張迪，查東東，劉華勇

（安徽建筑大學數理學院，安徽合肥230601）

在計算機輔助幾何設計中（computer aided geometric design，簡稱CAGD），針對自由曲線曲面的研究一直受到研究者的廣泛關注。通常利用基函數與控制頂點的線性組合來構造曲線，如果給定控制頂點，那么相應的曲線就隨之被確定。若要改變曲線曲面的形狀，必須調整其控制頂點，此過程較為煩瑣復雜，在實際工程中并不可取?；诖耍芯空咄ㄟ^在曲線中引入權因子，提出了有理形式的曲線曲面，這類曲線曲面在不改變其控制頂點的情況下可通過改變權因子來修改曲線的形狀。較著名的方法有非均勻有理B 樣條（NURBS）以及有理Bézier方法等[1]。經過幾十年的發(fā)展，NURBS 方法已趨于成熟，逐漸成為曲線曲面造型中較為流行、實用的技術。但由于其描述方法和計算復雜，如權因子選取不便，參數化、曲面連續(xù)性、求導次數增加等問題，使得NURBS 方法在工程曲線曲面中的應用優(yōu)勢難以充分發(fā)揮，影響其實用性[2]。

隨著幾何造型工業(yè)的發(fā)展，曲線造型對曲線的靈活性、形狀可調性、逼近性和描述能力提出了更高的要求。為了更加靈活地調控曲線曲面的形狀，通過引入形狀參數對現(xiàn)有方法進行擴展，可以得到形狀可調的曲線曲面。拓展后的曲線曲面不僅可以繼承原曲線曲面的優(yōu)良性質，利用形狀參數還可以有效改變曲線的形狀或位置，增加曲線的靈活性、形狀可調性、逼近性和描述能力等。此方法較為直觀，且計算復雜度大幅降低，求導較NURBS 方法方便，不會遇到權因子選取等難題。

2003 年，韓旭里等[3]通過提升B 樣條基函數次數的方法，提出了帶有一個形狀參數的三次均勻B樣條曲線。2006 年，吳曉勤[4]利用De Casteljau 遞歸法為Bézier 曲線引入了形狀參數。同年，吳曉勤等[5]針對四次Bézier 曲線擴展了2 種不同的類型。2007年，基于不同的調配函數，徐崗等[6]得到了2 種帶局部形狀參數的分段多項式曲線的定義。2011 年，劉華勇等[7]定義了一種新的帶形狀參數的四次Ball 基函數，將傳統(tǒng)四次Ball 曲線進行了推廣。近年來，因幾何造型發(fā)展的需要，陸續(xù)在多項式空間中構造出一些新型曲線，或者將幾種不同的構造方法進行組合，得到的結果同樣可喜。

本文著重介紹一種新型參數曲線，即DP 曲線。DP 曲線相關理論由DELGADO 等[8-9]提出。實踐證明，這種新型DP 曲線具有很好的端點插值性、穩(wěn)定性、曲線保形性、線性計算復雜度等優(yōu)良性質。但是DP 曲線與傳統(tǒng)的Bézier 曲線類似，在給定控制頂點時缺乏形狀可調性。為克服此缺陷，2011 年，陳杰等[10]將形狀參數引入DP 曲線并討論其相關性質。2012 年，陳福來等[11-12]定義了一組新的含參基函數，構造并分析了一類廣義三次DP 曲線的定義、性質及其形狀特點。2018 年，彭興璇等[13]利用在端點切向量處引入調節(jié)參數的方法，最終得到一組帶有張力參數α 和偏移參數β 的基函數，構造了一類帶形狀參數的三次DP 曲線。然而文獻[3-7,11-13]均是針對特定次數的曲線所做的拓展。文獻[8-9]中，DP曲線的形狀由給定控制點確定，缺乏形狀調節(jié)或修改的功能。陳杰等[10]也僅僅給出了DP-NTP 曲線的定義，并沒有論證DP-NTP 曲線的光滑拼接條件。

