王永濤

(東海航海保障中心 連云港航標(biāo)處， 江蘇 連云港 222042)

20世紀(jì)50年代，隨著控制理論的發(fā)展，出現(xiàn)了由電子學(xué)和伺服機(jī)構(gòu)理論結(jié)合的比例-微分-積分(Proportional Integral Derivative, PID)自動舵。[1]為補(bǔ)償船舶狀態(tài)和風(fēng)流環(huán)境的改變，傳統(tǒng)的自動舵需要手動調(diào)節(jié)其參數(shù)，這種調(diào)節(jié)無法實(shí)現(xiàn)參數(shù)精確的調(diào)整，更難做到實(shí)時調(diào)節(jié)。針對這一問題，STRAN等[2]提出一種反步法控制器設(shè)計方法，解決李亞普諾夫(Lyapunov)方法缺乏構(gòu)造性的問題，并應(yīng)用于船舶航向控制中。WANG等[3]和DU等[4]分別提出自適應(yīng)反步法用于保持船舶航向，其控制器具有較強(qiáng)的適應(yīng)性和魯棒性。ZHANG等[5]和ZHAO等[6]應(yīng)用反步法設(shè)計船舶航向控制器,并加入干擾項進(jìn)行對比，但沒有對算法進(jìn)一步優(yōu)化。EJAZ等[7]針對外部干擾，采用反步法與擾動觀測器結(jié)合設(shè)計控制器，提高了算法的魯棒性。關(guān)巍[8]將單輸入單輸出(Single-Input and Single-Output, SISO)系統(tǒng)和多輸入多輸出(Multiple-Input and Multiple-Output, MIMO)系統(tǒng)閉環(huán)增益成形算法與反步法相融合，但仍需進(jìn)一步驗證該方法的有效性。此外，葉寶玉等[9]針對非線性船舶航向控制中船舶參數(shù)和擾動不確定性問題提出帶有積分器的非線性自適應(yīng)魯棒控制算法。林郁等[10]將反步算法和濾波算法相結(jié)合提出一種非線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制器設(shè)計方法，這兩種控制器在實(shí)時控制過程中計算量較大。目前，反步法在船舶航向控制上取得較好的應(yīng)用，大多研究采用復(fù)雜的算法側(cè)重于對船舶狀態(tài)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，通常計算量較大，實(shí)時性不是很強(qiáng)。

本文在介紹船舶運(yùn)動響應(yīng)型模型基礎(chǔ)上，首先介紹反步法航向運(yùn)動控制器的設(shè)計方法，然后具體描述基于粒子群優(yōu)化PSO(Particle Swarm Optimization, PSO)反步法的航向控制器設(shè)計方法，最后通過仿真試驗與PID和傳統(tǒng)反步法控制器性能對比，驗證本文所提航向控制器的性能。

1 船舶運(yùn)動模型

船舶運(yùn)動模型可簡化成一種只有3個自由度的平面運(yùn)動問題，即前進(jìn)運(yùn)動、橫漂運(yùn)動和艏搖運(yùn)動。[11]船舶平面運(yùn)動坐標(biāo)系見圖1。圖1中：Oxy為船舶運(yùn)動的慣性坐標(biāo)系；ox0y0為船舶本身的附體坐標(biāo)系；δ為舵角；ψ為船舶航向角；r為回轉(zhuǎn)率。

圖1 船舶平面運(yùn)動坐標(biāo)系

建立非線性船舶運(yùn)動響應(yīng)模型，系統(tǒng)輸入為舵角δ，輸出為航向角ψ，具體為

(1)

(2)

式(1)和式(2)中：K、T為二階野本模型的常數(shù)；航向偏差為e=ψ-ψd(ψd為設(shè)定的航向)；ni(i=0,1,2,3)為非線性系數(shù)，對于中心軸對稱的船舶n0=n2=0。

2 基于反步法的航向控制器

反步法設(shè)計的基本原理是利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，將Lyapunov函數(shù)和鎮(zhèn)定控制器用系統(tǒng)化的方法逐步地進(jìn)行構(gòu)造，直至系統(tǒng)在平衡點(diǎn)漸進(jìn)穩(wěn)定。[12]主要應(yīng)用范圍為具有嚴(yán)格反饋控制結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，即系統(tǒng)具有下三角結(jié)構(gòu)。具體過程是將高階系統(tǒng)分解成多個低于系統(tǒng)階數(shù)的子系統(tǒng)，然后從前往后的對子系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計，把前一個系統(tǒng)的控制輸入當(dāng)作下個系統(tǒng)的狀態(tài)變量，重復(fù)后推直至出現(xiàn)整個系統(tǒng)真正的控制量。經(jīng)過逐步推導(dǎo)設(shè)計出的控制器，可實(shí)現(xiàn)全局的鎮(zhèn)定與系統(tǒng)調(diào)節(jié)。[13]

