崔昌，石偉偉，胡珊珊*，覃夢(mèng)玲

(廣西大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，廣西 南寧 530004； 廣西科技信息網(wǎng)絡(luò)中心，廣西 南寧 530022)

0 引言

碳化硅陶瓷以其優(yōu)異的抗熱震、耐高溫、抗氧化和耐化學(xué)腐蝕等特性而廣泛地應(yīng)用于石油化工、汽車(chē)、機(jī)械和航空航天等工業(yè)領(lǐng)域中[1]。然而碳化硅陶瓷作為非金屬難加工材料，在加工過(guò)程中刀具的磨損劇烈，且易產(chǎn)生崩刀、斷刀等現(xiàn)象，因此加工時(shí)及時(shí)了解刀具的可靠度尤為重要[2-4]。在金屬加工領(lǐng)域中，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)多種加工條件下刀具的可靠性及可靠性模型理論開(kāi)展了大量研究，通過(guò)采集刀具信號(hào)特征并提取后，運(yùn)用了隨機(jī)響應(yīng)面法和蒙特卡羅抽樣等方法建立了可靠性估計(jì)模型，并對(duì)刀具的工作狀態(tài)分析和壽命預(yù)測(cè)[5-6]；文獻(xiàn)[7-9]基于可靠度函數(shù)計(jì)算并得到了更換刀具的最佳時(shí)間，并成功預(yù)測(cè)了刀具的磨損狀態(tài)。

而在非金屬材料加工領(lǐng)域，在宏觀和介觀尺度，非金屬材料的去除過(guò)程以脆性斷裂為主，其加工刀具的耐用度和可靠性與金屬加工刀具相去甚遠(yuǎn)，而國(guó)內(nèi)外針對(duì)非金屬材料加工的刀具的研究主要集中在探索刀具適用性及預(yù)測(cè)刀具磨損狀態(tài)等方面[10-12]，并不能準(zhǔn)確估計(jì)持續(xù)加工過(guò)程中刀具的可靠性。因此，為了研究加工非金屬脆硬材料刀具的可靠性，選用高溫?zé)Y(jié)制成的金剛石刀具，并選擇非金屬脆硬材料碳化硅陶瓷作為工件，通過(guò)采集刀具一定時(shí)間內(nèi)的持續(xù)磨損量作為刀具性能退化數(shù)據(jù)，并結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)中貝葉斯相關(guān)理論，建立了基于退化量正態(tài)分布的可靠性模型，來(lái)研究非金屬脆硬材料在加工過(guò)程中刀具的可靠性問(wèn)題。

1 可靠性建模方法

關(guān)于產(chǎn)品性能退化數(shù)據(jù)建模的方法很多，但由于碳化硅陶瓷孔加工試驗(yàn)時(shí)間長(zhǎng)、成本高，獲得的數(shù)據(jù)樣本小，因此本文通過(guò)采集刀具的持續(xù)磨損量，采用基于退化量分布的建模方法評(píng)估刀具的可靠性。具體建模流程見(jiàn)圖1。

1.1 確定分布模型

首先要確定刀具退化數(shù)據(jù)的分布模型，將采集到的刀具磨損量數(shù)據(jù)導(dǎo)入SPSS軟件，利用軟件中的P-P圖對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，然后對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行Weibull分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布、伽馬分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布等擬合，同時(shí)將各種分布擬合后的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，最后選取一種最適合描述刀具退化數(shù)據(jù)的分布模型，接著進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，根據(jù)數(shù)據(jù)的類型和特點(diǎn)選用的是非參數(shù)檢驗(yàn)中的K-S檢驗(yàn)。

1.2 確定先驗(yàn)分布

設(shè)x1，x2，…xn為實(shí)驗(yàn)的原始數(shù)據(jù)，且x1≤x2≤…≤xn為截尾數(shù)據(jù)。假設(shè)通過(guò)擬合確定最適合描述刀具退化數(shù)據(jù)的模型是正態(tài)分布，則可以確定先驗(yàn)分布如下：

正態(tài)分布概率密度函數(shù)為

(1)

可靠度函數(shù)為

(2)

式中：x>0;σ>0,為標(biāo)準(zhǔn)差;μ∈R,為均值。

通過(guò)使用最小二乘估計(jì)法對(duì)采集到的刀具退化數(shù)據(jù)回歸分析，可以得到正態(tài)分布中的參數(shù)μ、σ，并將參數(shù)μ、σ作為已知的樣本。為了擴(kuò)大樣本的數(shù)據(jù)，再對(duì)區(qū)間(0，1)上隨機(jī)數(shù)組e[n]抽樣，這里使用的是蒙特卡羅抽樣法，同時(shí)再反求出正態(tài)分布中的隨機(jī)變量，其中通過(guò)抽樣得到的樣本總數(shù)記為M組。