針對DP 曲線缺乏形狀可調性這一缺陷，本文構造了一種帶形狀參數的三次DP 基并利用新基構造含參曲線，增加了DP 曲線的靈活性。主要思想：將三次DP 基函數的定義區(qū)間由[0,1]推廣為[0,α]，根據三次DP 基函數的端點性質，重新參數化[14]后提出了一種帶形狀參數的三次DP 曲線。在形狀參數取特定值時，新三次DP 基函數可以退化為DELGADO 等 提 出 的 三 次DP 基[8-9]。形 狀 參 數α 為三次DP 曲線提供了獨立于其控制頂點外的自由度，使新三次DP 基函數在繼承了一般三次DP 基優(yōu)良性質的同時（如端點性質、凸包性、仿射不變性、變差縮減性等），仍具有形狀修改的功能。另外，根據這種方法可以在任意次DP 基函數中引入形狀參數。

1 三次α-DP 基的構造及其性質

1.1 三次α-DP 基的構造及定義

首先由三次DP 基函數(0≤t ≤1)：

得到其端點性質：

將式(1)中變量t 的定義區(qū)間由[0,1]拓展為[0,α](0＜α≤1)，可構造出一種帶有形狀參數α 的三次DP基函數，具體構造過程如下：

為了構造新三次DP 基，設

其中，0≤t≤1，0＜α≤1，且A 為一個待定的4 階方陣。由上式可得

為了使得新三次DP 基函數在端點處的性質與三次DP 基相同，有

將式(2)記為B=CA。計算可得

故

令t=αu(0≤u≤1，0＜α≤1)，對式(3)重新參數化，整理后有

定義1對于0≤u≤1，0＜α≤1，關于變量u 的函數：

稱為帶有形狀參數α 的三次DP 基函數，簡稱為三次α-DP 基。

圖1 給出了形狀參數α 分別取不同值時的基函數圖形。(a)～(d)分別為固定α=0.5，0.6，0.8，1 時的基函數圖形。改變α 值時，4 條基函數的形狀均受影響，可以整體修改曲線的形狀。

圖1 參數取不同值時的三次DP 基函數Fig.1 The cubic α-DP basic curves with different parameters

1.2 三次α-DP 基函數的性質及證明

（ii）非負性：Ci,3(u)≥0(i=0,1,2,3)。

（iii） 對 稱 性 ：Ci,3(u)=C3-i,3(1-u)(i=0,1,2,3)。

（iv）單調性：固定變量u(0≤u≤1)，對α 求導,可得C0,3(u)與C3,3(u)是關于參數α 的遞減函數；C1,3(u)與C2,3(u)是關于參數α 的遞增函數。

（v）端點性質：

（vi）單峰性：Ci,3(u)(i=0,1,2,3)在區(qū)間[0,1]上僅有一個最大值。

（vii）退化性：顯然，將α=1 代入式(1)時，三次α-DP 基退化為文獻[8-9]中的三次DP 基函數。因此，三次α-DP 基是對三次DP 基函數的一種含參擴展。

