魏宗康，高榮榮，周 姣，江 麒

基于橢圓概率誤差的落點精度評定方法

魏宗康，高榮榮，周 姣，江 麒

（北京航天控制儀器研究所，北京，100854）

制導導彈和炮彈的命中精度是衡量彈道武器等系統(tǒng)性能的一項重要評價指標，其中圓概率誤差（Circular Error Probable，CEP）是最常用的落點精度評定方法。由于導航系統(tǒng)的偏差和其他隨機因素的影響，實際導彈的落點分布通常沿不同方向不均勻并且方向相關，傳統(tǒng)的CEP無法描述落點誤差的方向性和相關性。根據落點分布的相關性和非等標準誤差特點，提出了一種新的橢圓概率誤差（Elliptic Error Probable，EEP）的落點精度評定方法，并給出了精確表達式。該方法利用橢圓的長軸、短軸和旋轉角度3個參數描述落點精度，分別建立了沿原始坐標軸的兩參數橢圓概率誤差模型和沿標準差解耦坐標軸的三參數橢圓概率誤差模型。通過仿真對比發(fā)現，相比圓概率誤差和兩參數橢圓概率誤差，三參數橢圓概率誤差模型面積最小。因此，橢圓概率誤差能夠更精準地描述導航精度在不同方向的差異及方向相關性，將為預估落點誤差的方向性及目標摧毀概率范圍提供依據。

落點精度分析；橢圓概率誤差；相關性；方向性；非等標準誤差

0 引 言

導彈和炮彈等的命中精度是評價導彈和慣導系統(tǒng)實際作戰(zhàn)能力的主要性能指標和評估武器系統(tǒng)穩(wěn)定性的基礎手段。精確的落點精度估計為導彈性能和慣性導航技術的改進以及實際作戰(zhàn)中的目標摧毀概率估計提供非常重要的指導依據。

兩種情況加權求和的形式，例如《制導火箭彈射擊精度評估方法》中[3]中采用的：

以及多種情況加權求和的形式[4]及其它更精確的分段近似計算方法[5]。例如在文獻[4]中給出的：

另外，在文獻[6]中從統(tǒng)計學角度認為CEP非定值，而是在一個置信度區(qū)間。

在這種情況下，雖然傳統(tǒng)的CEP精度評定方法在一定程度上能夠描述落點分布的密集程度，但CEP對落點精度的評定存在明顯不足。首先，由經驗公式得到的 CEP沒有準確表達式，并且不同表達形式下的結果不一致，造成落點精度評定不準確；其次，采用CEP評定落點精度的核心是將兩維分布折合到一維分布，僅通過一個參數表示精度，這樣將造成落點分布方向差異信息缺失；再次，由于導航系統(tǒng)誤差，實際的導彈落點分布通常存在方向相關性，CEP無法表征落點不同方向的相關性。

針對CEP描述精度存在評估方式模糊、無精確表達式、方位信息缺失以及方向相關性差異不明顯等缺點，本文提出一種相關性的基于橢圓概率誤差描述落點精度的方法，并給出了精確表達式。橢圓概率誤差模型由于具有兩個半軸，因此可以表達出多于圓的分布特性，同時，橢圓繞中心點旋轉后長短半軸的方向信息也可以用來表達落點更加精準的分布特性。

圖1 用CEP表征落點精度的示意

1 標準差不相關且均值為零時的橢圓概率誤差

在公開文獻中，為了避免復雜計算，均假設落點分布沿兩個方向不相關，不考慮方向相關對落點精度的影響。因此，本文首先提出在落點分布標準差不相關時基于橢圓概率誤差（Elliptic Error Probable，EEP）的落點精度評定方法。相比CEP落點精度指標，該方法能準確描述落點分布沿不同方向密集度的差異[7]。

