李向陽,高志強

(1.自主系統(tǒng)與網(wǎng)絡(luò)控制教育部重點實驗室;華南理工大學自動化科學與工程學院,廣東廣州 510640;2.克里夫蘭州立大學電氣工程與計算機科學系,俄亥俄克里夫蘭44115,美國)

1 引言

自動控制系統(tǒng)的設(shè)計目標是使被控系統(tǒng)的運動狀態(tài)和系統(tǒng)的工程實現(xiàn)達到人們所期望的穩(wěn)定性、快速性、準確性和經(jīng)濟性等指標要求.由于被控系統(tǒng)的建模誤差和外部擾動等不確定性普遍存在,簡單的開環(huán)控制往往不能滿足人們對控制性能的期望,閉環(huán)反饋控制成為自動控制的基本方法.隨著控制理論研究的輸入,新型控制算法不斷被提出,但是實際工程中PID仍然占90%[1].不過,近年來隨著抗擾控制理論的逐步完善和抗擾控制算法的實際應(yīng)用效果被工業(yè)界所認可,特別是自抗擾控制(active disturbance rejection control,ADRC)被TI等多家公司固化到其數(shù)字信號處理器(digital signal processor,DSP)芯片和控制軟件中[2],情況有所改變,ADRC正在成為既PID之后另一種廣泛應(yīng)用的通用控制策略,在一些對控制性能要求較高的場合,ADRC有替代PID的趨勢.因此,探索抗擾控制的運行機理和不同抗擾控制方法之間的關(guān)系是非常必要的.

一般控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示,它是許多控制系統(tǒng)分析和綜合的基本框圖.圖1中:Gp是被控系統(tǒng);Gc是控制器;r,y,u和ξ分別是設(shè)定值、系統(tǒng)輸出、控制器輸出和外部擾動;e是設(shè)定值和系統(tǒng)輸出值之間的誤差、是控制器的輸入,控制器根據(jù)e來產(chǎn)生u;控制的目標是在外部擾動作用下仍然能保持該誤差在要求范圍內(nèi).

圖1 一般控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of the general control systems

圖1的一般控制系統(tǒng)只有一個控制器Gc可以調(diào)節(jié),是一自由度(one-degree of freedom,1–DOF)的誤差糾正控制系統(tǒng),1–DOF控制很難同時實現(xiàn)設(shè)定值跟蹤、保持被控對象在外部擾動、內(nèi)部結(jié)構(gòu)和參數(shù)變化后系統(tǒng)輸出的不變性,往往需要在不同控制性能指標之間尋找平衡,使得控制器參數(shù)的整定非常困難.PID控制算法雖然簡單通用,但是在PID控制器在投入實際工程中運行前,參數(shù)整定是一件非常費時費力的事情,而且隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化或者工況的改變,控制性能將變差,甚至出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象,更不用說實現(xiàn)優(yōu)化控制了.此時,往往需要重新再次整定PID控制器參數(shù),這個過程一直伴隨著控制系統(tǒng)的整個生命周期.于是,自適應(yīng)控制、魯棒控制、變結(jié)構(gòu)控制等各種控制方法被提出和不斷改進,這些方法從不同的角度來處理控制系統(tǒng)的不確定性,成為控制理論研究的重要領(lǐng)域,在一些能夠獲得被控對象的較精確模型的特定領(lǐng)域得到了應(yīng)用,它們豐富的理論成果對控制理論的其它方法也有啟發(fā)和借鑒作用.本文從抗擾的角度研究典型抗擾控制方法的內(nèi)在聯(lián)系及其它們所遵循的不變性原理,針對雙通道擾動補償控制、內(nèi)模控制(internal model control,IMC)、基于擾動觀測器的控制(disturbance observer-based control,DOBC)和ADRC的結(jié)構(gòu)所實現(xiàn)自由度及其每個自由度的功能,闡明不變性原理的不同表現(xiàn)形式,以便更好地理解和應(yīng)用抗擾控制方法,也為進一步更好地發(fā)展抗擾控制方法提供參考.