下面對三次α-DP 基函數的相關性質進行證明。

證明(i)由式(4)可得

即Ci,3(u) ≥0(i=0,1,2,3)。

(iii)由式(4)可得

即Ci,3(u)=C3-i,3(1-u)(i=0,1,2,3)。

(iv)固定變量u(0≤u≤1)，對α 求導：

因此，固定變量u，C0,3(u)與C3,3(u)是關于參數α 的遞減函數；C1,3(u)與C2,3(u)是關于參數α 的遞增函數。

(v)對變量u 求導，其一階和二階導數分別為：

對式(6)進行簡單計算，可得其端點性質式(5)。

2 帶形狀參數的三次α-DP 曲線

2.1 帶形狀參數的三次α-DP 曲線的定義及性質

根據帶形狀參數的三次α-DP 基函數，給出曲線的定義。

定義2對于0≤u≤1，0＜α≤1，給定4 個控制頂點pi∈Rd(i=0,1,2,3,d=2,3)，稱曲線

為帶形狀參數的三次DP 曲線，簡稱三次α-DP 曲線。 其中Ci,3(u)(i=0,1,2,3)為式(4)定義的三次α-DP 基函數。

三次α-DP 曲線具有以下性質：

(i)端點性質。

由基函數的端點性質可知，三次α-DP 曲線同樣具有以下優(yōu)良性質：

(ii)凸包性。

由基函數(4)的規(guī)范性和非負性知，由定義2 生成的曲線完全位于由其控制頂點pi(i=0,1,2,3)所形成的凸包內。

(iii)幾何不變性與仿射不變性。

由于所定義的式(8)是參數化方程，當形狀參數α 固定時，三次α-DP 曲線的形狀、位置與如何選取坐標系無關，僅取決于曲線的控制頂點pi(i=0,1,2,3)。即

其 中,Q 是 任 意 向 量 且Q ∈Rd(d=2,3)，M 是 一 任意k×k(k=2,3)階矩陣。

(iv)對稱性。

當給定形狀參數α 的取值時，由基函數的對稱性可知，由2 個僅順序不同的控制多邊形與三次α-DP 基函數組合后所生成的2 條曲線的形狀是完全相同的，僅方向相反。即

(v)退化性。

由基函數的退化性可得三次α-DP 曲線的退化性。當α=1 時，三次α-DP 曲線退化為三次DP曲線。

(vi)形狀可調性。

形狀參數α 為三次α-DP 曲線提供了一個獨立于控制頂點之外的自由度。三次α-DP 曲線的形狀可以通過改變參數α 的取值來調整，并且此過程中控制頂點仍保持不變。

圖2 為參數分別取不同值時的三次α-DP 曲線，其中點劃線代表α=0.6，實線代表α=0.8，虛線代表α=1。

2.2 形狀參數α 的幾何意義

從數值和圖形兩個角度對形狀參數的幾何意義進行分析。

圖2 參數取不同值時的三次α-DP 曲線Fig.2 The cubic α-DP curves with different parameters

確定形狀參數α 的值與曲線R(u)形狀之間的關系。由三次α-DP 基函數的定義及其性質可知，固定變量u，當參數α 逐漸增大時, C0,3(u) 與C3,3(u)逐漸減小，C1,3(u)與C2,3(u)逐漸增大。即隨參數α 的增大，曲線的彎曲程度隨之增大，三次α-DP 曲線逐漸向其控制多邊形靠近。

將式(8)改寫為矩陣形式：

由控制頂點q0q1q2q3所確定的三次Bézier 曲線B3(u)可表示為

二者控制頂點之間的關系為

由式(12)可知，三次Bézier 曲線B3(u)的各控制頂點的數值大小與三次α-DP 曲線R(u)的控制頂點的數值大小正相關。即形狀參數α 取值越大，二者數值就越接近，三次α-DP 曲線向三次Bézier 曲線不斷接近。因此，根據三次Bézier 曲線的逼近性可推斷：形狀參數α 越大，三次α-DP 曲線越接近其控制多邊形。

圖3 直觀地展示了形狀參數α 對曲線的影響規(guī)律，其中，紅色實線代表三次Bézier 曲線，同時也是退化之后的三次DP 曲線。2 條黑色、綠色曲線則分別代表α=0.6，α=0.8 時的三次α-DP 曲線，圖中星狀點與空心圓狀點分別為Bézier 曲線、三次α-DP 曲線的控制頂點。

圖3 形狀參數α 的幾何意義Fig.3 The geometric meaning of shape parameter

2.3 帶形狀參數的三次α-DP 曲線拼接

在復雜的自由曲線曲面設計中，單一的曲線段已不能滿足幾何造型設計的要求，因此曲線的拼接必不可少。下面討論帶形狀參數的三次α-DP 曲線的拼接條件。

設2 條相鄰的三次α-DP 曲線表達式分別為：

其中i=0,1,2,3,p0p1p2p3和q0q1q2q3分別為曲線R1(u)和R2(u)的控制頂點，形狀參數分別為α1和α2。

定理1當給定0≤u≤1，0＜α≤1 時，若2 條相鄰的三次α-DP 曲線G0和G1連續(xù)，需滿足

證明 由式(9)知，

若2 段三次α-DP 曲線G0和G1連續(xù)，則有

化簡可得式(13)。此時，2 條相鄰的三次α-DP 曲線不僅滿足G0連續(xù)，在連接點處達到G1連續(xù)。且當λ=1，即δ= α1α2時，在 連 接 點 處 兩 切 矢 相 等：R′1(1)=R′2(0)，2 段曲線達到C1連續(xù)。

