■天津市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 張維佳

在多年的高考復(fù)習(xí)實(shí)踐中，筆者一直在探索“如何攻克高考復(fù)習(xí)中的難點(diǎn)——平面向量”，并且越發(fā)體會(huì)到其積極的教育教學(xué)意義。因?yàn)樵谏罨胀ǜ咧姓n程改革的背景下，每個(gè)知識(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)都要服務(wù)于學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)的有效落實(shí)，那么建立平面向量的教學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的內(nèi)在聯(lián)系，可以發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科在落實(shí)立德樹人根本任務(wù)和發(fā)展素質(zhì)教育中的獨(dú)特價(jià)值。

一、認(rèn)清難點(diǎn)，分析成因

（一）平面向量的教學(xué)被公認(rèn)為難點(diǎn)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中涉及數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。這些數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)既相對(duì)獨(dú)立，又相互交融，是一個(gè)有機(jī)的整體。筆者發(fā)現(xiàn)運(yùn)用“平面向量”的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法解決問(wèn)題，要求學(xué)生適度整合自身具備的六大核心素養(yǎng)，也正是由于這樣的融合性對(duì)于教學(xué)而言便構(gòu)成了難點(diǎn)。

（二）平面向量的復(fù)習(xí)被公認(rèn)為難點(diǎn)

就解決平面向量問(wèn)題需要的知識(shí)、方法、技能、素養(yǎng)而言，要求學(xué)生知識(shí)、方法綜合性強(qiáng)，思維水平、數(shù)學(xué)素養(yǎng)程度高的特點(diǎn)。因此，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中進(jìn)行平面向量的復(fù)習(xí)，不僅需要考生明確復(fù)習(xí)中溫故的基本意圖（即熟識(shí)平面向量基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法），而且需要達(dá)到復(fù)習(xí)后知新的預(yù)設(shè)目的（即提升考生數(shù)學(xué)能力層次以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平）。

在高考復(fù)習(xí)中，攻克“平面向量”這一難點(diǎn)所實(shí)施的教學(xué)，不僅可以幫助考生在考場(chǎng)上贏得分?jǐn)?shù)和信心，而且可以契合數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能，發(fā)展學(xué)生必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、策略復(fù)習(xí)，精準(zhǔn)克難

（一）回歸教材，筑牢基礎(chǔ)知識(shí)

高考復(fù)習(xí)中回歸教材，理清知識(shí)發(fā)展脈絡(luò)，有助于幫助考生運(yùn)用平面向量解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。歷年的高考真題、各區(qū)的模擬題目表述中用語(yǔ)嚴(yán)謹(jǐn)、考點(diǎn)清晰，而且分析出這類題目的共同特點(diǎn)是：從考查的內(nèi)容到解決問(wèn)題的思路，點(diǎn)點(diǎn)滴滴都是教材知識(shí)方法的再現(xiàn)和重組。

大量的平面向量問(wèn)題是以學(xué)生熟悉的平面圖形為載體，清晰地描述了向量之間的線性關(guān)系，從而提出問(wèn)題。筆者建議，教師可以選擇市區(qū)級(jí)學(xué)業(yè)測(cè)試中的題目作為復(fù)習(xí)例題，避免簡(jiǎn)單重復(fù)地機(jī)械訓(xùn)練，它們?cè)谛问胶蛢?nèi)容上都區(qū)別于課本中已有的例題、習(xí)題。這樣，既可以讓考生在新的背景下進(jìn)行直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、推理運(yùn)算的訓(xùn)練，又可以落實(shí)關(guān)于“用圖形探索解決問(wèn)題的思路，形成數(shù)形結(jié)合的思想”的課程理念。

此外，運(yùn)用平面幾何知識(shí)對(duì)于具有共線關(guān)系的向量直接表示，可以提高解題效率，贏得考場(chǎng)上寶貴的解題時(shí)間。因此，在復(fù)習(xí)課中，不僅需要依托基本內(nèi)容訓(xùn)練考生熟練掌握通法，而且需要積極引導(dǎo)考生深入細(xì)致地分析圖形中幾何元素之間的關(guān)系，發(fā)展他們空間想象能力和抽象概括能力，提升其數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（二）研討真題，熟識(shí)基本方法

研討高考真題（指普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)卷中的試題），把題目訓(xùn)練的意圖和解決問(wèn)題過(guò)程中呈現(xiàn)的思維特征附加上明確的標(biāo)志，可以喚醒考生重新認(rèn)識(shí)和掌握基本方法，促使他們主動(dòng)選擇、運(yùn)用適切的方法解決問(wèn)題。

1.一題多解，提供縱向?qū)Ρ龋瑑?yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

例如：在2016 年天津卷中，平面向量問(wèn)題是以等邊三角形中位線為基礎(chǔ)圖形建立的數(shù)學(xué)模型，學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，由于個(gè)體所熟識(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法存在的差異，就會(huì)萌生不一樣的解題思路，分別選擇定義法、基底法、坐標(biāo)法進(jìn)行求解。這樣，教師在復(fù)習(xí)課中，不僅需要訓(xùn)練考生熟練地將幾何圖形與實(shí)數(shù)的巧妙結(jié)合，即通過(guò)對(duì)數(shù)的關(guān)系與空間形式的抽象，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的有效培養(yǎng)，而且需要幫助考生不斷地甄別這三種方法各自的優(yōu)長(zhǎng)，明確這三種思路的意義，熟練地進(jìn)行各種方法之間的轉(zhuǎn)換與變通。運(yùn)用發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的重要手段，進(jìn)行探索，形成論證思路，進(jìn)行數(shù)學(xué)推理，從而在復(fù)習(xí)課中以知識(shí)為載體，幫助考生形成直觀想象。