論文剩余部分安排如下:第2節(jié)陳述了雙通道擾動補償控制中的不變性原理,該擾動補償原理要求擾動可測量,后續(xù)章節(jié)研究了當擾動不測量時的抗擾方法;第3 節(jié)研究了1–DOF 和二自由度(two-degree of freedom,2–DOF)內(nèi)模控制結(jié)構(gòu)和抗擾原理,內(nèi)?？刂茖崿F(xiàn)了名義模型的不變性;第4節(jié)研究了線性DOBC的2–DOF的結(jié)構(gòu)和抗擾機制,DOBC通過擾動的估計和補償實現(xiàn)名義模型的不變性;第5節(jié)分析了ADRC的三自由度(three-degree of freedom,3–DOF)結(jié)構(gòu),在陳述實現(xiàn)線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)統(tǒng)一表示的積分器串聯(lián)模型的基礎(chǔ)上,介紹了3–DOF中每個自由度的具體算法,分析了ADRC中實現(xiàn)的標準積分串聯(lián)模型和準滑動模控制的兩種不變性原理的實現(xiàn)機制;最后,論文在第6節(jié)對全文進行了總結(jié).

2 雙通道擾動補償控制

圖1中的控制器Gc要同時克服外部擾動ξ跟蹤變化的參考信號r,這樣的控制器比較難以獲得較高的控制性能.但是,可以實時測量外部干擾ξ時,可按照圖2來設(shè)計一個補償控制器Gηξ,使其輸出η作用于被控對象Gp后對系統(tǒng)輸出y的影響與外部干擾ξ對系統(tǒng)輸出y的影響正好相反,考慮圖2中的符號,即有

式中Gyξ是外部干擾ξ到系統(tǒng)輸出y的傳遞函數(shù).

圖2 雙通道擾動補償控制Fig.2 Dual-channel disturbance compensation control

當式(1)成立時,從u到輸出y的傳遞函數(shù)Gyu為

即Gyu與外擾ξ無關(guān),實現(xiàn)了外擾對系統(tǒng)輸出的不變性.圖2通過建立一個新的擾動通道來產(chǎn)生η并在系統(tǒng)輸入中進行補償,補償量的大小和相位與原來外擾對系統(tǒng)輸出的通道相同,使外擾ξ經(jīng)過雙通道在系統(tǒng)輸出的影響相互抵消,雙通道擾動補償控制原理又稱絕對不變性原理,前蘇聯(lián)者學者G.V.Schipanov在1939年提出,并經(jīng)J.Preminger進一步發(fā)展使其在1960年后得到廣泛接受和大量應(yīng)用[3],其實,從技術(shù)實現(xiàn)的角度來看,中國古代指南車的運行機制就蘊含不變性原理[4].

圖2中存在主控制器Gc和補償控制器Gηξ兩個控制器,是一個2–DOF控制系統(tǒng),參數(shù)整定可以分開進行.補償控制實現(xiàn)抗外擾;設(shè)定值跟隨和抗擊被控對象Gp參數(shù)變化的內(nèi)擾仍然由主控制器同時完成.在實現(xiàn)方面,雙通道擾動補償控制要求擾動可測量,需要安裝相應(yīng)的傳感器,有時在實際工程中難以實現(xiàn).內(nèi)?？刂仆ㄟ^引入模型誤差反饋來實現(xiàn)不變性原理,達到抗擾的目的,內(nèi)模控制方法不要求擾動可測量.

3 內(nèi)?？刂?/h2>

內(nèi)模控制理論作為控制系統(tǒng)設(shè)計方法一般方法在1980年左右形成[5–6].圖3是內(nèi)?？刂频南到y(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,Gn是被控對象的標稱模型,GIMC是內(nèi)模控制器,d是等效到被控系統(tǒng)輸入側(cè)的外部擾動.為陳述內(nèi)?？刂频幕驹?假設(shè)Gp是最小相位系統(tǒng),則GIMC一般采用式(3)的取法,式中,Q為適當階次的低通濾波器,滿足式(4),GIMC依賴于Gn,Q的階次一般取比GIMC至少高一階,以保證內(nèi)模控制器GIMC可物理實現(xiàn),內(nèi)?？刂剖腔谀Ｐ偷?

注1本文中的符號表示中,沒有特別說明時,可以理解為頻域表示或者時域表示.

