丁增寶 劉斌 高圣前 胡平

[摘要]從引入的真正目的為出發(fā)點(diǎn)，思考引入在一節(jié)課所處的位置和扮演的角色，悟出“引入觀”，據(jù)此想法設(shè)計(jì)教學(xué)案例《用字母表示數(shù)》，以數(shù)軸為媒介，讓引入的作用發(fā)揮到極致，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)新知、后續(xù)學(xué)習(xí)將產(chǎn)生積極的促進(jìn)作用，并通過兩次教學(xué)實(shí)踐。再次印證“引入觀”是值得深思的。

[關(guān)鍵詞]引入，數(shù)軸，用字母表示數(shù)，初高中聯(lián)系

1 筆者的“引入觀”

優(yōu)秀文學(xué)作品的開頭是全文的精髓，是引線，表達(dá)著作者的態(tài)度和思想，全文延續(xù)著開頭的態(tài)勢(shì)持續(xù)發(fā)展，如《三國演義》《紅樓夢(mèng)》均是如此，故筆者之思考，教學(xué)中的引入應(yīng)如文學(xué)作品的開頭一般，上引聽者之心，下引內(nèi)容之魂，教師在教學(xué)時(shí)。應(yīng)該讓引入具有“靈魂性”，筆者所指“靈魂性”，蘊(yùn)含三個(gè)觀點(diǎn)：一是引入應(yīng)該體現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的前后聯(lián)系，起到承上啟下的作用：二是引入應(yīng)該為理解新知提供一種新的視角和解決問題的路徑，有效促進(jìn)順向遷移的作用：三是引入與新課相互融合應(yīng)該為后續(xù)學(xué)習(xí)做好充分的準(zhǔn)備，起到鋪墊作用，本文以滬科版第二章第一節(jié)“用字母表示數(shù)”為案例，具體闡述筆者的“引入觀”。

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

本節(jié)“用字母表示數(shù)”是初中生從數(shù)到代數(shù)的第一課，是具體到抽象的飛躍，是知識(shí)螺旋式上升的體現(xiàn)，因?yàn)樵谛W(xué)已經(jīng)初步了解“用字母表示數(shù)”，并會(huì)字母進(jìn)行簡單的列式，因此人教版、滬科版和北京教育出版社的教材在引入環(huán)節(jié)均采用小學(xué)的列式，然后逐步理解用字母表示數(shù)，利用與小學(xué)知識(shí)的相互聯(lián)系，的確是一種很好的引入方式。但是從時(shí)間和空間上看，這種引入顯得有些遙遠(yuǎn)和刻意，能否用“就近”的知識(shí)引入本節(jié)課呢？筆者認(rèn)為“數(shù)軸”就是一個(gè)妥當(dāng)?shù)倪x擇，首先，從宏觀（學(xué)習(xí)內(nèi)容編排）上看，用字母表示數(shù)是在有理數(shù)學(xué)習(xí)之后。因?yàn)檫@遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律：從具體到抽象，從微觀上看，有理數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，事實(shí)上，數(shù)軸上的點(diǎn)不僅可以表示數(shù)，也可以表示一個(gè)代數(shù)式，這是數(shù)與代數(shù)式（非數(shù)）的共性，何不利用這種共性呢？這也是筆者提到的“承上啟下”，其次，從學(xué)生的角度思考，數(shù)軸是學(xué)生今后解決問題的常用工具，甚至到高中仍有著一席之地，后文有說明，因?yàn)閿?shù)軸體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，使得抽象的數(shù)或代數(shù)式用一種直觀的圖象展示，更有助學(xué)生理解難點(diǎn)，鑒于此。筆者設(shè)計(jì)本節(jié)的引入，限于篇幅，本文只展示部分教學(xué)內(nèi)容。

（1）以數(shù)軸之引，引入新知

有理數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，這是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)軸時(shí)已經(jīng)掌握的基本事實(shí)，數(shù)軸的出現(xiàn)，讓空洞的有理數(shù)變得可形象，可操作。可直觀，其實(shí)，在學(xué)習(xí)數(shù)軸時(shí)，學(xué)生已經(jīng)接觸了用字母表示數(shù)，如圖1、圖2、圖3均是用字母表示數(shù)的雛形，這些題目已經(jīng)在滲透用字母表示數(shù)的思想，因此在本節(jié)知識(shí)的引人時(shí)，我們何必苦苦思索呢？利用數(shù)軸的即可完成引入，