由蒙特卡羅抽樣公式有

(3)

抽樣結(jié)束后，需要對(duì)抽樣的數(shù)據(jù)x[n]先進(jìn)行排序，并將得到的數(shù)據(jù)依次同采集到的實(shí)驗(yàn)截尾數(shù)據(jù)對(duì)比，在比較中若第l個(gè)數(shù)據(jù)，有x[l]>D，則x[l]=D，通過(guò)這種方法可以得到相應(yīng)的抽樣數(shù)據(jù)，所得到的抽樣數(shù)據(jù)用最小二乘估計(jì)法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，這樣得到每組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的μi、σj，并將每組數(shù)據(jù)的參數(shù)估計(jì)值分別保存在其對(duì)應(yīng)的數(shù)組μ[i]、σ[j]，此時(shí)保存到每一個(gè)數(shù)組的值相互獨(dú)立，由此便可以得到μ和σ的聯(lián)合概率密度為

(4)

由貝葉斯統(tǒng)計(jì)相關(guān)理論可以得到μ、σ的聯(lián)合概率密度均為常數(shù)。

(5)

其中：i=1,2,…,M;j=1,2,…,M。上式(5)即為確定的先驗(yàn)分布公式。

1.3 貝葉斯公式計(jì)算

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，貝葉斯公式是計(jì)算概率的重要公式，其表達(dá)式為

(6)

在上式中，若刀具磨損量數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，則θ為正態(tài)分布中的μ、σ；g(θ)為θ的先驗(yàn)概率密度，g(θ|x)為對(duì)應(yīng)的后驗(yàn)信息；x為樣本X的觀測(cè)值；f(x)為關(guān)于x的函數(shù)；在給定θ時(shí)f(x|θ)可以看做X條件分布密度，可以近似地看作似然函數(shù)，即f(x|θ)=L(x|θ)。

當(dāng)參數(shù)樣本值已知的情況下，正態(tài)分布的概率密度函數(shù)可以看做條件分布。

(7)

似然函數(shù)為

(8)

其中：r為樣本個(gè)數(shù)。

由式(5)已知貝葉斯先驗(yàn)分布，并根據(jù)貝葉斯公式結(jié)合蒙特卡羅抽樣和先驗(yàn)信息即可以得到

(9)

式中：i，j=1，2，…，M。式(9)為關(guān)于μ、θ的貝葉斯后驗(yàn)概率密度公式[13]。

1.4 可靠度計(jì)算

在給定樣本的情況下，可靠度R可以看做一種函數(shù)，即R=f(m，η)，結(jié)合概率統(tǒng)計(jì)中分布函數(shù)相關(guān)知識(shí)，由此可以確定關(guān)于R的后驗(yàn)累計(jì)分布函數(shù)為

(10)

式中：m為形狀參數(shù)，η為尺度參數(shù)。

通過(guò)對(duì)公式(10)求導(dǎo)便可以得到分布函數(shù)對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)為

fR(r)=FR′(r)，0

(11)

然后，對(duì)概率密度函數(shù)積分可以得到可靠度每個(gè)點(diǎn)的估計(jì)值為

(12)

上述計(jì)算可靠度R值的方法顯然較為繁瑣，在實(shí)際加工過(guò)程中，為了更快速地計(jì)算可靠度的值，可以采用數(shù)值分析方法來(lái)求解。根據(jù)上述公式推導(dǎo)過(guò)程和式(9)，可以求出可靠度函數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值為

(13)

由式(13)可求出刀具在每一次固定測(cè)量時(shí)刻的可靠度Rj，表示為(tj，Rj),j=1,2,…,n，若在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中刀具性能退化數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，可以計(jì)算出刀具在某一確定時(shí)刻的可靠度，同時(shí)利用計(jì)算出的可靠度值對(duì)未知的參數(shù)估計(jì)，最后求出刀具的失效模型。

2 實(shí)驗(yàn)方案及設(shè)備

2.1 實(shí)驗(yàn)方案

在鉆削實(shí)驗(yàn)中，刀具磨損的影響因素有很多，但主要取決于機(jī)床主軸的轉(zhuǎn)速、刀具切削深度、進(jìn)給速度，而實(shí)驗(yàn)中采集到的最終數(shù)據(jù)是刀具在一定加工時(shí)間內(nèi)的磨損量，因此實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)每次鉆削相同的深度。結(jié)合實(shí)驗(yàn)設(shè)備和實(shí)際加工情況，經(jīng)過(guò)預(yù)實(shí)驗(yàn)反復(fù)探索最終得到適合本實(shí)驗(yàn)的最佳參數(shù)，主軸轉(zhuǎn)速n為7 000～10 000 r/min、進(jìn)給速度Vf為0.2～0.5 mm/min。實(shí)驗(yàn)采用3把刀具，分別記為刀具甲，刀具乙，刀具丙；采用直孔鉆削的加工方式；同時(shí)采用純油性切削液以澆注的方式冷卻，流速120 mL/min。采用單因素實(shí)驗(yàn)法進(jìn)行加工實(shí)驗(yàn)，所選因素水平見(jiàn)表1。