圖3 內(nèi)?？刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.3 Structure of internal mode control system

由圖3,有

從式(6)可以看出,σ是由模型誤差(Gp?Gn)和外部等效擾動d產(chǎn)生的.把式(3)代入式(5)有

由式(4)有

當Gn=Gp時,有

從式(8)可知,內(nèi)?？刂茖崿F(xiàn)了對設(shè)定值的跟蹤;從式(9)可知,σ是模型誤差(Gp?Gn)和外部等效擾動d引起系統(tǒng)輸出的綜合誤差,該誤差還與設(shè)定值有關(guān).為了實現(xiàn)對設(shè)定值跟蹤問題和擾動估計的分離,把圖3的GIMC向前移出相加點,并分別用Gff和Gfb代替,如圖4所示.當GIMC=Gff=Gfb時,圖4與圖3等價;當Gff和Gfb可以獨立調(diào)節(jié)時,圖4為2–DOF內(nèi)?？刂葡到y(tǒng),是對圖3的內(nèi)模控制系統(tǒng)的改進.

圖4 2–DOF內(nèi)?？刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.4 Structure of 2–DOF IMC system

圖4的2–DOF內(nèi)?？刂浦?Gff和Gfb分別用于設(shè)定值跟蹤和抗擾.按照與式(3)同樣的設(shè)計有

于是有

因此有

式(17)的Qr可選擇不同于Q低通濾波器,以便滿足一定控制性能指標要求,但同樣有

由式(13)–(14)和式(17)有

從式(7)和式(19)對比可以看出,采用2–DOF內(nèi)?？刂瓶梢詫崿F(xiàn)抗擾和設(shè)定值跟蹤分別由兩個不同的濾波器Qd和Qr來完成,實現(xiàn)了設(shè)定值跟蹤控制和擾動補償控制的解耦,簡化了參數(shù)調(diào)整.

4 基于擾動觀測器的控制

當圖4的模型誤差和外部擾動較大時,或者對控制性能要求較高時,采用前饋控制器Gff很難達到性能指標要求.把圖4的Gfb等價地移到相加點之前,并用代替,為了進一步提高控制系統(tǒng)性能,把前饋控制Gff改為反饋控制Gc而得到圖5的線性DOBC系統(tǒng).

由于圖5中虛線框具有擾動估計能力,因此叫擾動觀測器[7],整個2–DOF控制系統(tǒng)叫DOBC.一般情況下,標稱模型Gn與實際對象模型Gp是有誤差的,設(shè)

把式(20)代入式(14)和式(13)有

當Qd的帶寬比d和?Gp大四倍以上時,有

圖5 二自由度的線性DOBCFig.5 Linear DOBC with 2–DOF

圖6 帶狀態(tài)觀測器的線性DOBC系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.6 Structure diagram of linear DOBC system with state observer

5 自抗擾控制

ADRC是中國科學院韓京清先生在1998年系統(tǒng)地提出來的、能同時處理線性和非線性系統(tǒng)的一套完整的理論[9–10],經(jīng)過20來年的發(fā)展,ADRC在理論方面得到了一定假設(shè)條件下的證明,在應(yīng)用方面飛速發(fā)展,成為控制工程中重要的通用控制范式和算法.韓京清先生反思現(xiàn)代控制理論的現(xiàn)狀,認為盡管其理論非常完善,但由于其控制方法的有效性過于依賴于被控對象的精確模型,以致其適應(yīng)性不強和可移植性差,因而很難在實際工業(yè)中大量應(yīng)用;相反,由于經(jīng)典PID控制器采用基于誤差來消除誤差的原理,其對被控對象的模型精度要求不高,而得到廣泛應(yīng)用.ADRC不僅吸收了PID控制的優(yōu)點,而且韓京清先生在研究線性和非線性被控對象的輸入輸出模型關(guān)系后,指出在一定條件下,線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)可以統(tǒng)一采用積分器串聯(lián)模型來表示,俗稱韓式標準型.該標準型中未知非線性部分為時變信號,并只在最高次方程中出現(xiàn),ADRC 用韓式標準型這種時變局部模型代替以往控制系統(tǒng)(包括前述的IMC和DOBC)設(shè)計中所采用的系統(tǒng)全局模型,這為ADRC可以同時解決線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的控制問題以及吸收現(xiàn)代控制理論中的觀測器研究成果提供了基礎(chǔ)[11–12];此外韓京清先生還創(chuàng)新地提出了ESO[8]、跟蹤微分器(tracking differentiator,TD)[13]和非線性狀態(tài)誤差反饋控制律(nonlinear state error feedback,NLSEF)[14]的思想和具體算法,最終形成了完整的理論體系[15–18].ADRC把圖6帶狀態(tài)觀測器的線性DOBC中的擾動觀測器和狀態(tài)觀測器合并為ESO,并保留圖4的2–DOF內(nèi)?？刂频那梆伩刂骗h(huán)節(jié),得到3–DOF的ADRC控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu),如圖7所示.