下面討論相鄰三次α-DP 曲線段之間G2連續(xù)的條件。

定理2若2 條相鄰的三次α-DP 曲線G2連續(xù)，2 條曲線需滿足G1連續(xù)條件，且曲率相等：

其中，λ= δα2α1，δ 為非負常數。γ 滿足γL1=L2。

證明2 條曲線的曲率為

根據曲線的端點性質，計算得

圖4 G1連續(xù)的兩曲線段拼接Fig.4 Construction of the curves with G1 continuous conditions

由G1連續(xù)條件以及式(15)，即可給出相鄰兩段曲線G2連續(xù)的拼接條件。

下面給出不同連續(xù)條件下，三次α-DP 曲線的光滑連續(xù)拼接的數值實例。

給定控制頂點p0(0,0), p1(1,4), p2(4,2),p3(6,0)，q0(6,0),q1(10,-2),q3(8,-20)。由G1的連續(xù)條件計算q2(16,-15)，取λ=δ=0.5,α1=α2=0.8，作圖4(a)。

給定控制頂點 p0(0,0),p1(1,4),p2(4,2),p3(6,0),q0(6,0),q2(11,-6)，q3(8,-4)。由G1的連續(xù)條件計算q1(12.5,-5)，且取λ=δ=0.5，α1=α2=0.8，作圖4(b)。

圖5 G2連續(xù)的兩曲線段拼接Fig.5 Construction of the curves with G2 continuous conditions

給定控制頂點p0(0,0),p1(2,1),p2(3,-1)，p3(1,-3),q0(1,-3)，根據曲線G1和G2的連續(xù)條件計算q1(-2,-6), q2(-3,-13), q3(-3.667,-5.667),取α1=1，α2=0.5,δ=2,γ=1，作圖5(a)。

給定控制頂點p0(0,0),p1(3,-4),p2(5,-4),p3(6,6),q0(6,6),根據曲線G1和G2的連續(xù)條件計算q1(9,44),q2(11,-4),q3(5.22,-10),取α1=1,α2=0.576,δ=2.5,γ=-3.48，作圖5(b)。

圖6 給出G1連續(xù)條件下，取不同參數時的旋轉面。

3 帶形狀參數的三次α-DP 曲面

3.1 帶形狀參數的三次α-DP 曲面的定義及性質

運用張量積方法將三次α-DP 曲線推廣到曲面，給出帶形狀參數的三次α-DP 曲面的定義。

圖6 不同參數下G1連續(xù)的旋轉面Fig.6 Rotating surfaces in G1 continuous case with different parameters

定 義 3給 定 4×4 個 控 制 頂 點 pij(i=0,1,2,3)，對于0≤u，v≤1，0＜α≤1，稱張量積曲面

為帶形狀參數的三次DP 曲面，簡稱三次α-DP 曲面。 其中Ci,3(u),Cj,3(ν)(i=0,1,2,3)為式(4)定義的三次α-DP 基函數。

圖7 為形狀參數取1 時，三次α-DP 開曲面和閉曲面的構造。

圖7 帶形狀參數的三次α-DP 曲面的構造Fig.7 The cubic α-DP surfaces structure with a parameter

三次α-DP 曲面具有下列性質:

（i）凸包性。

三次α-DP 曲面位于控制網格pij(i=0,1,2,3)所形成的凸包內。

（ii）幾何不變性和仿射不變性。

三次α-DP 曲面是參數化曲面，位置和形狀僅僅取決于曲面的控制網格，與其他形狀參數或坐標系無關。若要對曲面作變換，只需對其控制網格pij作變換即可。

（iii）對稱性。

由三次α-DP 基函數的對稱性可知，顛倒控制網格pij所形成的新曲面與原三次α-DP 曲面相同，僅方向相反。即

R*(u,ν)與R(u,ν)表示的是同一曲面，方向相反。

（iv）邊界性質。

（v）形狀可調性。

固定三次α-DP 曲面的控制網格pij，可通過調節(jié)形狀參數αu和αv的值來調節(jié)三次α-DP 曲面的形狀。圖8 給出了αu和αv取不同值時的曲面形狀。

