喬盛元，梁亦孔

（上海工程技術(shù)大學(xué) a.城市軌道交通學(xué)院；b.數(shù)理與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，上海 201620）

1 研究背景

自然數(shù)方冪和是一個(gè)古老的問(wèn)題，從阿基米德(公元前287—212 年)開始，到雅各布·伯努利(1654—1705 年)在《猜度術(shù)》得到任意次冪的求和公式，不少書籍都略有提及[1].很多研究者采用逐差法、伯努利數(shù)Bn的性質(zhì)、遞推方法、組合數(shù)學(xué)中的母函數(shù)理論和排列組合知識(shí)等得到許多研究結(jié)果[2?6].

2 定理證明

2.1 預(yù)備定理及證明

引理1根據(jù)推廣的積分第一中值定理[8]，若函數(shù)f(x)與g(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且g(x)在[a,b]上不變號(hào)，則在[a,b]上至少存在一點(diǎn)ξ，使得

2.2 用第二類數(shù)學(xué)歸納法導(dǎo)出關(guān)鍵定理

證明用第二類數(shù)學(xué)歸納法，只需假設(shè)對(duì)任意的正整數(shù)m，都有

且前m項(xiàng)、前m?1項(xiàng)、前m?2項(xiàng)…前1 項(xiàng)系數(shù)分別滿足

只需證明此規(guī)律對(duì)m+1項(xiàng)也成立，即可證明An可以展開成

且前m+1項(xiàng)系數(shù)也滿足

式（1）和式（2）為待證問(wèn)題.因?yàn)閙是 任意自然數(shù)，故若式（1）和式（2）得證，令m→+∞即可證明該定理.

根據(jù)引理2，將函數(shù)f(x),f′(x),···,f(m)(x)進(jìn)行泰勒展開，得

等式最右側(cè)有極限值存在，因此

因此式（2）已被證明，所以定理得證.

3 應(yīng)用舉例

當(dāng)m取 自然數(shù)時(shí)，用定理求解過(guò)程如下.

4 結(jié)語(yǔ)