(3)

1) 作變量代換，有

z1=x1-ψd

(4)

假設(shè)x2為虛擬控制量，則有

z2=x2-φ(z1)

(5)

式(4)和式(5)中：φ(z1)是使z1→0的鎮(zhèn)定方程，生成狀態(tài)變量z2。為使e=z1→0，即：

(6)

式(6)中：

(7)

(8)

構(gòu)造第一個Lyapunov函數(shù)為

(9)

2) 鎮(zhèn)定z2子系統(tǒng)，

(10)

根據(jù)式(9)構(gòu)造第二個Lyapunov函數(shù)為

(11)

(12)

式(12)中：k2(k2>0)為控制器參數(shù)；n2(z2)>0為非線性阻尼項，可得

?z1≠0；z2≠0

(13)

由Lyapunov穩(wěn)定性定理可知：上面求得的控制器使z2子系統(tǒng)被鎮(zhèn)定，也使z1子系統(tǒng)被鎮(zhèn)定，從而系統(tǒng)在平衡點(diǎn)(x1=ψd,x2=0)一致漸進(jìn)穩(wěn)定，控制系統(tǒng)的狀態(tài)反饋結(jié)構(gòu)見圖2。

圖2 反步法系統(tǒng)的狀態(tài)反饋結(jié)構(gòu)

聯(lián)立式(7)、式(8)、式(10)和式(12)，得控制律為

(14)

3 PSO反步法控制器設(shè)計

PSO是基于群體協(xié)作與信息共享的一種啟發(fā)式算法，由EBERHER和KENNEDY共同提出，其靈感來源于鳥群的覓食行為。PSO算法在待優(yōu)化問題的約束條件下，構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)(fitness value)并計算各種群中各個體的適應(yīng)度值，根據(jù)計算結(jié)果挑選出最佳的個體，完成一個周期，之后根據(jù)自身和同伴飛行經(jīng)驗動態(tài)的調(diào)整飛行速度和位置，如此迭代，直至滿足迭代條件或找到全局最優(yōu)解。PSO算法具有原易于實(shí)現(xiàn)和較強(qiáng)的全局搜索能力等優(yōu)點(diǎn)。[14-16]

PSO算法中粒子分別由式(15)、式(16)進(jìn)行速度和位置更新為

(15)

(16)

式(15)和式(16)中:粒子數(shù)目i=1,2,…,n;搜索空間維度d=1,2,…,D;X為粒子的位置；v為粒子的速度；w為慣性因子；c1、c2為加速度常數(shù)；r1、r2為[0,1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)；k為迭代步數(shù)；Pid為當(dāng)前循環(huán)的搜索到的最優(yōu)粒子位置；Pgd為搜索當(dāng)前整個粒子群中的粒子最優(yōu)位置。

本文PSO反步法控制器的工作流程見圖3，具體說明如下：

1) 設(shè)定種群的粒子數(shù)n、可搜索的范圍[umin,umax]、粒子的初始位置[xmin,xmax]及其初始速度[vmin,vmax]。

3) 通過式(15)和式(16)更新粒子的速度和位子。若粒子更新后的位置超出搜索范圍，則將粒子位置設(shè)為(xmax+xmin)/2；否則，下一循環(huán)中初始位置為更新后的位置。將更新后的位置參數(shù)代入粒子群優(yōu)化的反步法控制律，輸出航向角作為反饋，從而形成閉環(huán)控制。

4) 第一次迭代完成后，根據(jù)種群更新的位置進(jìn)入下一次循環(huán)，繼續(xù)計算粒子的適應(yīng)度值。新的適應(yīng)度值根據(jù)其大小可分為大于全局最優(yōu)、介于全局最優(yōu)與局部最優(yōu)之間、小于局部最優(yōu)和陷入局部最優(yōu)等4種。若大于全局最優(yōu)值，則將其位置更新為全局最優(yōu)值，之前的全局最優(yōu)值成為局部最優(yōu)值；若介于全局最優(yōu)值和局部最優(yōu)值之間，則取代局部最優(yōu)值成為新的局部最優(yōu)；若小于局部最優(yōu)，則進(jìn)入下次一迭代。同時，為避免粒子陷入局部最優(yōu)，若

(17)

有

(18)