表1 實(shí)驗(yàn)各因素對(duì)應(yīng)水平Tab.1 Corresponding levels of each factor in the experiment

刀具磨損量的測(cè)量方法有很多，但是由于本實(shí)驗(yàn)所用的金剛石刀具的特殊性，刀具的磨損主要集中在工作層圓柱面和刀具唇面，考慮到實(shí)驗(yàn)所使用的刀具和工件材料均屬于脆硬材料，在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中不會(huì)出現(xiàn)黏刀等情況，結(jié)合眾多學(xué)者研究[14-16]，最終選擇鉆削前后刀具的質(zhì)量變化△M來(lái)評(píng)估刀具的磨損程度。

2.2 實(shí)驗(yàn)設(shè)備及材料

實(shí)驗(yàn)時(shí)所用的設(shè)備為日本FANUC的ROBODRILL_@-T14iFlb型數(shù)控機(jī)床，最高轉(zhuǎn)速為24 000 r/min；采用上海力辰科技有限公司生產(chǎn)的FA324TC高精度電子分析天平測(cè)量刀具磨損前后的質(zhì)量變化，測(cè)量精度為0.1 mg，最大稱量質(zhì)量320 mg。實(shí)驗(yàn)采用河南中拓磨料磨具有限公司生產(chǎn)的燒結(jié)金剛石鉆頭，該鉆頭既有金剛石強(qiáng)度高、耐磨性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，又具有硬質(zhì)合金抗沖擊性強(qiáng)度高、出刃大等特點(diǎn)，其基體材料為高速鋼，鉆頭外徑為5 mm，內(nèi)徑2 mm。工件材料選用浙江鑫飛達(dá)電子有限公司生產(chǎn)的無(wú)壓燒結(jié)碳化硅陶瓷，這種陶瓷以高純度、超精細(xì)的碳化硅粉為原料并加入適量的燒結(jié)助劑高溫?zé)Y(jié)制成，所得制品致密性良好。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與刀具可靠性分析

3.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，切削力和振動(dòng)等動(dòng)態(tài)信號(hào)從側(cè)面描述了加工狀況，但是刀具在固定測(cè)量時(shí)間前后的質(zhì)量變化ΔM更適合作為刀具性能退化數(shù)據(jù)，左轉(zhuǎn)速為8 500 r/min，進(jìn)給速度為0.5 mm/min工況下刀具持續(xù)磨損量的測(cè)量值見(jiàn)表2。

表2 刀具持續(xù)磨損量測(cè)量結(jié)果Tab.2 Measurement of toolwear duration

3.2 確定分布模型

以表2中刀具的磨損量為分析指標(biāo)，結(jié)合第1章提出的方法對(duì)刀具進(jìn)行可靠性分析，結(jié)合實(shí)際加工狀況以及與廠家溝通，將刀具失效閾值設(shè)為150×10-4g。首先借助SPSS軟件對(duì)刀具甲、刀具乙、刀具丙的磨損量按照1.1所述方法分布擬合，擬合后各分布的擬合偏差值見(jiàn)表3。

表3 擬合偏差值Tab.3 Fitting deviation value

本文的顯著性水平為α=0.05，通過(guò)表3可以看出：擬合后5種分布中正態(tài)分布的偏差值最小，這說(shuō)明正態(tài)分布更適合描述金剛石刀具鉆削碳化硅陶瓷的磨損量。接著根據(jù)K-S檢驗(yàn)理論對(duì)擬合后的分布進(jìn)行檢驗(yàn)，SPSS軟件結(jié)果顯示漸進(jìn)顯著性(雙側(cè)檢驗(yàn))的P值為0.200，大于給定的顯著性水平，進(jìn)一步說(shuō)明描述刀具磨損量最合適的分布為正態(tài)分布。

3.3 可靠性分析

由上述對(duì)刀具磨損量數(shù)據(jù)擬合的對(duì)比，已經(jīng)確定刀具磨損量△M最合適的分布為正態(tài)分布，正態(tài)分布概率密度函數(shù)為

(14)

累計(jì)分布函數(shù)為

(15)

上式可以轉(zhuǎn)換為

(16)

則將式(15)轉(zhuǎn)化為線性回歸方程:

y=a+bx。

(17)