3–DOF的ADRC第1個自由度為參考信號發(fā)生器,其作用相當于模型跟蹤控制系統(tǒng)中的參考模型,不僅用于安排過渡過程、處理被控系統(tǒng)輸出超調(diào)性和快速性的矛盾,更重要的是可以采用參考信號發(fā)生器的參考模型來表示控制系統(tǒng)的設(shè)計指標,克服了最優(yōu)控制中采用性能指標函數(shù)較難表示設(shè)計目標的問題;ADRC把參考信號發(fā)生器的參考模型作為控制系統(tǒng)的一部分,而控制器使被控對象的輸出與參考信號之間的誤差達到最小,間接實現(xiàn)了最優(yōu)控制性能指標.韓京清先生還提出了TD及其多種具體形式來設(shè)計參考模型.ADRC的第2自由度為ESO,用于估計系統(tǒng)等效總擾動和系統(tǒng)狀態(tài);當把系統(tǒng)等效總擾動加入系統(tǒng)控制輸入中實現(xiàn)總擾動補償控制后,圖7中虛線框?qū)⒌刃橐粋€近似積分串聯(lián)型確定系統(tǒng),為整個控制系統(tǒng)在外部擾動和內(nèi)部參數(shù)變化下仍能保持良好控制品質(zhì)奠定了基礎(chǔ).ADRC的第3自由度為基于狀態(tài)誤差的反饋控制率,具有PID控制基于誤差反饋的優(yōu)點,實現(xiàn)了圖7中虛線框的等效近似確定系統(tǒng)的輸出(即原被控系統(tǒng)的輸出)跟隨第1自由度的參考信號發(fā)生器的輸出,從而實現(xiàn)控制目標.ADRC的3–DOF結(jié)構(gòu)刻畫了控制系統(tǒng)設(shè)計優(yōu)化目標、實現(xiàn)了抗擾控制和誤差收斂控制的分離和解耦,表面上看ADRC需要整定的參數(shù)比PID控制器的參數(shù)多,但由于ADRC三個部分可以根據(jù)系統(tǒng)性能和約束條件獨立整定,實際上控制系統(tǒng)的綜合和參數(shù)整定比PID控制器更加容易.

圖7 具有3–DOF的ADRC系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.7 System structure of ADRC with 3–DOF

下面以圖7為基礎(chǔ)分析ADRC的關(guān)鍵思想和其中體現(xiàn)的兩種不變性原理.

5.1 被控系統(tǒng)的積分器串聯(lián)規(guī)范型

ADRC采用積分器串聯(lián)規(guī)范型來刻畫被控對象的輸入和輸出關(guān)系[19],如式(25):

式中:u和y為被控系統(tǒng)的輸入和輸出,xi(i=1,2,···,n)是系統(tǒng)狀態(tài)變量,n為系統(tǒng)階次,xT=[x1···xn],f(x,t,d(t))是包含外擾d(t)在內(nèi)的系統(tǒng)不確定項,b(x,t)為系統(tǒng)增益.

在非線性系統(tǒng)控制的微分幾何方法中,當非線性系統(tǒng)滿足一定條件時,也可以通過坐標變化和反饋線性化的方法化為式(25)形式,但是微分幾何方法中要求非線性系統(tǒng)具有精確的數(shù)學模型;在非線性微分平坦系統(tǒng)控制方法中,采用微分代數(shù)方法也化成為式(25)形式,但是實際被控系統(tǒng)的微分平坦性比較難以驗證,實際上,一些不滿足微分平坦性的系統(tǒng)如欠驅(qū)動系統(tǒng)也是化為式(25)的,因此,式(25)具有普遍性,可以作為相當一大類非線性系統(tǒng)的典型描述.

