周 穎，宋 璐，史敬灼

(河南科技大學(xué) 電氣工程學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471023)

0 引 言

用于超聲波電機(jī)運(yùn)動(dòng)控制的迭代學(xué)習(xí)控制策略，表現(xiàn)出較好的控制性能。由于傳統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)控制策略的復(fù)雜性相對(duì)較低，在超聲波電機(jī)產(chǎn)業(yè)化進(jìn)程中有著良好的應(yīng)用前景。超聲波電機(jī)具有明顯的非線(xiàn)性運(yùn)行特征[1]，為改進(jìn)控制性能，有必要考慮非線(xiàn)性迭代學(xué)習(xí)控制策略。

文獻(xiàn)[2]利用數(shù)值分析中的牛頓法，給出一種算法簡(jiǎn)單的非線(xiàn)性迭代學(xué)習(xí)控制策略——牛頓學(xué)習(xí)律，并通過(guò)理論分析表明牛頓學(xué)習(xí)律具有比線(xiàn)性學(xué)習(xí)律更快的學(xué)習(xí)收斂速度。牛頓學(xué)習(xí)律源自牛頓法。在數(shù)值分析中，牛頓法用來(lái)求非線(xiàn)性方程的根，而用在控制系統(tǒng)中，則是求取使誤差為零的控制量值。即，牛頓學(xué)習(xí)律是用牛頓法來(lái)求解控制量-誤差關(guān)系方程這一特定的非線(xiàn)性方程。既然是同源的，牛頓學(xué)習(xí)律自然具有與牛頓法相同的基本特征，例如收斂性。牛頓法能夠收斂的必要條件是被求解方程的二階導(dǎo)數(shù)大于零，牛頓學(xué)習(xí)律也是如此。然而在以驅(qū)動(dòng)頻率為控制量的情況下，超聲波電機(jī)控制量-誤差關(guān)系表達(dá)式的二階導(dǎo)數(shù)小于零。于是，采用牛頓學(xué)習(xí)律進(jìn)行超聲波電機(jī)迭代學(xué)習(xí)控制時(shí)，需要采用牛頓下山法等措施以避免學(xué)習(xí)發(fā)散。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，為解決牛頓法這一固有缺陷，研究者進(jìn)行了多種嘗試。文獻(xiàn)[3]利用李雅普諾夫方法，構(gòu)建同解方程來(lái)改變非線(xiàn)性方程二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，構(gòu)造了一種改進(jìn)牛頓法。本文基于該方法，結(jié)合同解方程和割線(xiàn)法構(gòu)造了閉環(huán)改進(jìn)牛頓迭代學(xué)習(xí)控制算法，用于超聲波電機(jī)轉(zhuǎn)速控制。

文獻(xiàn)[4]引入一階低通濾波環(huán)節(jié)去除控制過(guò)程中的信號(hào)干擾。文獻(xiàn)[5]采用一階低通濾波器消除噪聲擾動(dòng)，提高系統(tǒng)暫態(tài)過(guò)程的魯棒性。

本文針對(duì)牛頓學(xué)習(xí)律不能保證迭代學(xué)習(xí)收斂的問(wèn)題，給出一種改進(jìn)的牛頓學(xué)習(xí)律，并引入低通濾波器抑制轉(zhuǎn)速波動(dòng)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所述控制算法能夠漸近改善轉(zhuǎn)速控制性能，控制過(guò)程平穩(wěn)。

1 改進(jìn)牛頓迭代學(xué)習(xí)控制算法

考慮下列非線(xiàn)性方程的求解問(wèn)題

f(x)=0

(1)

構(gòu)造式(1)的同解表達(dá)式

g(x)=eaxf(x),a≠0

(2)

式中，a為常數(shù)。

則f(x)的單重根x*也是g(x)的單重根。為引入動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，令

(3)

由此可知，v(x)≥0。

假設(shè)af(x)+f′(x)≠0成立，引入一動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)[3]

(4)

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，函數(shù)v(x)滿(mǎn)足

(1)v(x*)=0且v(x)>0；

-eax[f(x)]=-v(x)<0

由此證明，x*是式(4)所示系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。

采用歐拉法解初值問(wèn)題式(4)，得到求根迭代公式

(5)

