張 遷，許 志，李新國，高 峰，黃建友

(1. 西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安 710072；2. 陜西省空天飛行器設(shè)計(jì)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072；3. 中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京 100076)

0 引 言

隨著“快速發(fā)射”要求的不斷提高，小型全固體運(yùn)載火箭憑借可快速機(jī)動發(fā)射、可靠性高、成本低等優(yōu)勢而備受關(guān)注[1]。為了提高質(zhì)量比及可靠性，取消了推力終止機(jī)構(gòu)的固體運(yùn)載火箭，只能耗盡關(guān)機(jī)而不能進(jìn)行制導(dǎo)關(guān)機(jī)，使其制導(dǎo)算法必須考慮耗盡關(guān)機(jī)速度管控問題[2]，而不再是燃料最省的兩點(diǎn)邊值問題[3-5]。此外，由于固體發(fā)動機(jī)具有工作時(shí)間短、推力大等特點(diǎn)，運(yùn)載火箭必須采用“助推-滑行-助推”的飛行模式才能將有效載荷送入運(yùn)行軌道，確定滑行點(diǎn)火時(shí)間是制導(dǎo)的核心算法[6-7]之一。由于固體火箭發(fā)動機(jī)性能受環(huán)境影響較大而導(dǎo)致關(guān)機(jī)時(shí)間無法準(zhǔn)確預(yù)估，要求制導(dǎo)算法必須具有較強(qiáng)的偏差適應(yīng)能力才能保證入軌精度[8]。綜上所述，這給小型全固體運(yùn)載火箭帶來了更高的制導(dǎo)技術(shù)需求。

固體火箭的制導(dǎo)算法研究主要集中在基于改進(jìn)閉路制導(dǎo)，并結(jié)合能量管理算法[9-10]實(shí)現(xiàn)了終端入軌任務(wù)要求。但該算法忽略了制導(dǎo)過程中位置矢量的變化對終端約束產(chǎn)生的影響，導(dǎo)致終端入軌精度及魯棒性較差。針對固定總沖約束的兩點(diǎn)邊值問題，本研究團(tuán)隊(duì)基于軌道動量矩的變化推導(dǎo)出定點(diǎn)制導(dǎo)算法[11-12]，并以此為基底制導(dǎo)算法求解點(diǎn)火時(shí)間及制導(dǎo)指令。在多子級飛行條件下對于耗盡關(guān)機(jī)速度管控問題，文獻(xiàn)[11]通過軌道能量匹配的方式提前將運(yùn)載火箭動能與勢能進(jìn)行分配；文獻(xiàn)[12]采用定點(diǎn)制導(dǎo)結(jié)合速度管控模型設(shè)計(jì)的思想，在中間過渡級將速度管控產(chǎn)生的附加位置量分解到軌道高度上。盡管上述方法均實(shí)現(xiàn)了在耗盡關(guān)機(jī)方式下的入軌任務(wù)，但是由于避開了末級多約束制導(dǎo)問題導(dǎo)致入軌精度、魯棒性及適應(yīng)性降低。

因此，針對耗盡關(guān)機(jī)末級多約束制導(dǎo)問題，本文重點(diǎn)研究了定點(diǎn)制導(dǎo)算法對速度管控的適用性及速度管控過程引起的耦合項(xiàng)抑制問題。在前期研究文獻(xiàn)[11-12]的基礎(chǔ)上分析了速度管控與終端約束之間的耦合關(guān)系，并在定點(diǎn)制導(dǎo)算法的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出適用于速度管控的拓展理論算法，建立了需要速度與速度管控方向之間的理論關(guān)系，得到了滑行時(shí)間、制導(dǎo)矢量及速度管控方向的解析表達(dá)式，并通過仿真驗(yàn)證了所提制導(dǎo)方法的制導(dǎo)精度和魯棒性。