教師：前面一章已經(jīng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)，并且知道有理數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，請(qǐng)看圖1、圖2、圖3.你們知道這些字母都代表什么意思嗎？

學(xué)生1：a表示數(shù)6.C表示任意的正數(shù)，b與-b表示互為相反數(shù)，

教師：由此可見，這里的字母都表示什么？

學(xué)生（共同）：都表示數(shù)，

教師：這也就是今天所要學(xué)習(xí)的“用字母表示數(shù)”。

設(shè)計(jì)意圖 新課的引入是一節(jié)課的伊始，從時(shí)間分配上大概是3分鐘，但是新課的引入是為了什么？引入的真正的作用是什么？以筆者之陋見，引人是能啟發(fā)學(xué)生想象力、發(fā)散學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，激發(fā)學(xué)生探索新知的好奇心，這是“為什么要引人”，引入是將學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)的舊知與新知充分聯(lián)系起來，起到承上啟下的作用，更是為新課打開一種視野，為探究新知提供一種方法，助于學(xué)生理解掌握新知，并在今后的解決問題時(shí)起到積極的促進(jìn)作用，這是“引入真正的目的”，這是筆者提倡“引入觀”的第一個(gè)觀點(diǎn)：引入應(yīng)該體現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的前后聯(lián)系，起到承上啟下的作用，

（2）以數(shù)軸之引，探究偶數(shù)

因?yàn)閿?shù)軸和圖l、圖2、圖3的引入，使得數(shù)到字母的“無縫過渡”，從而，學(xué)生對(duì)抽象的概念“字母表示數(shù)”顯得可觸及，可操作，接下來。繼續(xù)利用數(shù)軸探究新知：偶數(shù)，

教師：請(qǐng)同學(xué)們看圖1.我們把數(shù)軸無限拉伸，在非負(fù)半軸上顯現(xiàn)出來的數(shù)分別為0.2.4.6.8.……，這些數(shù)在小學(xué)中我們稱之為什么數(shù)？（教師把這些數(shù)用黑點(diǎn)標(biāo)注出來）。

學(xué)生2：都是偶數(shù)，

教師：因?yàn)樨?fù)數(shù)的學(xué)習(xí)，所以偶數(shù)不局限于正數(shù)，偶數(shù)的定義為：能夠被2整除的數(shù)，故偶數(shù)分別為0.±2.±4.±6.…請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)觀察圖4.你知道問號(hào)處表示多少嗎？請(qǐng)說說你的想法，

學(xué)生3：是2k，因?yàn)槊恳粋€(gè)對(duì)應(yīng)的數(shù)均是第幾個(gè)的2倍。所以為2k，

教師：此時(shí)k是什么數(shù)？

學(xué)生3：k是正整數(shù)，

教師：那2k是偶數(shù)嗎？

學(xué)生4：是的，因?yàn)樗鼭M足偶數(shù)的定義：從數(shù)軸上看，它正好在偶數(shù)點(diǎn)上，

教師：現(xiàn)在我們把上面的提示抹掉，只剩下單純的數(shù)，當(dāng)k是非正整數(shù)時(shí)，2k對(duì)應(yīng)的是哪些數(shù)？你可以在數(shù)軸上表示出來嗎？

學(xué)生5：分別是0.-2.-4.-6等等，

教師：請(qǐng)大家觀察我們剛剛標(biāo)出這些點(diǎn)，它們是什么數(shù)？

學(xué)生6：都是偶數(shù)，

教師：請(qǐng)思考，任何一個(gè)偶數(shù)，可以用什么形式表示出來呢？需要注意什么？

學(xué)生7：2k，其中k為整數(shù)，

教師：請(qǐng)大家繼續(xù)觀察這個(gè)數(shù)軸圖5.能否說出點(diǎn)A、點(diǎn)B分別表示什么？

學(xué)生8：A表示2K-2.O表示2K+2.

