梁雨琴， 賈云鋒

(陜西師范大學數(shù)學與信息科學學院, 陜西 西安 710062)

腫瘤是生物體器官局部組織的細胞在生長過程中失去了生長的正常調(diào)控或受病毒感染而發(fā)生的以細胞異常增生、過度增殖為主要特點的新生物。臨床醫(yī)生和腫瘤學家認為, 腫瘤細胞生長、增殖、轉(zhuǎn)運和免疫應(yīng)答具有不可預(yù)測的動態(tài), 因此, 人們在治療癌癥方面遇到了許多困難。 近三、四十年來, 數(shù)學模型已逐步成為人們認識復(fù)雜的腫瘤系統(tǒng)的重要工具。自從Stepanova[1]提出經(jīng)典的腫瘤免疫模型以來, 各種腫瘤免疫模型相繼被建立并取得了許多有價值的研究成果[2-12], 這些成果對惡性腫瘤的研究具有重要的理論與臨床意義。最近,文獻[13]中研究了一類具有時滯和擴散項的生物模型, 研究結(jié)果表明：物種的擴散行為會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性, 擴散和時滯的結(jié)合可以導(dǎo)致并加劇系統(tǒng)的不穩(wěn)定性。由于生物體本身具有免疫功能, 生物體內(nèi)的免疫細胞能夠識別并消除腫瘤細胞, 文獻[14]中研究了一類具有時滯的腫瘤免疫模型, 結(jié)果表明：時滯會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性, 適當調(diào)節(jié)時滯參數(shù)可以控制惡性腫瘤的生長。事實上, 由于生物體的免疫系統(tǒng)在識別非自身細胞后需要一定的時間來產(chǎn)生合適的免疫反應(yīng), 因此, 在研究腫瘤問題時將時滯因素引入到具體的數(shù)學模型中是合理的。同時, 從生物學角度來看, 腫瘤細胞與免疫細胞的生長、相互作用不僅與時間有關(guān), 也會受到空間因素的影響與制約。受文獻[13-14]中擴散、時滯可以導(dǎo)致并加劇系統(tǒng)的不穩(wěn)定性結(jié)果的啟發(fā), 本文引入并研究具有時滯的腫瘤免疫反應(yīng)擴散系統(tǒng)：

(1)

其中u,v分別表示腫瘤細胞數(shù)和免疫細胞的數(shù)量,D1和D2分別為u,v的擴散率,τ為時滯參數(shù),r為腫瘤細胞的自然生長率,K表示環(huán)境最大承載能力,d是免疫細胞的自然死亡率,α1表示受免疫細胞攻擊而減少的腫瘤細胞的死亡率,α2表示與腫瘤細胞作用而消亡的免疫細胞的死亡率,β為免疫細胞的活化率, 反應(yīng)項βvu(x,t-τ)表示在腫瘤細胞的刺激下免疫細胞能夠被激活、從而產(chǎn)生合適的免疫反應(yīng)在時間上會有延遲。系統(tǒng)中所有參數(shù)均為正數(shù)。

1 邊界平衡態(tài)解的穩(wěn)定性

顯然, ?(x,t)∈(0,π)×(0,∞), 系統(tǒng)(1)存在邊界平衡態(tài)解(K,0)。

定理1當d>Kβ時, 邊界平衡態(tài)解(K,0)是全局漸近穩(wěn)定的。

由比較原理知u(x,t)≤w(t),?x∈[0,π],t≥0。于是有

這樣, 對充分小的正數(shù)ε, 存在t1=t1(ε)1使得u(x,t)≤K+ε,x∈[0,π],t≥t1。于是, 當t≥t1時, 有u(x,t)≤max{K,maxu0(x,t),(x,t)∈[0,π]×[-τ,0]}。這樣, 由系統(tǒng)(1)的第二個方程知v(x,t)滿足

這說明v(x,t)是問題

的下解。易知函數(shù)Ce(Kβ-d)t是該問題的上解, 其中C滿足C>maxv(x,t1),x∈[0,π]。于是,v(x,t)≤Ce(Kβ-d)t,x∈[0,π],t>t1。由于d>Kβ, 因此有

的解。那么, 對充分大的t2,φ(t)≡K是滿足該問題中方程的唯一正解, 并且u(x,t)滿足

即邊界平衡態(tài)解(K,0)是全局漸近穩(wěn)定的。證畢。

2 正平衡態(tài)解的穩(wěn)定性及發(fā)自正平衡態(tài)解處的Hopf分支的存在性

設(shè)

U(x,t)=(u(x,t),v(x,t))T∈Χ={(u,v)T:u,v∈W2,2(0,π),ux=vx=0,x=0,π}

Ut=DUxx+A0U+A1U(x,t-τ)+G(U) (2)

其中D=diag(D1,D2),

眾所周知, 一維Laplace算子在X上的特征值為-k2,k=0,1,2,…, 相應(yīng)的特征向量記為

對φ=(φ1,φ2)T∈X, 簡單計算表明

于是, 特征方程可寫成

從而, 特征方程等價于方程:

λ2+Akλ+Bk+Cke-λτ=0,k=0,1,2,…

(3)

其中

(4)

定理2當τ=0時, 系統(tǒng)(1)的正平衡點E*是局部漸近穩(wěn)定的。

證明當τ=0時, 特征方程(3)變?yōu)棣?+Akλ+Bk+Ck=0。這時,

設(shè)特征方程的兩個根為λ1,λ2，則λ1+λ2=-Ak,λ1λ2=Bk+Ck。此時, 方程的兩個根都具有負實部, 所以系統(tǒng)(1)的正平衡點是局部漸近穩(wěn)定的。證畢。

固定參數(shù)r,K,α1,α2,β,d, 記

(5)

由于k+≥0，因此集合Τ非空。再記

定理3

(i) 若k>k+, 則對?τ≥0, 正平衡態(tài)E*是局部漸近穩(wěn)定的。

(ii) 若k∈T, 則當τ∈[0,τ*)時,E*是局部漸近穩(wěn)定的; 當τ>τ*時,E*是不穩(wěn)定的。

證明根據(jù)Hopf分支產(chǎn)生的條件, 不妨設(shè)±iω(ω>0)是特征方程(3)的一對純虛根, 將其代入特征方程(3)中得

-ω2+iAkω+Bk+Cke-iωτ=0

分離實部和虛部可得

Ckcosωτ=ω2-Bk,Cksinωτ=Akω

(6)

計算可得

(7)

令z=ω2, 上式變?yōu)?/p>

(8)

其中Ak,Bk,Ck(k=0,1,2,…)由(4)式給出。

3 結(jié) 論

本文研究了一類具有擴散和時滯的腫瘤免疫模型。研究結(jié)果顯示, 時滯對正平衡點的穩(wěn)定性有著重要的影響, 正平衡點的漸近穩(wěn)定性或不穩(wěn)定性取決于時滯τ的大小, 存在一個臨界值τ*, 使得當τ<τ*時, 正平衡點是穩(wěn)定的; 當τ>τ*時, 正平衡態(tài)是不穩(wěn)定的, 在正平衡點不穩(wěn)時系統(tǒng)可能產(chǎn)生Hopf分支解。