與圓概率誤差的定義相似，橢圓概率誤差定義為落點位置落入以目標點為圓心的面積最小的橢圓內的概率為50%時，該橢圓沿垂直軸的半徑（R，R）稱為橢圓概率誤差。

當兩個方向落點位置誤差的標準差不相關時，假設落點的均值為零，其可用公式表達為

求解概率方程式（1）可以得到：

則，橢圓的兩個半徑為

圖2 標準差不相關時兩參數橢圓概率誤差與圓概率誤差模型對比

由橢圓概率誤差可以看出，沿軸方向導彈有50%的概率落在117.74 m以內，而沿軸方向導彈偏離中心的距離相對更遠，有50%概率落在470.96 m的范圍內，導彈落點在軸方向比軸方向更為準確密集。對比圓概率誤差，橢圓概率誤差可以更準確地描述落點分布的方向性和密集度。

2 標準差相關且均值為零時的兩參數橢圓概率誤差

由于導航系統(tǒng)的偏差和其他隨機因素的影響，實際導彈的落點分布通常存在方向相關性，即軸和軸方向落點分布不獨立，這將導致導彈落點密集的方向不沿軸和軸方向，而是與軸和軸存在一定夾角。將第1節(jié)中標準差不相關時的橢圓概率誤差的計算方法引申到標準差相關時的情況，使用橢圓的長、短軸評定導彈的落點精度。

按照橢圓概率誤差的定義，采用半徑分別與、軸重合的橢圓，列出落點分布的概率方程：

求解可以得到：

則，橢圓的兩個半徑分別為

根據橢圓面積表達式，帶入橢圓半徑式（6）、式（7），可以得到橢圓的面積為

圖3 標準差相關時兩參數橢圓概率誤差模型

該橢圓包含了50%的落點概率，在橫軸和縱軸方向一定程度上體現了導彈落點分布的方向性，但是落點分布的相關性并沒有準確地體現出來，并且此橢圓的面積并非最小。因此，需要尋求一種既能準確表達落點分布方向性和相關性的橢圓，同時又要求此橢圓的面積達到最小，以此來更加精準地表達落點精度。

3 標準差相關且均值為零時的三參數橢圓概率誤差

在標準差相關的兩參數橢圓概率誤差基礎上，提出了三參數概率誤差模型。當落點位置分布標準差相關時，在坐標系中存在一組坐標變換，使該組數據標準差變換到坐標系中時相互獨立[8,9]。將坐標系旋轉一個角，坐標變換表達為

為了使變換后的坐標系下，落點位置分布標準差相互獨立，則取：

式（10）的物理意義也可描述為，平面中一個固定的橢圓在和坐標系中的表達式分別為

經過坐標變換后，在坐標系中獨立方差為

因為在兩個坐標系下表示為同一個橢圓，因此，在坐標系中落點分布的概率方程與坐標系中的概率方程相同。

最后，將橢圓從坐標系中變換到坐標系中，變換公式為

在坐標系中的橢圓方程為

根據橢圓的面積公式，可以得到該橢圓的面積為

以某型號導彈落點仿真為例說明三參數橢圓概率誤差的求解。參數與第2小節(jié)相同，模擬打靶1000次，忽略系統(tǒng)誤差，X軸和Y軸方向標準差分別為sx=100 m、sy=400 m，相關系數=0.5，落點分布如圖4所示。由式（10）可以得到旋轉角度q=82.5343°。經過坐標旋轉后，在坐標系OX￠Y￠中落點X軸和Y軸方向標準差（式（13）、式（14））分別為sx’=403.2628 m和sy’=85.9018 m。在旋轉后的OX￠Y￠坐標系中，橢圓概率誤差=（403.2628m，85.9018m）（式（16））如圖4中實線所示。由OX￠Y￠坐標系中的橢圓可知，旋轉后的橢圓，解決了落點分布相關性的問題，準確的表示了落點誤差精度。

最后，將橢圓還原到原始坐標系中，得到原始坐標系下的落點分布以及橢圓概率誤差模型，如圖5所示。由圖5中可看出，沿橢圓的長軸和短軸，概率為50%的落點位置分別在短軸為85.9018 m、長軸為403.2628 m的橢圓以內；橢圓旋轉方向為82.5343°，即在82.5343°方向上落點分布密集度最低，隨機誤差相對較大。經過旋轉的橢圓概率誤差模型，不僅可以描述落點分布沿兩個軸分布的不均勻性，也可以描述落點分布的相關性。