式(17)和式(18)中：fli為局部最優(yōu)值的適應(yīng)度值；n為允許停滯迭代數(shù)。通過更新粒子位置使其脫離局部最優(yōu)。

5) 按上述規(guī)則使程序不斷循環(huán)，滿足迭代次數(shù)，輸出最優(yōu)值ki。

4 仿真試驗

4.1 試驗條件

在MATLAB仿真條件下，開展船舶航向控制仿真研究，分別對PID、反步法、PSO反步法設(shè)計的控制器進(jìn)行航向跟蹤并進(jìn)行控制性能對比。

試驗仿真對象的船舶響應(yīng)型模型基本參數(shù)為K=0.5,T=0.6，n1=1，n3=0.4，仿真步長均為0.1 s。試驗中期望航向均設(shè)定為20°。

1) PID控制器參數(shù)設(shè)置。在PID控制器中，選取比例系數(shù)Kp=5，積分系數(shù)Ki=1，微分系數(shù)Kd=30。

圖3 基于反步法的PSO控制系統(tǒng)框圖

3) PSO控制器參數(shù)設(shè)置。設(shè)置50個種群，進(jìn)行500次迭代優(yōu)，粒子的搜索范圍為[0,100]，初始位置為[0,5]，初始速度為[-2,2]，其他參數(shù)與反步法中保持一致。

4.2 仿真過程

二階慣性環(huán)節(jié)的信號發(fā)生器結(jié)構(gòu)見圖4，輸入端為階躍信號，輸出結(jié)果見圖5。

圖4 二階慣性環(huán)節(jié)信號發(fā)生器結(jié)構(gòu)

1) 在無干擾的條件下，PID控制器、反步法控制器及PSO反步法控制器的航向跟蹤曲線及誤差曲線分別見圖6和圖7。在粒子群優(yōu)化的反步法控制器中，適應(yīng)度函數(shù)迭代曲線見圖8。

2) 在加入隨機(jī)干擾下，干擾曲線見圖9，振幅約為-2.5°～2.5°，干擾頻率為10 Hz。各控制器其他參數(shù)與無干擾環(huán)境保持一致，輸出航向曲線和誤差分別見圖10和圖11。

圖9 隨機(jī)干擾曲線

4.3 仿真結(jié)果分析

評價控制器性能指標(biāo)有確定性指標(biāo)、隨機(jī)性指標(biāo)與魯棒性。[17]確定性指標(biāo)有穩(wěn)定時間td、平均絕對誤差eave等，能夠反映系統(tǒng)的快速性與準(zhǔn)確性。隨機(jī)性能指標(biāo)反映系統(tǒng)抑制噪聲擾動的能力，主要針對有噪聲的擾動過程，本文以標(biāo)準(zhǔn)差S為基準(zhǔn)。針對不同條件下PID算法、反步法以及PSO反步法分別進(jìn)行穩(wěn)定時間、平均絕對誤差和標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行比較分析，控制器性能指標(biāo)見表1和表2。

表1 在無干擾條件下航向控制器性能

表2 在隨機(jī)干擾條件下航向控制器性能

在無干擾環(huán)境下，設(shè)定穩(wěn)定時間td，為航向絕對誤差達(dá)到0.01°內(nèi)經(jīng)歷的時間。在干擾環(huán)境下，由于干擾一直存在，設(shè)定基本穩(wěn)定時間td為航向絕對誤差達(dá)到0.1°內(nèi)所需時間。

由試驗計算結(jié)果比較可知：PSO反步法在不同的環(huán)境下收斂速度最快，反步法次之；對于系統(tǒng)的控制精度和穩(wěn)定性，在相同環(huán)境下，反步法優(yōu)于PSO算法，通過PSO優(yōu)化其增益系數(shù)，消除部分冗余控制，PSO反步法具有更高的控制精度和穩(wěn)定性。

5 結(jié)束語

本文提出一種基于PSO反步法的控制器設(shè)計方法，可用于提高船舶航向控制器的精度和魯棒性并通過仿真進(jìn)行驗證該算法的有效性，得到以下結(jié)論：

1) 反步法控制器達(dá)到期望航向的控制時間較短，響應(yīng)速度較快，通過不斷減小跟蹤誤差，能夠滿足靜態(tài)和動態(tài)性能。

2) 通過跟蹤誤差和穩(wěn)定性分析可看出，反步法的船舶航向跟蹤效果較PID控制好，尤其是存在外界干擾的情況下，反步法能保證閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)、控制信號全局有界，具有較強(qiáng)的魯棒性，從而提高航向的穩(wěn)定性和船舶的安全性。

3) 由于反步法構(gòu)造特性，對于高階系統(tǒng)需要很大的增益參數(shù)，可能使系統(tǒng)產(chǎn)生冗余控制。針對未知參數(shù)的不確定項，將反步法與粒子群優(yōu)化算法結(jié)合，根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)最小值，選擇參數(shù)自適應(yīng)更新律，消除部分冗余控制，可獲得更好的控制性能。