1 固體火箭多約束制導(dǎo)問題

小衛(wèi)星等空間載荷通常以太陽同步軌道(SSO)為目標(biāo)，為進(jìn)入較高的太陽同步軌道，固體運(yùn)載火箭需要采用四級串聯(lián)的方案并采取“助推-滑行-助推”制導(dǎo)模式。其飛行模式一般可以分為一級助推段、二級助推段、三級滑行段、三級助推段、四級滑行段、四級助推段?；鸺谝?、二級發(fā)動機(jī)推力大可快速進(jìn)入真空環(huán)境，該飛行階段基本位于大氣層內(nèi)，后四個(gè)飛行階段處于真空環(huán)境下，其飛行任務(wù)剖面如圖1所示。

圖1 典型固體運(yùn)載火箭飛行時(shí)序剖面Fig.1 Typical launch process of a four-stage rocket

1.1 質(zhì)心運(yùn)動模型

在發(fā)射慣性坐標(biāo)系下運(yùn)載火箭質(zhì)心運(yùn)動方程[11]表示為：

(1)

(2)

對于大氣層外的“助推-滑行-助推”飛行模式，運(yùn)載火箭運(yùn)動方程式(2)中的推力為：

(3)

式中：tig為火箭發(fā)動機(jī)點(diǎn)火時(shí)刻。固體運(yùn)載火箭發(fā)動機(jī)的推力大小與秒流量不可調(diào)節(jié)，式(1)里實(shí)際上需要確定出箭體方向xb的控制指令，使運(yùn)載火箭以耗盡關(guān)機(jī)的方式滿足入軌約束條件。

1.2 多約束制導(dǎo)問題

運(yùn)載火箭處于無動力的滑行軌道時(shí)，根據(jù)開普勒軌道性質(zhì)：

(4)

而在火箭發(fā)動機(jī)點(diǎn)火工作后，根據(jù)式(2)和式(4)可得運(yùn)載火箭關(guān)機(jī)點(diǎn)的狀態(tài)矢量表達(dá)式：

(5)

式中:μ為地球引力常數(shù)，r0,v0表示火箭當(dāng)前位置矢量和速度矢量，rig,vig表示點(diǎn)火時(shí)刻位置矢量和速度矢量，rf,vf表示終端位置矢量和速度矢量。對于空間載荷的飛行軌道，通常約束軌道根數(shù)中的半長軸aorb.f、偏心率eorb.f及軌道傾角iorb.f等，其表達(dá)式如下：

(6)

此外，對于耗盡關(guān)機(jī)的固體火箭發(fā)動機(jī)，所能夠提供總的視速度模量WM和視位置模量RM表達(dá)式為：

(7)

耗盡關(guān)機(jī)的固體運(yùn)載火箭由于失去了制導(dǎo)關(guān)機(jī)的物理?xiàng)l件，導(dǎo)致對終端速度管控能力薄弱。因此，為了滿足飛行任務(wù)的適應(yīng)性要求，進(jìn)行速度管控是解決終端多約束問題的主要途徑。

1.3 耗盡關(guān)機(jī)速度管控問題

在耗盡關(guān)機(jī)方式下，由于發(fā)動機(jī)產(chǎn)生的總視速度模量一定，需要通過速度管控算法[13-15]產(chǎn)生附加姿態(tài)來消耗多余能量，使速度增量在固定弧長約束下的矢量弦長滿足制導(dǎo)要求，速度管控算法的制導(dǎo)原理如圖2所示。

圖2 基底制導(dǎo)算法耦合速度管控算法的制導(dǎo)剖面Fig.2 Profile of the proposed guidance under pointing algorithm with energy management method

耗盡關(guān)機(jī)制導(dǎo)問題的本質(zhì)是求解固定弧長約束下的兩點(diǎn)邊值問題，本文將此問題分解為多約束制導(dǎo)問題和交變姿態(tài)速度管控問題，從而使復(fù)雜問題簡化。多約束基底制導(dǎo)算法計(jì)算所需的速度矢量Γ，速度管控算法主要解算視速度模量WM固定條件下所需要的弦長，則箭體方向xb為：

xb=sinuem(t)·ε+cosuem(t)·Γ

(8)