3.2 帶形狀參數的三次α-DP 曲面拼接

對于0≤u，v≤1，0＜α≤1，設2 條相鄰的三次α-DP 曲面表達式為：

其中,pij和qij分別為曲線R1(u,ν)和R2(u,ν)的控制網格，形狀參數分別為αu1，αv1和αu2，αv2。

圖8 參數取不同值時的三次α-DP 曲面Fig.8 The cubic α-DP surfaces with different parameters

定理3當給定0≤u，v≤1，0≤αu，αv≤1 時，2條相鄰的三次α-DP 曲面G0和G1連續(xù)，需滿足

其中,λ= δαν2αν1，δ 為非負常數。

證明由式(17)可得：

由式(18)，有

其 中，λ= δαν2αν1，δ 為非負常數，化簡即可證得。此時2 條相鄰三次α-DP 曲面片既滿足位置連續(xù)，在連接點處又具有同向切矢。

下面討論2 條相鄰的三次α-DP 曲面片G2連續(xù)的條件。

定理4若2 條相鄰的三次α-DP 曲面G2連續(xù)，要求兩曲面片不僅在拼接點處G1連續(xù)，而且曲率相等，即

式中，λ= δαν1αν2。γ 滿足γLν1=Lν2，其中，

4 形狀參數的選擇

采用文獻[15]中的能量函數，對第i 段曲線有

假定a=0,b=1。當k=1 時，能量函數是拉伸能量的近似，Ei,1反映曲線長度；當k=2 時，能量函數是彎曲能量的近似，Ei,2反映曲線的曲率；當k=3 時，能量函數是扭曲能量的近似，Ei,3反映曲線曲率的變化量。

定理5給定第i 段曲線的控制頂點pi,j(i=1,2,…,n,j=0,1,2,3)，使整條取最小值的參數αi需滿足

其中，

證明首先對第i 段曲線優(yōu)化。

已知式(4)，令

將式(4)和(8)改寫為：

對式(22)求k 階導數，可得

記

可將第i 段曲線的能量函數改寫為

對由n 段三次α-DP 曲線拼接而成的整條G1連續(xù)曲線進行優(yōu)化。為了在保證曲線段保持G1連續(xù)的同時，能夠確保形狀參數的最優(yōu)取值，給出目標函數：其中，k(k=1,2,3)為能量函數的階數，αi(0＜αi≤1)為第i(i=1,2,…,n)段的形狀參數。

求解式(23)，即得證。

圖9 給出的是利用3 種形狀參數選取方案構造出滿足不同要求的三次α-DP 曲線的實例。

圖9 3 種形狀參數的選擇Fig.9 Three selections of shape parameter

以2 段滿足G1連續(xù)的三次α-DP 曲線為例，未優(yōu)化的曲線見圖9(f)，此時目標函數可簡化為

當k=1 時，計算可得α1=0.129 1，α2=0.242 0，此時2 段拼接曲線長度最短，見圖9(a)；當k=2 時，計算可得α1=0.371 6，α2=0.696 8，此時2 段拼接曲線彎曲能量最小，見圖9(c)；當k=3 時，計算可得α1=0.489 6，α2=0.918 0，此時2 段拼接曲線曲率變化量最小，見圖9(e)。

圖9(a)和(c)中，帶箭頭的線為曲線的梯度，圖9(b)和(d)是2 段曲線在拼接點處的梯度的局部放大圖。可以看出，2 段曲線優(yōu)化后仍滿足G1連續(xù)。(g)為原G1連續(xù)的第1 段曲線與優(yōu)化后的第1 段曲線的一階導數、曲率半徑對比圖?？梢钥闯?，當k=1 時，2 段曲線的一階導數圖比k=2 時2 段曲線的一階導數平穩(wěn)，說明當k=1 時曲線的變化率最小，曲線長度最短。而當k=2 時2 段曲線的曲率半徑遠小于k=1 時，說明當k=2 時曲線有最小的彎曲能量。

5 結 語

提出了一類帶有形狀參數的三次α-DP 基，形狀參數α 為三次α-DP 曲線提供了獨立于其控制頂點外的自由度，使其不僅繼承了傳統(tǒng)三次DP 基函數的優(yōu)良性質，而且具有形狀可調性。在光滑拼接方面，三次α-DP 曲線也達到了很好的效果：當滿足一定條件時，相鄰兩曲線段間可以達到G2連續(xù)。討論了形狀參數α 具有的幾何意義：當形狀參數增大時（在取值范圍內），三次α-DP 曲線逐漸逼近其控制多邊形。此外，針對曲線的拉伸、彎曲以及扭曲能量，給出了3 種形狀參數的選取方案以及相關數值實例。但本文未繼續(xù)討論任意次DP 曲線、圓或弧的精確表示以及α-DP 曲線與曲面在實際工程中的應用，有待下一步繼續(xù)研究。