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        含參DC復(fù)合優(yōu)化問(wèn)題值函數(shù)的Fréchet次微分*

        2020-04-19 08:39:10肖程鳳胡玲莉
        關(guān)鍵詞:設(shè)點(diǎn)微分約束

        肖程鳳,胡玲莉

        (吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖南 吉首 416000)

        1 問(wèn)題的提出

        約束優(yōu)化問(wèn)題在最優(yōu)化理論中占重要地位.許多學(xué)者研究了目標(biāo)函數(shù)是凸或DC函數(shù)、約束條件是任意多個(gè)(可能無(wú)限)凸或DC不等式的約束優(yōu)化問(wèn)題,得到了相應(yīng)的Farkas引理、Lagrange對(duì)偶及最優(yōu)性條件等結(jié)論[1-6].

        (1)

        其中幾何約束為

        F(x)∶={y∈Y:(x,y)∈C},

        (2)

        不等式約束為

        G(x)∶={y∈Y:ft(x,y)≤0,t∈T}.

        (3)

        當(dāng)φ為單位算子時(shí),Dinh等[6]在f,g,ft(t∈T)是下半連續(xù)函數(shù)、C是閉集的情況下,通過(guò)閉性條件建立了含參DC優(yōu)化問(wèn)題值函數(shù)的Fréchet次微分的上估計(jì);方東輝等[7]在函數(shù)不一定下半連續(xù)、集合不一定是閉集的情況下,利用弱于文獻(xiàn)[6]中閉性條件的約束規(guī)范條件建立了值函數(shù)Fréchet次微分的上估計(jì).受這些研究的啟發(fā),筆者擬引入新的約束規(guī)范條件,建立(1)~(3)式中定義的值函數(shù)的Fréchet次微分的估計(jì)式.

        2 記號(hào)與定義

        Z⊕∶={x*∈X*:〈x*,x〉≥0,?x∈Z},

        凸子集D在點(diǎn)z0∈D的法錐定義為

        N(z0;D)∶={x*∈X*:〈x*,z-z0〉≤0,?z∈D}.

        對(duì)于X上的子集族{St:t∈T},約定∩t∈?St=X.

        設(shè)f是X上的廣義實(shí)值函數(shù),定義f的有效定義域、上圖和共軛函數(shù)分別為

        domf∶={x∈X:f(x)<+∞},

        epif∶={(x,r)∈X×R:f(x)≤r},

        f*(x*)∶=sup{x*,x-f(x):x∈X} ?x*∈X*.

        顯然,epif*是弱*閉集.當(dāng)f是凸函數(shù)時(shí),f在點(diǎn)x∈domf的次微分定義為

        ?f(x)∶={x*∈X*:f(x)+〈x*,y-x〉≤f(y),?y∈X}.

        當(dāng)?f(x)≠?時(shí),稱f在點(diǎn)x次可微.特別地,由法錐定義可知N(x;Z)=?δZ(x),?x∈Z.一般地,f∶=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)相應(yīng)的偏次微分分別表示為?xf(x,y)和?yf(x,y).設(shè)Ω?X×Y,點(diǎn)(x,y)∈Ω,則法錐N(x;Z)相應(yīng)的投影分別為

        NX((x,y);Ω)∶={x*∈X*:?y*∈Y*s.t.(x*,y*)∈N((x,y);Ω)},

        NY((x,y);Ω)∶={y*∈Y*:?x*∈X*s.t.(x*,y*)∈N((x,y);Ω)}.

        domG∶={x∈X:G(x)≠?},

        gphG∶={(x,y)∈X×Y:y∈G(x)}.

        φ(tx1+(1-t)x2)≤Ktφ(x1)+(1-t)φ(x2),

        則稱函數(shù)φ是K-凸函數(shù).設(shè)φ:X→R∪{±∞}是實(shí)值延拓函數(shù),x0∈domφ且滿足|φ(x0)|<+∞.根據(jù)文獻(xiàn)[8],定義φ在點(diǎn)x0的ε次微分為

        (4)

        3 值函數(shù)Fréchet次微分估計(jì)

        設(shè)

        M(x)∶={y∈F(x)∩G(x):μ(x)=(f°φ)(x,y)-g(x,y)}.

        若無(wú)特殊說(shuō)明,均假設(shè)dom(f°φ-g)∩A≠?,domM≠?.用T(x0,y0)表示點(diǎn)(x0,y0)∈X×Y的活動(dòng)指標(biāo)集,即T(x0,y0)∶={t∈T:ft(x0,y0)=0}.定義(x0,y0)∈gphM和y*∈Y*的KKT乘子集為

        (5)

        為了研究含參DC復(fù)合優(yōu)化問(wèn)題的值函數(shù)的Fréchet次微分的上估計(jì)式,引入以下約束規(guī)范條件:

        定義1(ⅰ)設(shè)點(diǎn)(x0,y0)∈dom(f°φ-g)∩A,若

        (6)

        則稱系統(tǒng){f,φ,g,δC;ft:t∈T}在點(diǎn)(x0,y0)滿足F-(BCQ)條件.

        (ⅱ)設(shè)點(diǎn)(x0,y0)∈A,若

        則稱系統(tǒng){δC;ft:t∈T}在點(diǎn)(x0,y0)滿足(BCQ)條件[9].