教師：若k是任意的整數(shù)，那么2k-2和2k+2都可以表示任何一個(gè)偶數(shù)嗎？請(qǐng)同學(xué)們小組討論，

經(jīng)過小組的討論和辯論，得出一致的結(jié)論：若k是任意的整數(shù)，那么2k-2和2k+2都可以表示任何一個(gè)偶數(shù)。

教師：既然2k，2k-2和2k+2都可以表示任意的偶數(shù)，從形式的簡潔性看，哪個(gè)形式更受歡迎？

學(xué)生（共同）：2k，

設(shè)計(jì)意圖在小學(xué)，學(xué)生對(duì)偶數(shù)的概念僅僅停留在正偶數(shù)，學(xué)習(xí)有理數(shù)之后，偶數(shù)的范圍擴(kuò)大到整數(shù)范圍內(nèi)，那么借助于數(shù)軸認(rèn)識(shí)偶數(shù)更直觀，使得虛無縹緲的的負(fù)偶數(shù)變得可觀察，學(xué)生理解偶數(shù)之后。可以繼續(xù)利用數(shù)軸自主探究奇數(shù)，并且從數(shù)軸上觀察奇數(shù)與偶數(shù)的排列，更能凸顯奇偶數(shù)的規(guī)律和內(nèi)涵，本環(huán)節(jié)，僅僅用一條數(shù)軸，就能引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)偶數(shù)的一般形式，和初步理解字母表示數(shù)，這條數(shù)軸在后面將繼續(xù)發(fā)揮作用。

（3）以數(shù)軸之引，拓展新知

學(xué)生在數(shù)軸的引導(dǎo)下。繼續(xù)探究新知并由此應(yīng)用新知，教師展示下面的例題。

例1：觀察圖6中正方形四個(gè)頂點(diǎn)所標(biāo)的數(shù)字規(guī)律，可知，數(shù)2016應(yīng)標(biāo)在（）。

A，第504個(gè)正方形的左上角

B，第504個(gè)正方形的右上角

C，第505個(gè)正方形的左上角

D，第505個(gè)正方形的右下角

教師：根據(jù)觀察，你有哪些發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生9：每個(gè)正方形右下角的數(shù)分別為0.4.8.12.…都是4的倍數(shù)，2016也能被4整除，

教師：你能否把這些數(shù)標(biāo)在數(shù)軸上？第n個(gè)如何表示？

學(xué)生展示圖7.

教師：通過以上的分析。你能得出本題的選項(xiàng)？

學(xué)生（共同）：選D。

設(shè)計(jì)意圖 若是把數(shù)標(biāo)在數(shù)軸上，本題就轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的數(shù)，從形式上化簡，從難度上降低，如此觀察，讓規(guī)律更加顯現(xiàn)，讓字母表示數(shù)的內(nèi)涵更加深入，表示4的倍數(shù)可以表示諸如4n，4n+4.4n-4（n為整數(shù)）的形式，這既是對(duì)偶數(shù)概念的鞏固，也是對(duì)知識(shí)的應(yīng)用和深化，在此特別說明。例1學(xué)生的生成的知識(shí)很多，與本文相關(guān)的只展示學(xué)生9的回答。

將例題的數(shù)標(biāo)在數(shù)軸上，也就是現(xiàn)在所學(xué)與已經(jīng)學(xué)習(xí)的數(shù)軸建立相互聯(lián)系，拓展了解題的思路，使得問題簡單化，為本題提供一種解決問題的方法，這即是前文提到的第二觀點(diǎn)：引人為理解新知提供一種新的視角和解決問題的路徑，有效促進(jìn)順向遷移的作用，這樣的教學(xué)讓學(xué)生從心里上產(chǎn)生簡單易學(xué)，對(duì)新知產(chǎn)生親近感、無陌生感，在學(xué)習(xí)中，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，字母不僅可以表示數(shù)，亦可表示代數(shù)式，如一6.2k，4n-4等等，中考常?？疾斓奶剿饕?guī)律的題目，讓學(xué)生通過規(guī)律總結(jié)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式，這何嘗不是一種用字母表示數(shù)呢？形如a_n=4n-4（n為正整數(shù)），高中學(xué)生會(huì)明白這是一個(gè)以O(shè)為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，4n-4可以看成是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，只不過，在初中生的眼中，4n-4是4的整數(shù)倍，這既是與字母表示數(shù)的相互聯(lián)系，也是初高中的相互聯(lián)系，從理論上講，等差數(shù)列的每一項(xiàng)都是數(shù)軸上一些等距離排列的點(diǎn)，從這個(gè)角度，數(shù)軸是連接數(shù)與代數(shù)式的紐帶，借助數(shù)軸可以深化理解用字母表示數(shù)，

