崔海軍

（揚(yáng)州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州225127）

0 引言

受壓桿件的穩(wěn)定性計(jì)算是工程結(jié)構(gòu)中常見的分析問題［1］，如橋梁結(jié)構(gòu)中的桁架和高橋墩、鋼結(jié)構(gòu)工程中的斜梁、立柱［2］和支撐體系［3］、巖土工程中的鉆桿［4］以及工程建設(shè)中的腳手架桿件［5］。材料力學(xué)臨界力歐拉公式是在中心受壓直桿理想壓桿模型［6-7］、剪切變形忽略假定下推導(dǎo)的［8］。但由于桿件的初始曲率、豎向作用的初始偏心以及水平作用，必然導(dǎo)致壓桿的剪切變形［8］。

在以往文獻(xiàn)中，壓桿的臨界力按不同的約束條件，從壓桿的撓曲線近似微分方程求解，方法繁瑣，也不能全部推導(dǎo)證明［9］。文獻(xiàn)［10-11］利用彎矩微分方程和力的邊界條件推導(dǎo)了理想壓桿臨界力的歐拉公式，形成統(tǒng)一公式，簡(jiǎn)化了推導(dǎo)過程［10-11］，但壓桿的穩(wěn)定問題的實(shí)質(zhì)是整體變形效應(yīng)問題，用力的邊界條件求解容易出現(xiàn)不確定和解的不一致問題［12］。文獻(xiàn)［9］以一端固定，一端鉸支的細(xì)長(zhǎng)壓桿撓曲線微分方程推導(dǎo)了理想壓桿臨界力的歐拉公式，體現(xiàn)了桿的整體變形效應(yīng)［9］，但壓桿的撓曲位移僅為彎曲位移，沒有考慮剪切變形引起的位移，且壓桿失穩(wěn)模型上端鉸支，與不同約束條件下壓桿實(shí)際屈曲狀態(tài)不完全吻合。與文獻(xiàn)［9-11］不同，本文以細(xì)長(zhǎng)壓桿在彎曲變形和剪切變形下平衡條件建立其撓曲線微分方程，推導(dǎo)不同約束邊界條件下考慮剪切變形影響下壓桿臨界力公式。

1 基本算式

如圖1所示，一發(fā)生剪切變形的細(xì)長(zhǎng)受壓桿，下端固定，上端在平面內(nèi)自由。細(xì)長(zhǎng)桿件受壓力F，同時(shí)在自由端附加一水平作用力FR，代替實(shí)際桿件在桿件上端可能受到的水平支反力，以及附加一外力偶MR，代替實(shí)際桿件在桿件上端可能受到的約束外力偶。壓桿彈性模量為E，橫截面慣性矩為I，剪切模量為G，橫截面積為A，自由端在平面內(nèi)微彎形態(tài)下平衡時(shí)最大水平位移為δ，建立圖示坐標(biāo)系，則細(xì)長(zhǎng)壓桿在垂直于軸線的總位移W（x）可表示為：

式中，wf（x）為彎曲變形引起的位移，ws（x）為剪切變形引起的位移。取距離細(xì)長(zhǎng)壓桿下端x的截面，該截面的轉(zhuǎn)角為 φ（x），則 φ（x）為：

由材料力學(xué)知：

對(duì)于剪力Q（x），在文獻(xiàn)［12］按下式方法一選取：

在文獻(xiàn)［13-14］按下式方法二選?。?/p>

但是，在撓度變形問題中，sin［φ（x）］＝φ（x）偏差較大，一般不再成立。所以，方法二剪力取值既不適用于小撓度變形問題，也不適用于大撓度變形問題，僅適用于文獻(xiàn)［13-14］中所闡述的橡膠材料的臨界力計(jì)算。本文按照方法一進(jìn)行考慮剪切變形狀態(tài)下的壓桿臨界力分析。