雖然所附加的交變姿態(tài)可以在軌道面內(nèi)，也可以在軌道垂面內(nèi)，但對終端軌道根數(shù)的影響不同。

綜上所述，對于“助推-滑行-助推”模式下耗盡關(guān)機(jī)的固體運(yùn)載火箭，由于發(fā)動機(jī)提供總的視速度弧長和視位置弧長固定并滿足等式(7)，制導(dǎo)算法需要確定出合適的發(fā)動機(jī)點(diǎn)火時(shí)刻tig及箭體方向xb的控制指令，使終端狀態(tài)矢量式(5)滿足終端軌道根數(shù)式(6)的約束，以完成耗盡關(guān)機(jī)入軌任務(wù)。因此，針對耗盡關(guān)機(jī)的固體運(yùn)載火箭，制導(dǎo)算法的本質(zhì)是求解具有固定總沖約束的兩點(diǎn)邊值問題，其算法的核心則是：

1) 求解滑行點(diǎn)火時(shí)間，并計(jì)算滿足終端約束所需速度矢量大小及方向。

2) 根據(jù)速度管控模型實(shí)現(xiàn)速度矢量約束，通過確定交變姿態(tài)方向?qū)崿F(xiàn)對附加項(xiàng)耦合的抑制。

2 定點(diǎn)制導(dǎo)方法及拓展

固體運(yùn)載火箭在大氣層外飛行時(shí)，由于發(fā)動機(jī)推力脈沖大、額定時(shí)間短，無動力滑行時(shí)間通常遠(yuǎn)大于發(fā)動機(jī)工作時(shí)間，認(rèn)為箭體方向始終沿著所需要的速度沖量方向[12]。因此，PA制導(dǎo)算法通過假設(shè)發(fā)動機(jī)持續(xù)推進(jìn)過程中箭體方向xb始終保持某一常值Γ，來研究發(fā)動機(jī)完全耗盡燃料所產(chǎn)生的“定向速度沖量”與滑行點(diǎn)火時(shí)間及終端軌道根數(shù)之間的理論關(guān)系，PA算法理論如圖3所示。

圖3 PA制導(dǎo)算法運(yùn)動分解圖Fig.3 Motion analysis of pointing guidance method

圖3中，r0為火箭當(dāng)前時(shí)刻的地心距，rig為火箭點(diǎn)火時(shí)刻的地心距，rsub.f,vsub.f分別表示外延滑行軌道的額定關(guān)機(jī)時(shí)刻地心距和絕對速度，rorb.f,vorb.f表示實(shí)際飛行軌道終端地心距和絕對速度，rimp為滑行軌道與目標(biāo)軌道交點(diǎn)處的地心距。

當(dāng)運(yùn)載火箭滑行-助推結(jié)束后，持續(xù)推力過程引起運(yùn)載火箭動量矩的變化為：

ΔH=mf·rorb.f×vorb.f-m0·r0×v0

(9)

軌道面交點(diǎn)Pimp聯(lián)系了兩條軌道狀態(tài)參數(shù)，將式(9)在軌道面交線rimp展開，詳細(xì)推導(dǎo)過程見參考文獻(xiàn)[11]，整理后得到：

(10)

式(10)的結(jié)果表明：在特定的點(diǎn)火時(shí)間條件下，“定向持續(xù)推進(jìn)過程”對軌跡的改變與在等效脈沖點(diǎn)Pimp處施加“瞬時(shí)脈沖矢量”對軌跡的影響等效。

圖4 軌道交點(diǎn)處速度矢量關(guān)系Fig.4 Vector diagram of the orbit intersection point

在軌道面交點(diǎn)Pimp處建立坐標(biāo)系o-xyz，y軸沿著軌道面交線rimp向上，x軸沿著目標(biāo)軌道速度vorb.imp運(yùn)行方向且垂直y軸，z軸與x,y軸構(gòu)成右手法則，則各矢量關(guān)系如圖4所示，所需速度矢量Γ和交變姿態(tài)方向ε均為單位矢量，ex,ey和ez分別為x軸、y軸及z軸的單位矢量，則：