2.多題一解，著眼橫向關(guān)聯(lián)，搭建互通解題平臺(tái)。

近年來(lái)，許多平面向量問(wèn)題在呈現(xiàn)方式上都明確了圖形中已知的角、已知的向量數(shù)量積關(guān)系，要求考生會(huì)求得其中的參量。

例如：2013、2014、2017 年天津卷中，像這種共性突出的題目復(fù)現(xiàn)，為教學(xué)提供了多題一解的復(fù)習(xí)素材。在教學(xué)中，教師注重幫助考生能夠把幾何語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成代數(shù)語(yǔ)言，運(yùn)用函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想，可以深化數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，同時(shí)以高考真題為復(fù)習(xí)背景，創(chuàng)設(shè)適宜的情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，可以幫助考生識(shí)破考題真相，抓住重點(diǎn)，了解知識(shí)關(guān)聯(lián)，搭建合理的解題平臺(tái)，實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確、快捷的解題目的。這種在事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表征的過(guò)程也正是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的再提升。

（三）突顯核心，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在高考復(fù)習(xí)中，教師要突出平面向量復(fù)習(xí)的載體功能，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)。通過(guò)系統(tǒng)的復(fù)習(xí)訓(xùn)練和知識(shí)方法應(yīng)用的過(guò)程，逐步形成、發(fā)展和優(yōu)化考生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力，積累從形到數(shù)、再?gòu)臄?shù)到形的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，養(yǎng)成以簡(jiǎn)馭繁思考問(wèn)題的習(xí)慣，訓(xùn)練考生熟練地使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，提高科學(xué)地運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題的素養(yǎng)。

例如：2018 年天津卷試題：如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1。若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則→· →的最小值為（ ）

從題目圖形的呈現(xiàn)方式和問(wèn)題解決的路徑選擇上都顯得格外靈活有趣、綜合復(fù)雜，解決此題需要考生數(shù)學(xué)地抽象出本質(zhì)特征，形成理性的思維，準(zhǔn)確地理解題意，清晰地表達(dá)解決過(guò)程，在有序多級(jí)的解題系統(tǒng)中解決問(wèn)題。

三、素養(yǎng)導(dǎo)向，系統(tǒng)落實(shí)

面對(duì)新課程，數(shù)學(xué)教學(xué)改革在即。高考數(shù)學(xué)的評(píng)價(jià)不僅關(guān)注學(xué)生知識(shí)技能的掌握，而且關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。因?yàn)?，?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成不僅是學(xué)生自主學(xué)習(xí)和教師教學(xué)活動(dòng)的要求，而且是相應(yīng)考試命題的依據(jù)。這樣，教師在高考復(fù)習(xí)中就不該單純地指向提高考生的學(xué)業(yè)成績(jī)，而是應(yīng)該把握高考復(fù)習(xí)的過(guò)程，在幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)上下功夫，從而幫助考生在完成高中數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)后收獲優(yōu)秀的學(xué)業(yè)表現(xiàn)，更加有利于充分挖掘數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值，全面落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體現(xiàn)在“情境與問(wèn)題”“知識(shí)與技能”“思維與表達(dá)”“交流與反思”四個(gè)方面，它們也是教與學(xué)過(guò)程中相互作用相互依賴的四個(gè)要素。筆者以上述的四個(gè)方面為主線，以復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)平面向量為例，進(jìn)行了攻克復(fù)習(xí)難點(diǎn)、落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的粗淺探索。

結(jié)合高中數(shù)學(xué)平面向量的復(fù)習(xí)策略的研究探討，筆者建議教師在組織高考復(fù)習(xí)中要關(guān)注幾個(gè)重點(diǎn)操作：一是精選關(guān)聯(lián)情境。教師要在適當(dāng)?shù)那榫诚?，引?dǎo)學(xué)生識(shí)別、抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題；二是耐心鼓勵(lì)學(xué)生。教師要把問(wèn)題交給學(xué)生的同時(shí)，交給學(xué)生解決問(wèn)題的主動(dòng)權(quán)，不做知識(shí)方法的代言人，要促成學(xué)生積極自主地構(gòu)建相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，選擇和運(yùn)用適切的數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題；三是善于開放課堂。教師要有意識(shí)地把課堂還給學(xué)生，舍得把時(shí)間還給他們思考，把空間留給他們交流，為學(xué)生提供表達(dá)的平臺(tái)，捕捉他們思維的火花，在不斷試錯(cuò)糾錯(cuò)的打磨中使學(xué)生形成規(guī)范化思考問(wèn)題的品質(zhì)，學(xué)會(huì)精準(zhǔn)地運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)，在交流中主旨明確語(yǔ)言規(guī)范。

因此，在數(shù)學(xué)學(xué)科的高考復(fù)習(xí)中，以數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)為復(fù)習(xí)導(dǎo)向，通過(guò)制定科學(xué)合理的高考復(fù)習(xí)質(zhì)量要求，可以促進(jìn)考生在不同復(fù)習(xí)內(nèi)容中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平的達(dá)成；通過(guò)扎實(shí)牢靠的考前系統(tǒng)訓(xùn)練，幫助考生攻克難點(diǎn)，把知識(shí)技能的掌握與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成進(jìn)行有機(jī)結(jié)合。