把模型中的f(x,t,d(t))和b(x,t)的已知部分和未知不確定部分分開后有

式(26)中:f0(x,t)和b0(x,t)≠0為已知,f1(t)為所有未知不確定部分的總和,稱為在ADRC范式中稱為系統(tǒng)等效總擾,是ESO中的擴張狀態(tài).式(26)的SISO積分器串聯(lián)模型中,狀態(tài)變量為系統(tǒng)的相變量,即輸出y及其各階導數(shù),采用相變量作為狀態(tài)變量為后續(xù)具有PID類型的狀態(tài)反饋控制率提供了基礎(chǔ),系統(tǒng)的等效總擾動和系統(tǒng)的控制輸入同時出現(xiàn)在n方程中,干擾和控制自然是匹配的,因此不存在控制量與干擾量的匹配問題.

積分串聯(lián)模型只需要模型的階次和對b的粗略估計即可,系統(tǒng)的不確定性歸結(jié)為系統(tǒng)等效總擾動,而該總擾動由系統(tǒng)實際運行過程中的輸入輸出數(shù)據(jù)通過ESO實時估計出來,與參數(shù)自適應(yīng)控制不同,ADRC并不需要產(chǎn)生總擾動的具體模型,因此,ADRC不依賴被控對象的精確模型,具有數(shù)據(jù)驅(qū)動控制的特點,一組ADRC的控制器和觀測器參數(shù)可以適應(yīng)一大類時變非線性控制系統(tǒng).

5.2 ADRC范式中的算法

韓京清不僅提出了ADRC范式、系統(tǒng)等效總擾動和非線性積分串聯(lián)模型,還給出了ADRC范式中每個自由度的高效實用算法.

針對第1個自由度的用于安排過渡過程的參考信號發(fā)生器,韓京清提出了如式(27)的TD:

式中:R>1為使vi(t)跟隨設(shè)定值r快慢的可調(diào)參數(shù),稱為TD的速度因子;gTD是使式(28)收斂到原點的任意函數(shù),可為線性或者非線性函數(shù),因此TD有包括最速TD、線性TD等多種形式.由于非線性可以實現(xiàn)有限時間收斂,因此在用于控制系統(tǒng)安排過程時,常用非線性有限時間TD.

針對第2 個自由度,韓京清提出了對應(yīng)式(26)的ESO,如式(29):

式中g(shù)i(i=1,···,n+1)為設(shè)計的函數(shù),它使ESO穩(wěn)定且1及其各階導數(shù)收斂到x1及其各階導數(shù),特別地,收斂到f1.韓京清先生選取了一種具有較好收斂速度的函數(shù),如式(30)所示:

式中:0<αoi1,δo>0.特別地,當αoi=1時,得到線性ESO(linear ESO,LESO),如式(31)所示:

式中參數(shù)βi的整定可以采用高志強先生提出的帶寬法來整定[20],設(shè)ωo為ESO的帶寬,βi取二項式式(33)的系數(shù).

理論和實踐都表明,即使采用LESO也對式(26)的等效總擾動有很好的估計能力,這也是ADRC適用性強的一個重要原因.針對第3個自由度,韓京清提出協(xié)調(diào)第1自由度的參考信號產(chǎn)生系統(tǒng)和第2自由度的抗擾后的廣義被控系統(tǒng)的NSEF,使廣義被控系統(tǒng)的輸出跟隨參考信號,且滿足一定的性能指標.

式中:ki為增益系數(shù),可選0.5αci1,δc>0.特別地,當αci=1 時,得到線性狀態(tài)誤差反饋(linear state error feedback,LSEF)控制律,是一種PD(n?1)控制律.

式中:參數(shù)ki的整定也可以采用高志強先生提出的帶寬來整定[20],ωc為LSEF的帶寬,ki取二項式式(39)的系數(shù).

由于高志強先生的帶寬整定LESO參數(shù)方法的提出,加速了ADRC的嵌入式系統(tǒng)芯片集成化和工業(yè)控制軟件組件化的實現(xiàn),為ADRC的大量應(yīng)用提供了基礎(chǔ),ADRC能夠一致地處理線性和非線性系統(tǒng),即使采用線性ADRC也對非線性系統(tǒng)具有較好的適應(yīng)性.陳文華先生在線性DOBC的基礎(chǔ)上,提出了非線性DOBC[21],它可以較好地處理非線性系統(tǒng)的擾動問題,但是并沒有像ADRC那樣把系統(tǒng)的狀態(tài)和擾動同時估計出來;非線性DOBC和ADRC的擾動估計能力和具體算法之間的關(guān)系將在今后的論文中討論.