3 為什么選擇數(shù)軸作為引入

其一，“用字母表示數(shù)”引入的方式有很多，如尋物啟事、由小學(xué)所學(xué)知識(shí)、有理數(shù)的運(yùn)算律等等，這都是常見的引入，這種引入都是從學(xué)生身邊作為出發(fā)點(diǎn)，學(xué)生也非常認(rèn)可這種引入，但是筆者看來，該引入的目的過于“單純”，因?yàn)檫@種引入，在后面的新知探究所用甚少，此種引入僅僅是“因?yàn)樾轮囊枚谩保氲恼嬲淖饔檬秦灤┦冀K，如衛(wèi)德彬在文中《數(shù)學(xué)開放型問題及其教學(xué)實(shí)踐與思考》提供一種想法，引人的例題是開放型的問題，使得探究的問題有路徑可循，在一定程度上，這種想法體現(xiàn)了積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的思想，使得后續(xù)的學(xué)習(xí)更為流暢和順利，本文亦贊同這種思想，讓引入的作用更寬廣，更具有“延續(xù)性”，其二，數(shù)軸是學(xué)生前面已經(jīng)學(xué)習(xí)的舊知，當(dāng)教師把數(shù)和表示數(shù)的字母標(biāo)在數(shù)軸上，使得本節(jié)知識(shí)豐富飽滿、立體可見，從學(xué)生的理解角度上看，學(xué)生更樂于接受這種可見、可觸摸的引入，讓難點(diǎn)轉(zhuǎn)化，其三，大部分的學(xué)生會(huì)接受

4 實(shí)際情況與實(shí)踐反饋

筆者秉承本文中的思想，于2019年9月19日在合肥市第五十中學(xué)東校區(qū)（非筆者學(xué)校）把本節(jié)課完整地呈現(xiàn)給學(xué)生，由于開學(xué)只有短短的20天，事實(shí)上，學(xué)生并沒有完整地學(xué)習(xí)完第一章節(jié)的內(nèi)容，只學(xué)習(xí)了1.1正數(shù)和負(fù)數(shù)、1.2數(shù)軸、相反數(shù)和絕對(duì)值、1.3有理數(shù)的大小、1.4有理數(shù)的加減，學(xué)生在此期間，接觸最多就是數(shù)軸，如借助數(shù)軸學(xué)習(xí)相反數(shù)、絕對(duì)值、及有理數(shù)的加減，所以，數(shù)軸在分析問題方面，起著重要的作用，從前文的闡述中，數(shù)軸除了幫助學(xué)生學(xué)習(xí)新知，在后面的繼續(xù)學(xué)習(xí)中繼續(xù)扮演中重要的角色，對(duì)學(xué)習(xí)起著積極的作用，因此萌發(fā)借助數(shù)軸認(rèn)識(shí)“用字母表示數(shù)”，在學(xué)習(xí)有理數(shù)的大小時(shí)，學(xué)生已經(jīng)接觸過如“-b，a+b”等等在數(shù)軸上表示，這就是代數(shù)思想的萌芽，也是筆者選擇數(shù)軸的初衷，評(píng)課教師用“耳目一新”來形容，評(píng)價(jià)本節(jié)課用一種全新的視角學(xué)習(xí)本節(jié)課，令抽象的、陌生的代數(shù)變得直觀形象，現(xiàn)場的學(xué)生反饋就是更好的證明，筆者曾經(jīng)疑慮：是否合肥市第五十中學(xué)的學(xué)生太“懂事”了，有意配合授課教師作出如此好的教學(xué)效果？于是，2019年9月23日，筆者整理本次課件，結(jié)合學(xué)生的情況。只對(duì)其中的練習(xí)題目作出適當(dāng)?shù)男薷模⒄?qǐng)本校教師一同聽課，結(jié)果教學(xué)效果如19日當(dāng)天一樣，并收到聽課教師的一致好評(píng)，兩次實(shí)踐，更令筆者堅(jiān)信：實(shí)踐出真知，以數(shù)軸之引，滲透“用字母表示數(shù)”是值得一試的教學(xué)嘗試，也間接對(duì)筆者的引入觀又一次肯定。