式中，hk為步長(zhǎng)。其值的選取應(yīng)保證迭代過(guò)程具有單調(diào)性，即滿(mǎn)足|f(xk+1)|<|f(xk)|；a為常數(shù)。

式(5)即為改進(jìn)牛頓法的迭代求解公式，該式對(duì)應(yīng)于待求解非線(xiàn)性方程式(1)的同解方程式(2)。從式(1)變?yōu)槭?2)，增加一個(gè)乘積項(xiàng)eax，可以改變待求解非線(xiàn)性方程二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，從而使得該方程的迭代求解過(guò)程能夠收斂。

例如，對(duì)于超聲波電機(jī)轉(zhuǎn)速控制而言，以電機(jī)的驅(qū)動(dòng)頻率為控制量，控制量與轉(zhuǎn)速誤差之間關(guān)系表達(dá)式f(x)的二階導(dǎo)數(shù)小于零，如圖1(a)所示。將其變換為式(2)形式，即對(duì)圖1(a)所示函數(shù)關(guān)系乘以eax。a取不同值時(shí)，可得式(2)所示同解函數(shù)g(x)曲線(xiàn)如圖1(b)所示。如圖中所示，當(dāng)a=0.5時(shí)，對(duì)應(yīng)曲線(xiàn)近似為一條直線(xiàn)，二階導(dǎo)數(shù)接近0；a>0.5時(shí)，曲線(xiàn)二階導(dǎo)數(shù)大于0。因此，若將式(5)所示改進(jìn)牛頓法用于超聲波電機(jī)的迭代學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)速控制，只要常數(shù)a滿(mǎn)足a>0.5，就能夠保證迭代學(xué)習(xí)收斂，不必再附加牛頓下山法等措施以避免學(xué)習(xí)發(fā)散。

圖1 二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)的變化

為將式(5)用于超聲波電機(jī)的迭代學(xué)習(xí)控制，采用差商代替式(5)中的導(dǎo)數(shù)，得到改進(jìn)牛頓學(xué)習(xí)律

(6)

式中，uk+1(i)、uk(i)分別為系統(tǒng)第k+1和第k次運(yùn)行過(guò)程中i時(shí)刻的控制量；uk(i-1)為系統(tǒng)第k次運(yùn)行過(guò)程中i-1時(shí)刻的控制量；nk(i)和nk(i+1)分別為系統(tǒng)第k次運(yùn)行過(guò)程中i、i+1時(shí)刻的電機(jī)轉(zhuǎn)速；ek(i+1)為系統(tǒng)第k次運(yùn)行過(guò)程中i+1時(shí)刻的轉(zhuǎn)速誤差。

式(6)所得控制量與當(dāng)前控制信息無(wú)關(guān)，是開(kāi)環(huán)的迭代學(xué)習(xí)控制策略，難以有效、及時(shí)應(yīng)對(duì)各種擾動(dòng)帶來(lái)的影響。為此，將式(6)中的ek(i+1)替換為ek+1(i)，構(gòu)造閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)律

(7)

迭代學(xué)習(xí)控制過(guò)程中，控制量增量的大小取決于式(7)等號(hào)右側(cè)第二項(xiàng)的分式值。若分母中的分式值相對(duì)較小，會(huì)使控制量增量趨于步長(zhǎng)hk與參數(shù)a的比值，成為一常數(shù)，失去了根據(jù)分母中分式所表達(dá)的被控對(duì)象控制特性來(lái)修正控制量的優(yōu)點(diǎn)。由此，有必要增加分母中分式值的比重，故將式(7)修改為

(8)

式中，d為加權(quán)系數(shù)，常數(shù)。

通過(guò)DSP編程實(shí)現(xiàn)式(8)所示迭代學(xué)習(xí)控制器，進(jìn)行迭代學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)速控制實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)用電機(jī)為Shinsei USR60型兩相行波超聲波電機(jī)，驅(qū)動(dòng)主電路采用H橋結(jié)構(gòu)。與電機(jī)同軸剛性連接的光電編碼器，在線(xiàn)測(cè)量電機(jī)轉(zhuǎn)速，控制器輸出量為電機(jī)的驅(qū)動(dòng)頻率。

圖2 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線(xiàn)(hk=-30，空載)