對(duì)于方法一：

式中，V為截面形狀系數(shù)，矩形截面取6/5，圓形截面取10/9。對(duì)于V的取值，文獻(xiàn)［16］尚有異議，因此，也有文獻(xiàn)取V為1，即忽略截面形狀系數(shù)。

對(duì)式（1）兩邊進(jìn)行求導(dǎo)，并將式（2）和式（8）代入得：

由式（9）得：

對(duì)式（10）兩邊進(jìn)行求導(dǎo)得：

將式（3）和式（4）代入式（11）得：

解此微分方程，通解為：

則w（x）的一階導(dǎo)數(shù)為

由式（9）及式（15）得：

圖1 壓桿計(jì)算模型

圖2 兩端鉸支壓桿失穩(wěn)模型

2 幾種桿端約束形式下考慮剪切變形的細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力

2.1 兩端鉸支的壓桿

如圖2所示，對(duì)于兩端鉸支的壓桿，δ＝0，MR＝0；由于壓桿上端水平支反力FR與下端水平支反力要平衡，構(gòu)成力偶，但桿件不受外力偶作用，因此FR＝0。位移邊界條件為：x＝0，w＝0；x＝l，w＝0。將邊界條件 x＝0，w＝0代入式（14）得：

B＝0

將邊界條件 x＝l，w＝0代入式（14）得：

A sin kl＝0

因?yàn)锽＝0，A與B不可能同時(shí)為0，即A不等于0，則

sin kl＝0

由此求得 kl＝nπ，n＝0，1，2…

根據(jù)工程實(shí)際問題，取n＝1，將k代入式（13）得壓桿臨界壓力

式中

在式（17）中，當(dāng)剪切剛度＝∞時(shí)

即為不考慮剪切變形時(shí)的歐拉公式。

2.2 一端固定，一端自由的壓桿

如圖3所示，對(duì)于一端固定，一端自由的細(xì)長(zhǎng)壓桿，自由端不能提供水平支反力及約束力偶，因此FR＝0，MR＝0。位移邊界條件為：x＝0，w＝0，φ＝0；x＝l，w＝δ。將邊界條件 x＝0，φ＝0代入式（16）得：

故A＝0

將FR＝0及位移邊界條件x＝0，w＝0代入式（14）得：

B＝-δ

將 x＝l，w＝δ代入式（14）得：

δ（1-cos kl）＝δ

則能使細(xì)長(zhǎng)壓桿撓曲線成立的條件是：

cos kl＝0

從而得到

kl＝nπ/2，n＝1，3，5…

其最小解為n＝1，將k代入式（13）得壓桿臨界壓力

式中

在式（20）中，當(dāng)剪切剛度＝∞時(shí)

即為不考慮剪切變形時(shí)的歐拉公式。

2.3 兩端固定的壓桿

如圖4所示，對(duì)于兩端固定的壓桿，δ＝0；由于兩端固定壓桿邊界約束、所受外力、變形對(duì)壓桿中點(diǎn)上下對(duì)稱，壓桿兩端所受約束外力偶相互平衡，而壓桿上端水平支反力FR與下端水平支反力要平衡，構(gòu)成力偶，但桿件除固定端約束外力偶作用，不受其它外力偶作用，因此FR＝0（也可以根據(jù)對(duì)稱條件，水平支反力對(duì)壓桿中點(diǎn)反對(duì)稱，直接判斷水平支反力 FR＝0）。位移邊界條件為：x＝0，w＝0，φ＝0；x＝l，w＝0，φ＝0。

圖3 一端固定、一端自由壓桿失穩(wěn)模型

圖4 兩端固定壓桿失穩(wěn)模型

將位移邊界條件x＝0，φ＝0代入式（16）得

故A＝0

將位移邊界條件x＝0，w＝0代入式（14）得：

將位移邊界條件 x＝l，w＝0，φ＝0代入式（14）、式（16）得：

由此求得 kl＝2nπ，n＝0，1，2…

根據(jù)工程實(shí)際問題，取n＝1，將k代入式（13）得壓桿臨界壓力

式中

在式（20）中，當(dāng)剪切剛度＝∞時(shí)

