一名稱也是基于學生的最近發(fā)展區(qū)而提出。

2試題命制過程

塔克圓中最鮮活的素材就是“逆平行線”。由于“逆平行線”是初中教材中沒有出現的一個名詞。因此可以命制一道新定義試題，這樣的新定義源于歷史，而不是命題者為編制試題隨意編造一個新名詞，以“定義——理解——探究——應用”命題思路展開。先定義“逆平行線”，在理解定義的基礎上，考查從定義出發(fā)判斷一條線段是否為“逆平行線”。結合新定義用尺規(guī)作圖求作“逆平行線”，然后在特殊的三角形中運用新定義進行自主探究解決問題，命制時，為了突顯試題的整體性和連貫性，以“逆平行線”為主線。貫穿問題的始終。

初稿如圖2（1），點D，E分別是△ABC邊AB和AC上的點，若∠B=∠AED，稱DE為邊BC的逆平行線。

（1）如圖2（1），點D，E分別是△ABC邊AB和AC上的點，若AD=3.AB=8.AE=4.AC=6.求證：DE是△ABC邊BC的逆平行線，

（2）在（1）的條件下，過點E作邊AB的逆平行線交BC于F，請用尺規(guī)作圖求作EF，

（3）如圖2（2），已知等腰△ABC，AB=AC，D是邊AB上的一點。過點D作邊BC的逆平行線交AC于點E，過點E作邊AB的逆平行線交BC于點F，再過點F

分析：定義“逆平行線”不夠嚴謹，缺乏一般性，第（1）問，為了考查對定義中“逆平行線”的理解，給出了太多的數據，這些數據對后繼的問題缺乏關聯性;第（2）問在理解“逆平行線”的基礎上，過一點作已知直線的“逆平行線”。重在考查幾何尺規(guī)作圖，然而在幾何新圖形學習的過程中，如三角形等，一般地是先確定研究對象（給出定義）再探究它的性質（發(fā)現，證明），那么“逆平行線”是否有特殊的性質呢？第（3）問，結論已知，探索條件，重在考查等腰三角形、全等三角形等相關知識，由于探索的結論指向過于明顯。作為壓軸題，綜合難度不夠，也沒有突出初中數學核心素養(yǎng)的考查，通過上述分析?！澳嫫叫芯€”定義的嚴謹性和一般性有待加強，第（1）問人為的拼湊明顯，不夠自然，第（2）問沒有突顯幾何圖形學習的一般觀念，即確定研究對象（給出定義）→性質（發(fā)現，證明）→圖形的判定→研究特例，第（3）問在難度上有待加強，

通過上述分析，在一般三角形中不易探索逆平行線的性質，若三角形變?yōu)榈妊切?，“逆平行線”有哪些性質呢？容易發(fā)現“逆平行線”的相關性質，如過等腰三角形其中一腰上的點作底邊上“平行線”。這一條“平行線”也是一條“逆平行線”。同時還發(fā)現這條“逆平行線”垂直于外心與三角形頂點的連線。這兩條性質在畫“平行線”的過程中自然產生。這樣就可以構成試題的兩個問，然后從定性到定量。讓學生在具體的等腰三角形中繼續(xù)進行探索“逆平行線”的性質?！澳嫫叫芯€”所圍成的四邊形有無面積最大值，四邊形最大時，G，D兩點有何位置關系？這樣就形成二稿，

二稿用一條直線截三角形的兩邊，所截得的四邊形若對角互補。則稱該直線為三角形第三條邊的逆平行線，如圖3（1），已知△ABC中，AB=AC，過邊AC上的點D作DE//BC交BC于點E。

（1）求證：DE是邊BC的逆平行線，

（2）如圖3（2），EF為邊AB的逆平行線，點O，I分別是△ABC的外心和內心。連接AO和AI，可得AO⊥DE，AI⊥DE，若連接CO，CI，一定與EF垂直的線段是哪一條。并加以說明。

（3）如圖3（3），已知AB=5.BC=6.過點E作邊AB的逆平行線。交BC于點F，過點F作邊AC的逆平行線，交AB于點G設AD=x，S_{四邊形AEFG}=y，

①求y關于x的函數解析式及其自變量取值范圍，并求y的最大值。

②當y最大值時，試探索AD+BG與AB的數量關系，

分析：雖然“逆平行線”的定義較以前嚴謹，也突顯了一般性，但是僅用文字語言進行定義的界定，對數學成績基礎不好的同學在理解定義上會帶來困難。這樣在理解定義上缺乏公平性，第（1）問過腰上的一點作底邊的平行線，難度適中，敘述簡潔，在特殊的三角形中“逆平行線”和“平行線”是相同的，第（2）問引導學生從特殊到一般，主要考查提出和發(fā)現問題，并同時對自己所提出的問題加以證明，然而通過類比。特意的引導和鋪設，會降低整道試題的難度，第（3）問從定性到定量的刻畫，揉合了等腰三角形、勾股定理、相似三角形、二次函數等初中數學核心知識，然而在語言上敘述略顯繁瑣。能否使整個問題變得簡潔明了呢？帶著這樣的問題再進行命制探索，

在定義“逆平行線”后。再通過圖形加以說明。讓不同層次的學生都能理解“逆平行線”的定義。突顯試題的效度和信度，考慮壓軸題有一定的區(qū)分度，增加第（2）問的難度，刪除了等腰三角形頂角角平分線與“逆平行線”有關“垂直”這一性質的暗示，將這一結論隱藏起來，讓學生自己發(fā)現結論，為了使第（3）問敘述變得簡潔，題意清晰，把條件都移到題干上，通過細細研磨，圖形美觀，問題呈現簡潔，設問層次分明，