(11)

為實(shí)現(xiàn)固定弧長條件下的弦長問題，交變姿態(tài)速度管控微分方程組表達(dá)式為：

(12)

式中:uem(t)由交變姿態(tài)模型產(chǎn)生且vε=0，將式(12)代入式(5)得終端狀態(tài)矢量表達(dá)式：

(13)

根據(jù)定點(diǎn)制導(dǎo)原理，將式(13)代入火箭動量矩變化量式(9)中，合并后得：

ΔH=mf·rorb.f×vorb.f-m0·r0×v0=

mf(rsub.f+rΓΓ)×(vsub.f+vΓΓ)+

mfrεε×(vsub.f+vΓΓ)-m0r0×v0

(14)

將定點(diǎn)制導(dǎo)結(jié)論式(10)代入式(14)，得：

(15)

由式(15)可知：交變姿態(tài)速度管控帶來的附加位置項(xiàng)Hem對定點(diǎn)制導(dǎo)理論產(chǎn)生耦合影響。此外，由于附加位置的大小受交變姿態(tài)模型的限制，因此耦合影響的程度實(shí)際上由交變姿態(tài)方向ε決定。根據(jù)圖4所示，附加耦合項(xiàng)可表示為：

Hem=mfrε·ε×(vsub.f+vΓΓ)=mfrε·ε×

(vsub.imp+vΓΓ+Δvg·ey)=

mfrε·ε×(vorb.imp+Δvg·ey)

(16)

其中,Δvg=g·(rΓ/vΓ)，將式(11)代入式(16)展開得：

Hem=mfrε(εxex+εyey+εzez)×(vorb.imp+Δvg·ey)

(17)

交變姿態(tài)方向ε在xoy面內(nèi)的投影將改變?nèi)胲夵c(diǎn)地心距，為使耦合項(xiàng)的影響最小化，令投影矢量與速度矢量平行，即：

(εxex+εyey)×[vorb.impcos?orb·ex+

(vorb.impsin?orb+Δvg)·ey]=0

(18)

因此，在式(18)條件下將式(17)代入式(15)后，動量矩變化量可化簡為：

ΔH=mfrimp×vorb.imp-m0r0×v0+

mfrεεz·ez×(vorb.imp+Δvg·ey)

(19)

經(jīng)化簡后，式(19)可表示為：

ΔH=mf(rimp+mez)×(vorb.imp+nez)-m0r0×v0

(20)

將式(20)展開與式(19)對比后，可得：

(21)

綜上所述，在交變姿態(tài)速度管控的耦合影響下，定點(diǎn)制導(dǎo)理論依然適用，其結(jié)論依然成立。此時(shí)，等效脈沖點(diǎn)rimp.em及等效入軌速度vorb.imp.em為：

(22)

3 交變姿態(tài)速度管控算法

3.1 基底制導(dǎo)矢量求解

為不失一般性，將制導(dǎo)所需要的速度矢量表述為軌道交點(diǎn)地心距與終端軌道根數(shù)的矢量形式，由開普勒軌道性質(zhì)得：

(23)

由于圓軌道的真近點(diǎn)角失去意義，故取

(24)

根據(jù)式(23)，求解出軌道面交點(diǎn)Pimp處的真近點(diǎn)角、切向速度及法向速度。因此，圖3中在兩軌道交點(diǎn)Pimp處速度矢量表示如下：

(25)

其中，運(yùn)載火箭由于當(dāng)前軌道傾角與目標(biāo)軌道傾角之間的偏差所引起方位角偏差ΔA的表達(dá)式為：

(26)

式中:φimp為地心距rimp的地心緯度。則PA制導(dǎo)所需的速度矢量大小和方向?yàn)椋?/p>

(27)