即為不考慮剪切變形時(shí)的歐拉公式。

2.4 一端固定、一端鉸支的壓桿

如圖5所示，對(duì)于一端固定、另一端鉸支的壓桿，δ＝0；上端鉸支座端不能提供約束力偶，因此MR＝0；下端固定端有約束外力偶，這就要求壓桿上端鉸支座提供水平支反力FR，以平衡固定端約束外力偶。位移邊界條件為：x＝0，w＝0，φ＝0；x＝l，w＝0。

將位移邊界條件x＝0，w＝0代入式（14）得：

由壓桿受力特征分析知，壓桿下端剪力為-FR，則由式（5）、式（15）可得：

將位移邊界條件x＝l，w＝0代入式（14）得：

A sin kl+B cos kl＝0

將A、B代入上式得

tan kl＝kl

上式為超越方程，利用三角函數(shù)表或采用圖解法求解，求得最小正數(shù)值解

kl＝4.49

將k代入式（13）得壓桿臨界壓力

式中

在式（26）中，當(dāng)剪切剛度＝∞時(shí)

即為不考慮剪切變形時(shí)的歐拉公式。

圖5 一端固定、一端鉸支壓桿失穩(wěn)模型

圖6 一端固定、一端定向支撐壓桿失穩(wěn)模型

2.5 一端固定、一端定向支撐的壓桿

如圖6所示，一端固定、一端定向支撐的壓桿，即為兩端固定但可沿桿件橫向相對(duì)移動(dòng)，因此FR＝0。根據(jù)桿件受力及變形的對(duì)稱性，對(duì)稱截面w（x/2）＝δ/2，M（x/2）＝0，則由式（4）得：

對(duì)于一端固定、一端定向支撐的壓桿，位移邊界條件為 x＝0，w＝0，φ＝0；x＝l，w＝δ，φ＝0。

將位移邊界條件 x＝0，w＝0及式（29）代入式（14）得

將位移邊界條件x＝0，φ＝0及式（28）代入式（16）得 A＝0

將位移邊界條件x＝l，w＝δ代入式（14）得

coskl＝-1

從而得到

其最小解為n＝0，將k代入式（13）得壓桿臨界壓力

式中

在式（30）中，當(dāng)剪切剛度＝∞時(shí)

即為不考慮剪切變形時(shí)的歐拉公式。

3 考慮剪切變形狀態(tài)下壓桿臨界力統(tǒng)一公式

由2.1～2.5五種不同約束條件下考慮桿件剪切變形狀態(tài)下壓桿臨界力分析，其壓桿臨界力公式可以統(tǒng)一寫成

Fcr表達(dá)式與材料力學(xué)歐拉公式一致，為長(zhǎng)度因素，兩端鉸支，μ＝1，一端固定、另一端自由μ＝2，兩端固定μ＝0.5，一端固定、另一端鉸支μ＝0.7，一端固定、另一端定向支撐μ＝1

4 結(jié)論

（1）提出了一端固定、另一端平面內(nèi)自由的細(xì)長(zhǎng)壓桿考慮剪切變形下壓桿失穩(wěn)計(jì)算模型。

（2）對(duì)計(jì)算模型在剪切變形和彎曲變形平衡條件下推導(dǎo)細(xì)長(zhǎng)壓桿統(tǒng)一的撓曲線方程w（x）和轉(zhuǎn)角方程φ（x），w（x）由彎曲位移和剪切位移兩部分組成，φ（x）為彎曲位移方程的一階導(dǎo)數(shù)。

（3）針對(duì)五種約束條件下的壓桿，利用統(tǒng)一的撓曲線方程w（x）和轉(zhuǎn)角方程φ（x）推導(dǎo)了考慮剪切變形狀態(tài)下壓桿穩(wěn)定的臨界力公式及統(tǒng)一公式。