定稿用一條直線截三角形的兩邊。若所截得的四邊形對角互補，則稱該直線為三角形第三條邊的逆平行線，如圖4（1），DE為△ABC的截線，截得四邊形BCED。若∠BDE+∠C=180°，則稱DE為△ABC邊BC的逆平行線。

如圖4（2），已知△ABC中，AB=AC，過邊AB上的點D作DE//BC交AC于點E，過點E作邊AB的逆平行線EF。交邊BC于點F。

3 幾何名題到試題演變的思考

本題以“逆平行線”為主線構造探究題。試題以新定義的方式呈現，敘述簡潔，內涵豐富，巧妙地將等腰三角形、勾股定理、圓心角定理、平行線、相似三角形、二次函數等初中數學的核心知識融合起來。同時設計的探究內容遵循“簡單到復雜、特殊到一般”的規(guī)律，是一道具有較好的區(qū)分度和效度的新定義型試題。得到了一線教師的廣泛好評，回顧本題的命題過程。從最初的立意到后續(xù)的試題成型，有許多感悟值得筆者在今后的命題中鞭策自己?，F整理分享如下，

3.1 幾何名題的改編要突出數學的核心概念和知識

歷史上數學名題是許多數學家歷經多年精心研究的成果，直接搬遷作為試題，特別是關鍵性的壓軸題有許多不妥。如上述中數學名題塔克圓和三角形九點共圓定理等。用到的許多數學知識在“課標”中不作要求，如四點共圓的判定定理等;也有的作為選學內容。如垂徑定理等，同時歷史上數學名題都有一定的難度，直接作為試題，不利于不同層次學生的考查，因此從數學名題走向試題需要醞釀和發(fā)酵的過程。命制者根據數學名題的材料對考查的目標重新進行構造。所考查的內容應是初中數學的主干知識。不得超越“課標”。也不得通過新定義的方式把高中的知識下放到初中。避免加重學生學業(yè)負擔，例如上述試題命制時雖取自于塔克圓。但所考查的內容避免了“六點共圓”的繁瑣，在“六點共圓”的材料中取出一條線，即“逆平行線”。然后通過對“逆平行線”在特殊的三角形中展開研究，在研究的過程中既涉及到初中的主干知識，又突顯對數學能力的考查，讓數學核心素養(yǎng)的考查落地生根，

3.2 幾何名題的改編要體現自然流暢的表達

從幾何名題走向試題要基于學生的認知，新概念要基于學生的最近發(fā)展區(qū)內提出。在名題改編時要深入挖掘數學名題所蘊含的思維資源。要以與學生智力發(fā)展水平相適應的方式，有層次、有梯度的表達出來，這樣才能有效地發(fā)揮數學名題的育人價值，

例如上述試題中“逆平行線”的提出基于學生已有的“平行線”概念。在問題的設置上類比三角形的“平行線”，如圖5（1），過△ABC邊AB上一點D作BC的平行線交AC于點E，過點E作AB平行線EF交BC于點F，再過點F作AC的平行線交AB于點G，這樣得到三條平行線，一般地點G與點D不重合，如圖5（2），特殊情形當點D是邊AB的中點時，點G與點D重合，此時這三條平行線組成三角形的中位線。三條中位線所構成的三角形的面積是原三角形的面積的四分之一，那么三角形的“逆平行線”也有相類似性質嗎？

試題以“逆平行線”為主線。讓學生展開類似性質探究，在最后的一個問題中，AD在何位置時，點D和G點重合。讓學生進行自主探究，整個問題的設置由易到難，梯度合理，各問之間既要相對獨立，又要相互關聯。學生的思維始終在探究“逆平行線”的主線上，承接問題很好地兼顧兩頭。每一個問題都和下面的問題相關。既推動學生的思維向縱深發(fā)展。問題和問題又相互關聯，

3.3 幾何名題的改編要突顯探究的意義和價值

數學經典問題或名題有的是因為好玩或美學價值等激發(fā)一代又一代人去研究和探索。例如愛因斯坦說：“在12歲時，我經歷了另一種性質完全不同的驚奇，就是在一個學年的開始時，當我得到一本關于歐幾里德平面幾何的小書時所經歷的。這本書里有許多斷言，比如，三角形的三個高交于一點，它們本身雖然不是顯而易見的，但是可以很可靠地加以證明，以至任何懷疑似乎都不可能，這種明晰性和可靠性給我造成了一種難以想象的印象……”。愛因斯坦被三角形的三條高線交于一點所震撼。激起他對數學的探究的熱情，因此從數學名題到試題的演變也要讓學生體會到數學的文化價值和廣泛的應用價值。同時也讓學生學會用數學思維解決問題，感受到數學家積極探索和追求真理的精神，在上述命題中。英國數學家塔克提出“逆平行線”。命制者借助已有的名稱。構建新概念，然后和“平行線”進行比較，在一個三角形中有沒有既是“平行線”又是“逆平行線”呢？讓學生在特殊的三角形中進行驗證，其次在等腰三角形中，發(fā)現等腰三角形的頂點和外心的連線垂直于兩腰上的“逆平行線”，那么這一性質不在兩腰上的“逆平行線”還成立嗎？更一般地，對于任意三角形的外心和頂點的連線都垂直于“逆平行線”嗎？在等腰三角形中過其中邊上的一點依次作“逆平行線”，存在特殊時刻的位置，三條“逆平行線”可組成一個三角形，那么更一般地這一規(guī)律還成立嗎？“逆平行線”的性質讓學有余力的學生引申到課外繼續(xù)探索。在對比和關聯中感受到問題探究的意義和必要性。