在交變姿態(tài)速度管控的耦合影響下，等效脈沖點(diǎn)并不處于當(dāng)前軌道平面內(nèi)，但可認(rèn)為是在軌道面交點(diǎn)Pimp沿z軸平移所得到，則火箭從當(dāng)前點(diǎn)飛行至交點(diǎn)Pimp處的時(shí)間為：

(28)

根據(jù)式(15)和式(28)得運(yùn)載火箭點(diǎn)火時(shí)間為：

tig=t0-imp+Ts-rΓ/vΓ-t0

(29)

由于速度矢量Γ和交變姿態(tài)方向ε為正交單位矢量，且考慮耦合項(xiàng)影響最小化約束式(18)，則交變姿態(tài)方向ε滿足：

(30)

求解式(30)可得交變姿態(tài)方向ε的表達(dá)式為：

(31)

其中,tan?=(vorb.impsin ?orb+Δvg)/(vorb.imp·cos ?orb)，l為：

綜上所述，通過定點(diǎn)制導(dǎo)理論及其拓展形式，基底制導(dǎo)矢量Γ、火箭點(diǎn)火時(shí)間及交變姿態(tài)方向ε分別由式(27)、式(29)和式(31)計(jì)算得到。特別地，在軌道共面即Γz=0，沿軌道面法向(平行于z軸)進(jìn)行交變姿態(tài)是耦合影響最小的實(shí)現(xiàn)途徑。

3.2 交變姿態(tài)速度管控模型

固體火箭的速度管控問題，主要是通過控制推力與所需速度矢量之間的夾角來抵消多余的速度模量。速度管控模型主要有一般能量管理方法[13](GEM)、交變姿態(tài)能量管理方法[14](AEM) 及樣條能量管理方法[15](SEM)。GEM算法通過需要速度與圓心角之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，解算得到推力方向，是一種速度閉環(huán)控制方法，但存在尾段姿態(tài)角發(fā)散的狀況；AEM、SEM算法通過預(yù)先規(guī)劃姿態(tài)角變化規(guī)律來實(shí)現(xiàn)速度管控，能夠針對實(shí)際對象的模型進(jìn)行細(xì)化處理，具有較大的速度耗散能力，但不能對高度進(jìn)行約束。

能量管理方法其本質(zhì)上均是通過交變姿態(tài)的方式實(shí)現(xiàn)速度管控，交變姿態(tài)模型(AEM)姿態(tài)角變化規(guī)律如圖5所示，SEM方法以三次多項(xiàng)式來描述速度管控模型，但上述方法并未深入研究交變姿態(tài)方向的問題。因此，本文重點(diǎn)研究速度管控過程帶來的耦合影響的抑制問題。

圖5 交變姿態(tài)模型姿態(tài)角變化規(guī)律Fig.5 The variations of attitude angle respect to consumed velocity capability

發(fā)動機(jī)總視速度模量WM按照導(dǎo)引程序的功能分為兩部分：第一部分(W0～W6)，進(jìn)行交變姿態(tài)實(shí)現(xiàn)速度管控；第二部分(W6～WM)，采用定軸飛行且保持姿態(tài)穩(wěn)定的方式，來避免因固體發(fā)動機(jī)秒流量大散布所帶來的模型尾段姿態(tài)角速率變化過大的問題。則以視速度模量為自變量的姿態(tài)角變化模型為：

(32)

其中，WΔ=Wi+1-Wi,i=1,2,…,5。um為速度管控模型中的最大調(diào)姿角，將模型式(32)代入微分方程組(12)可得：

(33)

根據(jù)定點(diǎn)制導(dǎo)理論，基底制導(dǎo)矢量vΓ由式(27)求得，則等式(33)中僅存在的未知量為最大調(diào)姿角um，可采用一維迭代求解算法得到um的值。此外，速度管控過程中產(chǎn)生的位置量，通過時(shí)域內(nèi)的數(shù)值積分得到，其表達(dá)式為：

(34)