        (ⅲ)設(shè)點(diǎn)(x0,y0)∈A∩φ-1(domf),若

        (7)

        則稱系統(tǒng){f,φ,δC;ft:t∈T}在點(diǎn)(x0,y0)滿足(CBCQ)條件[10].

        引理1[10]假設(shè)存在點(diǎn)(x0,y0)∈φ-1(domf)∩intA,使得f在φ(x0,y0)處連續(xù),或存在點(diǎn)(x0,y0)∈φ-1(domf)∩A,使得f在φ(x0,y0)處連續(xù)且φ在(x0,y0)處連續(xù).若系統(tǒng){δC;ft:t∈T}在點(diǎn)(x0,y0)滿足(BCQ)條件,則系統(tǒng){f,φ,δC;ft:t∈T}在該點(diǎn)滿足(CBCQ)條件.

        命題1設(shè)(x0,y0)∈A,若系統(tǒng){f,φ,δC;ft:t∈T}在點(diǎn)(x0,y0)滿足(CBCQ)條件,則系統(tǒng){f,φ,g,δC;ft:t∈T}在該點(diǎn)滿足F-(BCQ)條件.

        又(7)式成立,故

        于是(6)式成立,結(jié)論得證.

        由引理1和命題1可得以下推論:

        推論1假設(shè)存在點(diǎn)(x0,y0)∈φ-1(domf)∩intA,使得f在φ(x0,y0)處連續(xù),或存在點(diǎn)(x0,y0)∈φ-1(domf)∩A,使得f在φ(x0,y0)處連續(xù)且φ在(x0,y0)處連續(xù).若系統(tǒng){δC;ft:t∈T}在點(diǎn)(x0,y0)滿足(BCQ)條件,則系統(tǒng){f,φ,g,δC;ft:t∈T}在該點(diǎn)滿足F-(BCQ)條件.

        定理1若系統(tǒng){f,φ,g,δC;ft:t∈T}在點(diǎn)(x0,y0)∈gphM滿足F-(BCQ)條件,則對(duì)于?γ>0,有

        (8)

        μ(x)-μ(x0)-〈u*,x-x0〉+γ‖x-x0‖≥0 ?x∈x0+ηB.

        (9)

        注意到點(diǎn)(x0,y0)∈gphM,則有μ(x0)=f(φ(x0,y0))-g(x0,y0).對(duì)于任意點(diǎn)(x,y)∈A,有μ(x)≤f(φ(x,y))-g(x,y).結(jié)合(9)式可知,對(duì)于任意點(diǎn)(x,y)∈A∩((x0+ηB)×Y),有

        f(φ(x,y))-g(x,y)-f(φ(x0,y0))+g(x0,y0)-〈u*,x-x0〉+γ‖x-x0‖≥0.

        (10)

        h(x,y)∶=f(φ(x,y))-g(x,y)-〈u*,x-x0〉+γ‖x-x0‖,

        則由(10)式可知

        h(x0,y0)≤h(x,y),?(x,y)∈A∩((x0+ηB)×Y).

        由(4)式可得

        (11)

        注意到點(diǎn)(x0,y0)是集合(x0+ηB)×Y的內(nèi)點(diǎn),故該集合的示性函數(shù)在點(diǎn)(x0,y0)連續(xù),從而

        (12)

        根據(jù)函數(shù)h的定義和文獻(xiàn)[1]中的命題2.2,可得

        (13)

        結(jié)合(11)~(13)式和系統(tǒng){f,φ,g,δC;ft:t∈T}在點(diǎn)(x0,y0)滿足F-(BCQ)條件,可得

        (u*+x*,y*)+N((x0,y0);C)+

        注意到對(duì)于?t∈T,有

        ?ft(x0,y0)??xft(x0,y0)×?yft(x0,y0),

        N((x0,y0);C)?NX((x0,y0);C)×NY((x0,y0);C),

        結(jié)合(5)式可知

        故(8)式成立.證畢.

        由定理1可得如下推論:

        推論2設(shè)x0∈domM,y0是含參DC復(fù)合優(yōu)化問(wèn)題

        min(f°φ)(x0,y)-g(x0,y)

        s.t.y∈F(x0)∩G(x0)

        (14)

        (15)

        由定理1、命題1、推論2和引理1,可得以下結(jié)論:

        推論3若系統(tǒng){f,φ,δC;ft:t∈T}在點(diǎn)(x0,y0)∈gphM滿足(CBCQ)條件,則對(duì)于?γ>0,(8)式成立.

        推論5設(shè)(x0,y0)∈gphM∩φ-1(domf)∩intA.若函數(shù)f在φ(x0,y0)處連續(xù),系統(tǒng){δC;ft:t∈T}在點(diǎn)(x0,y0)滿足(BCQ)條件,且

        則對(duì)于?γ>0,(8)式成立.

        注1令φ為單位算子,則(1)式可以轉(zhuǎn)化為文獻(xiàn)[7]中的值函數(shù),即

        此時(shí),本研究中的F-(BCQ)條件轉(zhuǎn)化為文獻(xiàn)[7]中的F-(BCQ)條件,即

        由此可知,定理1推廣了文獻(xiàn)[7]中的結(jié)論.

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