以比例系數(shù)、積分系數(shù)分別為-1、-2的PI控制器進(jìn)行第1次實(shí)驗(yàn)，控制參數(shù)設(shè)為hk=-30、a=0.6、d=-200，轉(zhuǎn)速階躍給定值30r/min，進(jìn)行5次迭代學(xué)習(xí)控制實(shí)驗(yàn)，得圖2所示實(shí)驗(yàn)結(jié)果。從圖中可以看到，轉(zhuǎn)速曲線(xiàn)上升過(guò)程存在較為明顯的波動(dòng)。

相同控制參數(shù)條件下，進(jìn)行第2次、第4次交替加載0.2 Nm的閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如圖3所示。從圖中可以看到，與空載情況相似，上升過(guò)程仍不平穩(wěn)。

圖3 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線(xiàn)(hk =-30，第2、4次加載0.2 Nm)

2 濾波型迭代學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)速控制

前述轉(zhuǎn)速控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)牛頓學(xué)習(xí)律能夠在迭代學(xué)習(xí)過(guò)程中，逐次改進(jìn)電機(jī)轉(zhuǎn)速控制性能，控制性能較好。但轉(zhuǎn)速響應(yīng)過(guò)程曲線(xiàn)有較為明顯的波動(dòng)，穩(wěn)健性不足。為解決這一問(wèn)題，嘗試引入低通濾波器對(duì)改進(jìn)牛頓學(xué)習(xí)律進(jìn)行修正。

在閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制律式(8)中引入一階低通濾波器Q，得

(9)

將一階低通濾波器Q寫(xiě)為離散的數(shù)字形式

y(i)=(1-c)y(i-1)+cx(i)

(10)

式中，y(i)為i時(shí)刻的濾波輸出信號(hào)，y(i-1) 為i-1時(shí)刻的濾波輸出信號(hào)，x(i)為i時(shí)刻的被濾波信號(hào)，c為濾波器參數(shù)。

采用式(9)所示控制律進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)，取控制參數(shù)hk=-50，a=0.6，d=-200，c=0.2，轉(zhuǎn)速階躍給定值仍為30 r/min，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。與未引入濾波器時(shí)的轉(zhuǎn)速響應(yīng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖2對(duì)比，轉(zhuǎn)速控制過(guò)程更加平穩(wěn)，調(diào)節(jié)時(shí)間更小。

圖4 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線(xiàn)(c=0.2, hk=-50，空載)

改變轉(zhuǎn)速階躍給定值為90 r/min，令hk=-80，其它空載參數(shù)保持不變，重復(fù)相同的實(shí)驗(yàn)過(guò)程，得到轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。在相同控制參數(shù)情況下，進(jìn)行第2次、第4次交替加載0.2 Nm的迭代學(xué)習(xí)控制實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6所示。轉(zhuǎn)速響應(yīng)沒(méi)有超調(diào)，曲線(xiàn)更平滑。與空載情況下的結(jié)果圖5對(duì)比，負(fù)載對(duì)控制性能的影響較小，表明所述控制策略對(duì)負(fù)載擾動(dòng)具有一定的魯棒性。

圖5 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線(xiàn)(c=0.2, hk=-80，空載)

圖6 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線(xiàn)(c=0.2, hk=-80，第2、4次加載0.2 Nm)

3 結(jié) 論

針對(duì)牛頓迭代學(xué)習(xí)律存在的固有缺陷，給出一種改進(jìn)牛頓學(xué)習(xí)律，構(gòu)建同解方程改變被控對(duì)象非線(xiàn)性控制關(guān)系的特征，保證其學(xué)習(xí)收斂。將改進(jìn)牛頓迭代學(xué)習(xí)控制應(yīng)用于超聲波電機(jī)轉(zhuǎn)速控制，為減小響應(yīng)過(guò)程中的轉(zhuǎn)速波動(dòng)，引入一階低通濾波器修正控制量。超聲波電機(jī)不同轉(zhuǎn)速給定值、空載及交替加載情況下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所述迭代學(xué)習(xí)控制律不僅能夠保證學(xué)習(xí)收斂，而且轉(zhuǎn)速響應(yīng)過(guò)程平穩(wěn)，對(duì)負(fù)載擾動(dòng)具有一定的魯棒性。