圖5 三參數橢圓概率誤差模型

4 對比分析

圖6 兩參數和三參數橢圓概率誤差模型面積對比

注：實線3為兩參數橢圓概率誤差計算的面積；虛線4為三參數橢圓概率誤差計算的面積

在進行導彈精度試驗中，導彈向目標點重復打擊時，落點的散布受內部和外界很多隨機因素影響，而這些干擾因素互相之間不獨立。因此，采用三參數橢圓概率誤差EEP落點精度評定方法，首先，可以判定落點在不同方向上的差異性，橢圓的長軸與短軸比越大，說明在長軸方向上的落點密集度越低，隨機誤差也就越大，因此可根據落點在兩個不同方向上的密集度來確定相應方向上的落點隨機誤差的大??；其次，由于實際落點分布的相關性，誤差橢圓的長軸與地理北向或東向的夾角十分重要，此角度關系到落點密集度判定的準確性以及最終橢圓概率誤差的面積范圍；最后，三參數橢圓概率誤差方法所得橢圓面積明顯小于不考慮相關性的橢圓概率誤差下的面積，而在落點精度評定中，一般認為圓或橢圓面積越小，則導彈打擊精度越高，且對摧毀目標的范圍估計精度就會越高、越精確，打擊成功的概率就會越高。因此，在進行型號導彈精度評估中，三參數橢圓概率誤差評定方法相較于CEP和不考慮相關性的橢圓概率誤差方法，能增加對導彈落點精度評估的準確性。

5 結 論

本文針對傳統(tǒng)的圓概率誤差描述兩維落點精度存在評估方式模糊、無精確表達式、方位信息缺失以及方向相關性差異不明顯等問題，提出了一種新的三參數橢圓概率誤差的落點精度評定方法。該方法在平面內以覆蓋了50%落點的橢圓表征落點位置誤差分布，其中，橢圓的長軸、短軸分別描述落點分布沿兩個軸概率的差別，旋轉角度描述了橢圓在平面內所處的方位。該方法能夠更準確地描述導航精度在不同方向的差異及方向相關性，為評價現有制導導彈和炮彈的命中精度提供了良好的參考價值，并為分析誤差產生原因提供依據。

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An Accuracy Evaluation Method of Fall Points Based on Elliptic Error Probable

Wei Zong-kang, Gao Rong-rong, Zhou Jiao, Jiang Qi

(Beijing Institute of Aerospace Control Devices, Beijing, 100854）

The hit accuracy of ballistic missile is a critical accuracy evaluating index for weapon systems and circular Error Probable (CEP) is the most used accuracy evaluation method of fall points. In practice, the missile fall point distribution is usually in-homogeneous and related along different direction. In this reason, CEP cannot describe the directional difference and relativity of fall point error. Based on the related and non-equal standard error of fall point distribute, a new elliptic error probable (EEP) is proposed and its accurate expression is given. According to the new hit accuracy evaluation method, a two-parameter elliptic error probable along initial coordinate system and a three-parameter elliptic error probable along decoupled standard error coordinate system are built. Finally, the simulation shows that the three-parameter elliptic error probable has the smallest area, compared with the CEP and the two-parameter elliptic error probable. Consequently, three-parameter elliptic error probable can describe the directional difference and relativity of fall point error precisely, which will provide a basis for the estimation of fall point direction and the analysis of the error generation reasons.

falling point accuracy analysis; elliptic error probable; relativity; directionality; unequal standard error

U666.1

A

1004-7182(2020)02-0058-06

10.7654/j.issn.1004-7182.20200212

魏宗康（1973-），男，研究員，主要研究方向為導航制導與控制。

高榮榮（1994-），女，碩士研究生，主要研究方向為導航制導與控制。

周 姣（1988-），女，工程師，主要研究方向為導航制導與控制。

江 麒（1993-），男，助理工程師，主要研究方向為導航制導與控制。

2018-06-13；

2018-09-20