其中，通過t=e-W/(Ispg0)進(jìn)行換元計(jì)算。

至此，速度管控模型uem、最大調(diào)姿角um及位置量rΓ和rε分別由式(32)、式(33)和式(34)求得。對于速度管控模型，以視速度模量為自變量時(shí)，一方面有利于提高速度管控的精度；另一方面視速度模量可由加速度計(jì)積分得到，有利于提高管控模型對參數(shù)偏差及不確定性的魯棒性。

3.3 制導(dǎo)算法求解流程

定點(diǎn)制導(dǎo)拓展理論證明了在速度管控耦合影響下基底制導(dǎo)依然適用，并得到了點(diǎn)火時(shí)間、所需速度矢量及交變姿態(tài)方向的解析表達(dá)式。AEM速度管控模型，根據(jù)發(fā)動機(jī)總視速度模量和制導(dǎo)所需速度大小得到最大調(diào)姿角，并通過數(shù)值積分得到附加位置量。綜上，本文所提末級多約束自主制導(dǎo)方法中的未知量均已求得，詳細(xì)計(jì)算流程如下：

1) 確定等效脈沖點(diǎn)rimp：首次計(jì)算時(shí)，忽略速度管控模型的附加位置影響，即rΓ=RM,rε=0，m=n=0，代入拓展定點(diǎn)制導(dǎo)理論式(28)計(jì)算。

2) 求解所需速度矢量Γ及交變姿態(tài)方向ε：由脈沖點(diǎn)處的速度矢量關(guān)系，根據(jù)式(27)計(jì)算所需速度矢量vΓ,式(31)求得交變姿態(tài)方向ε，由于交變姿態(tài)方向的兩個(gè)解是對稱的，可任選其一。

3) 計(jì)算最大調(diào)姿角um：根據(jù)發(fā)動機(jī)總視速度模量式(7)和制導(dǎo)所需的速度大小vΓ，由式(33)解算出速度管控模型中的最大調(diào)姿角um。

4) 計(jì)算附加位置分量rΓ和rε：在速度管控模型及待定系數(shù)um確定后，根據(jù)式(34)數(shù)值積分得到。

迭代循環(huán)中，由于等效脈沖點(diǎn)地心距rimp遠(yuǎn)大于速度控制產(chǎn)生的附加位置量，即rimp?m·ez，需要非常小的閾值才能保證循環(huán)的有效迭代。因而選取變化量更為敏感的基底制導(dǎo)矢量vΓ為迭代變量，精度閾值Δv=1×10-3。

制導(dǎo)算法的點(diǎn)火時(shí)間、速度管控模型及交變姿態(tài)方向的迭代計(jì)算過程均處于運(yùn)載火箭的無動力滑行階段，發(fā)動機(jī)點(diǎn)火后的主動段則按照預(yù)先規(guī)劃好的速度管控模型得到制導(dǎo)指令。此外，制導(dǎo)算法的迭代，主要用以校正速度管控附加的耦合量，整個(gè)迭代過程通常需要3～5步即可收斂。

4 仿真校驗(yàn)與性能評估

采用全固體火箭發(fā)動機(jī)的運(yùn)載火箭，以450 km SSO典型飛行任務(wù)為例，考慮地球自旋角速度及引力J2項(xiàng)攝動。通過搭載不同載荷質(zhì)量，驗(yàn)證速度管控算法的制導(dǎo)精度及適應(yīng)性；根據(jù)不同的軌道傾角偏差，驗(yàn)證交變姿態(tài)方向?qū)Ξ惷孳壍廊蝿?wù)的適應(yīng)性；最后采用蒙特卡洛仿真，驗(yàn)證所提制導(dǎo)算法在模型參數(shù)偏差及不確定性影響下的制導(dǎo)精度及魯棒性。