為了求出t值，首先需要估計(jì)對(duì)F(w)，這里可以利用中位數(shù)的方法來(lái)估計(jì)對(duì)F(w)的值，表達(dá)式為

(18)

其中：i為在測(cè)量過(guò)程中刀具磨損量的順序，n為總的樣本數(shù)。然后利用線性回歸的方法對(duì)正態(tài)分布中的參數(shù)μ、σ進(jìn)行估計(jì)。

由式(17)可以估計(jì)出F(w)的值，利用最小二乘法結(jié)合測(cè)量的刀具磨損量計(jì)算出a和b的值，用MATLAB軟件編程計(jì)算出參數(shù)μ、σ的值，結(jié)果見(jiàn)表4。

表4 參數(shù)估計(jì)值Tab.4 Parameter estimates

以表4中刀具甲的參數(shù)估計(jì)值μ=95.247、σ=55.514為例，按照前文所述方法抽樣得到滿足刀具性能退化的數(shù)據(jù)，對(duì)不同的抽樣結(jié)果進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)抽樣在30次左右結(jié)果相對(duì)較為穩(wěn)定。并利用最小二乘法對(duì)每組抽樣數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，得到正態(tài)分布的參數(shù)μi、σj。

表5 抽樣樣本的參數(shù)估計(jì)值Tab.5 Parameter estimates of the samples

結(jié)合表5的參數(shù)估計(jì)值和貝葉斯公式求出參數(shù)μ、σ的概率分布，代入式(12)得到刀具甲在每個(gè)測(cè)量時(shí)刻的可靠度，同時(shí)根據(jù)以上方法計(jì)算出刀具乙的可靠度值，將2把刀具的可靠度值進(jìn)行擬合，最終得到2把刀具可靠度的變化趨勢(shì)見(jiàn)圖2。

圖2 刀具甲、乙可靠度隨時(shí)間的變化趨勢(shì)Fig.2 Reliability of tool A and B over time

為了更直觀地驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性，根據(jù)測(cè)量時(shí)刻刀具甲、刀具乙的可靠度值，聯(lián)合式(2)、(3)、(11)、(12)、(18)計(jì)算出二者的理論磨損量，結(jié)合上文中測(cè)得的實(shí)際磨損量，繪制出2把刀具的實(shí)際磨損量與理論磨損量對(duì)比曲線見(jiàn)圖3至圖4。

圖3 刀具甲實(shí)際磨損量與理論磨損量對(duì)比Fig.3 Comparison of actual and theoretical wear of tool A

圖4 刀具乙實(shí)際磨損量與理論磨損量對(duì)比Fig.4 Comparison of actual and theoretical wear of tool B

由圖3至圖4可以明顯看出：經(jīng)過(guò)計(jì)算，2把刀具實(shí)際磨損量與根據(jù)可靠度模型計(jì)算出的理論磨損量擬合的結(jié)果基本一致，最小誤差為1.3 %，最大誤差為7.6 %，證明了建立的可靠度分析模型具有較高的準(zhǔn)確性，結(jié)果表明通過(guò)這種方法可以準(zhǔn)確地估計(jì)刀具在每個(gè)時(shí)刻的可靠度，所得到的可靠度能夠反映刀具鉆削過(guò)程中實(shí)際的工作狀態(tài)，為加工過(guò)程中是否需要換刀提供理論參考。

4 結(jié)論

從碳化硅陶瓷加工過(guò)程中刀具的可靠度問(wèn)題出發(fā)，以最直觀的刀具磨損量作為描述刀具退化的指標(biāo)，從退化量的角度對(duì)刀具的可靠性進(jìn)行評(píng)估，并結(jié)合貝葉斯理論提出了刀具可靠性分析方法，從數(shù)學(xué)理論的角度建立了一種磨損量數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布的可靠度分析模型，對(duì)模型中的參數(shù)采用最小二乘法進(jìn)行估計(jì)計(jì)算，首先將實(shí)驗(yàn)中轉(zhuǎn)速為8 500 r/min，進(jìn)給速度5 mm/min下的2把刀具的磨損量ΔM進(jìn)行擬合分析并選擇合適的分布模型，后用貝葉斯理論確定先驗(yàn)分布，最終確定了刀具的可靠度模型，經(jīng)過(guò)計(jì)算得出了刀具在每個(gè)時(shí)刻的可靠度，并通過(guò)最后刀具實(shí)際的磨損量與根據(jù)可靠度模型計(jì)算出的磨損量對(duì)比，發(fā)現(xiàn)兩者誤差較小，從而驗(yàn)證了模型的可行性。結(jié)果表明這種方法可以準(zhǔn)確地估計(jì)刀具在每個(gè)時(shí)刻的可靠度，為更快速、準(zhǔn)確確定非金屬加工過(guò)程中刀具的可靠性提供了一種有效途徑。