4.1 載荷質(zhì)量適應(yīng)性仿真

實(shí)際飛行軌跡的偏離、終端任務(wù)的調(diào)整以及衛(wèi)星載荷質(zhì)量的變化均要求速度管控方法對飛行任務(wù)具有一定的適應(yīng)性?？紤]運(yùn)載火箭以200 kg為最大載荷，依次減少50 kg載荷進(jìn)行仿真，直至運(yùn)載火箭達(dá)到空載狀態(tài)。運(yùn)載火箭由于搭載不同的載荷質(zhì)量，在耗盡關(guān)機(jī)方式下具有不同的速度模量，并通過速度管控模型實(shí)現(xiàn)終端多約束要求。為驗(yàn)證拓展定點(diǎn)制導(dǎo)算法對載荷質(zhì)量的適應(yīng)性，選取了兩種典型的能量管理方法AEM和SEM進(jìn)行仿真，仿真曲線如圖6所示，終端偏差結(jié)果見表1。

表1 不同載荷質(zhì)量仿真結(jié)果Table 1 Simulation results under different load masses

注：*表示期望值，N為迭代次數(shù)。

兩種能量管理方法的仿真結(jié)果見表1所示，在同樣載荷質(zhì)量條件下，SEM方法的最大調(diào)姿角大于AEM算法，但均能夠滿足0～200 kg的載荷適應(yīng)范圍。

兩種方法在終端精度約束上均具有高精度約束能力，而SEM算法在速度大小控制上偏差量略大，達(dá)到了1.0182 m·s-1。圖6中，根據(jù)不同的載荷質(zhì)量，AEM方法通過控制最大調(diào)姿角來實(shí)現(xiàn)不同大小的速度管控，SEM方法通過求解三次多項(xiàng)式的系數(shù)實(shí)現(xiàn)不同大小的速度管控。PA拓展理論根據(jù)能量管理算法產(chǎn)生的附加位置量，解算交變姿態(tài)方向，在不同載荷質(zhì)量條件下均能夠滿足終端速度、位置約束條件，實(shí)現(xiàn)了對速度管控中耦合項(xiàng)的抑制。

仿真結(jié)果表明，PA拓展理論能夠適用于不同的能量管理模型，且計(jì)算的交變姿態(tài)方向能夠?qū)δ芰抗芾磉^程產(chǎn)生的附加耦合項(xiàng)起明顯的抑制作用。此外，交變姿態(tài)方向由狀態(tài)矢量在慣性空間確定，導(dǎo)致俯仰角及偏航角指令呈現(xiàn)出相互耦合的關(guān)系。

4.2 PA拓展理論對比分析

速度管控過程中產(chǎn)生的耦合項(xiàng)，一方面對脈沖點(diǎn)位置產(chǎn)生影響，改變了升交點(diǎn)赤經(jīng)；另一方向?qū)γ}沖點(diǎn)入軌速度產(chǎn)生影響，改變了軌道傾角。通過載荷適應(yīng)性仿真可知，空載條件下速度管控模型產(chǎn)生的附加位置量最大，故在空載條件下來驗(yàn)證制導(dǎo)算法對不同初始軌道傾角的適應(yīng)性。針對PA拓展理論方法的耦合抑制方向，與文獻(xiàn)中采用的俯仰通道[9,10,15]及偏航通道[12,16]進(jìn)行對比，其結(jié)果如圖7所示，終端偏差值見表2。

圖6 載荷質(zhì)量適應(yīng)性仿真Fig.6 Profiles of the states run for simulation on adaptability to load masses

圖7 軌道傾角適應(yīng)性仿真Fig.7 Profiles of the states run for simulation on adaptability to orbit inclination angles

從圖7可以看出，不同通道下的能量管理交變姿態(tài)導(dǎo)致軌道傾角適應(yīng)性有明顯的差異。采用俯仰通道進(jìn)行速度管控，終端地心距將隨著初始軌道傾角偏差的增大而逐漸減小，但終端軌道傾角的偏差逐漸增大，地心距的最大偏差達(dá)到14.96 km，絕對速度偏差達(dá)到7.178 m/s，軌道傾角偏差達(dá)到2.08°；采用偏航通道進(jìn)行速度管控，終端地心距、絕對速度以及軌道傾角等參數(shù)將隨著初始軌道傾角偏差的增大而逐漸增大：地心距的最大偏差達(dá)到3.5 km，絕對速度偏差達(dá)到1.186 m/s。仿真結(jié)果可以看出，偏航通道下偏差結(jié)果明顯小于俯仰通道，但依然無法達(dá)到終端約束高精度的要求。

根據(jù)交變姿態(tài)方向表達(dá)式(31)知，由于軌道異面使Γz≠0，因而僅以軌道側(cè)向進(jìn)行交變姿態(tài)同樣會對軌道面內(nèi)的參數(shù)產(chǎn)生影響，主要原因是速度管控產(chǎn)生的耦合項(xiàng)改變了原等效脈沖點(diǎn)及需要速度。而采用PA拓展理論在ε方向進(jìn)行速度管控，使終端地心距、絕對速度及軌道傾角等參數(shù)因耦合引起的偏差得到了有效的抑制。

表2 軌道傾角適應(yīng)性仿真結(jié)果Table 2 Simulation results under different orbit inclinations

4.3 制導(dǎo)精度與魯棒性分析

以小型固體運(yùn)載火箭進(jìn)入450 km預(yù)定太陽同步軌道為例，驗(yàn)證本文所提固體火箭多約束制導(dǎo)方法的制導(dǎo)精度及魯棒性。模型的不確定性及散差分布配置見表3，偏差散布及不確定性對飛行軌跡的影響以導(dǎo)航輸入的方式提供給制導(dǎo)算法，制導(dǎo)周期取20 ms在線解算制導(dǎo)指令。各項(xiàng)隨機(jī)偏差在每次打靶中隨機(jī)產(chǎn)生，且服從正態(tài)分布。進(jìn)行2000次蒙特卡洛仿真，仿真抗干擾軌跡曲線簇如圖8所示。

表3 蒙特卡洛仿真散差配置表Table 3 Dispersions in Monte Carlo simulations

圖8中，在所配置的偏差干擾下，軌道根數(shù)的變化曲線簇的寬度表征了制導(dǎo)算法的魯棒性。結(jié)果表明半長軸偏差的數(shù)學(xué)期望值小于100 m，偏心率的散布達(dá)到10-4量級，軌道傾角達(dá)到10-4(°)量級。因此，本文所提制導(dǎo)算法對終端軌道半長軸、偏心率及軌道傾角具有高精度約束能力的同時(shí)對所配置的偏差干擾具有強(qiáng)魯棒性。2000次蒙特卡洛終端軌道根數(shù)仿真統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表4，軌道根數(shù)偏差散布如圖8 (d) 所示。

表4 終端約束蒙特卡洛仿真洛統(tǒng)計(jì)結(jié)果Table 4 Monte Carlo simulations statistic results

5 結(jié) 論

1) PA拓展制導(dǎo)算法在定點(diǎn)制導(dǎo)理論的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步根據(jù)速度管控產(chǎn)生的耦合項(xiàng)得到等效矢量關(guān)系，推導(dǎo)出點(diǎn)火指令與推力矢量的求解方程，具有耗盡關(guān)機(jī)終端多軌道要素的約束能力。

2) 傳統(tǒng)的俯仰通道、偏航通道下的能量管理方法，并未考慮耦合產(chǎn)生的影響，對于共面圓軌道條件該方式影響較小，但對于異面橢圓軌道，耦合項(xiàng)將導(dǎo)致終端約束無法滿足。

3) 本文所提制導(dǎo)算法，對不同的載荷質(zhì)量具有很強(qiáng)的適應(yīng)性，速度管控對耦合項(xiàng)具有較強(qiáng)的抑制能力，對所配置的干擾源具有很強(qiáng)的魯棒性。

圖8 蒙特卡洛仿真軌道根數(shù)變化曲線簇Fig.8 Profiles of the orbital elements run for Monte Carlo simulation