5.3 ADRC中的不變性

把式(36)代入式(26),并考慮ESO的收斂性[22–24]和ESO 經(jīng)過一個短時的過渡過程之后有f1(t),則有

采用單位增益,提高了SEF控制器的可移植性.把式(35)代入式(41),有

由前述參數(shù)ki的選擇可知,S1和S2分別為穩(wěn)定的線性滑動模和非線性分數(shù)階滑動模,對于這兩種滑動模,有定理1;在陳述定理1之前,先介紹準滑動模和準滑動模帶寬的概念以及引理1.

由參考文獻[22,24]離散系統(tǒng)的準滑動模和準滑動模帶寬的定義,可以對連續(xù)系統(tǒng)(26)的準滑動模和準滑動模的寬度做類似如下定義.

定義1若系統(tǒng)(26)的運動狀態(tài)構(gòu)成的滑動模S(t)(如上述S1(t)和S2(t))滿足|S(t)|ε(t),其中ε(t)0,則稱系統(tǒng)的滑動模S(t)=0在其ε(t)鄰域內(nèi)作做準滑動模(quasi-sliding mode)運動,ε(t)稱為準滑模的寬度(quasi-sliding mode band).

引理1給出了fal函數(shù)的性態(tài).

引理1ADRC系列算法中的fal(z,α,δ)函數(shù)

其中:z為實數(shù),0<α1,δ >0,則下列不等式成立:

式中z1和z2為實數(shù),且|z2|δ.

證為表示方便,令g(z)=fal(z,α,δ),則容易驗證g(z)是連續(xù)和分段可導函數(shù).

當z0時,有

由于0<α1,δ >0,因此fal(z,α,δ)的一階導數(shù)大于零,是增函數(shù),二階導數(shù)小于等于零,且在導數(shù)不連續(xù)點有左導數(shù)大于等于右導數(shù),即有

因此,當z0 時fal(z,α,δ)是凹函數(shù);根據(jù)該函數(shù)關(guān)于原點的對稱性,當z0 時fal(z,α,δ)為凸函數(shù);fal(z,α,δ)在整個定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù).

根據(jù)z1和z1+|z2|分別處于線性區(qū)和非線性區(qū),共可以分成4種情況,證明過程中通過z=δ的點進行過渡.

1)當z1和z1+|z2|都處于線性區(qū)間時,由線性系統(tǒng)性質(zhì)顯然有

2)當z1處于線性區(qū),而z1+|z2|處于非線性區(qū)間時,根據(jù)微分中值定理有

其中δζ1(z1+|z2|).

3)當z1處于非線性區(qū)間,而z1+|z2|處于線性區(qū)間時,一定有z1?δ,根據(jù)式(46)的線性系統(tǒng)的性質(zhì)有

應(yīng)用微分中值定理和式(50)–(51)有

式中?δζ2z1.把上述式(55)代入式(54),可知式(53)成立.

4)當z1和z1+|z2|都處于非線性區(qū)間時,應(yīng)用微分中值定理和式(50)–(51)有

式中z1ζ3z1+|z2|.由g(z)的單調(diào)性和上述討論可知最終有

即式(47)成立. 證畢.

定理1在ADRC中,當采用TD安排設(shè)定值過渡過程、采用ESO(29)和LESO(31)進行系統(tǒng)狀態(tài)和擴張狀態(tài)進行估計時,采用如式(44)的非線性分數(shù)階滑動模和式(43)的線性滑動模,則非線性反饋控制律SEF(34)和線性反饋控制律LSEF(37)可以實現(xiàn)系統(tǒng)(26)的準滑動?？刂?

證由式(26)–(27)(35)和式(36)可得

在線性控制律(37)控制下,把式(37)代入式(57)中后再代入式(43)中有

由LESO(31)的收斂性[21,25–26]有

在非線性控制律(34)控制下,把式(34)代入式(57)中后再代入式(44)中有

由ESO(29)的收斂性[27]可知,在ESO運行一段時間后有則由引理1的式(46)有

把式(61)代入式(60)有

再由ESO(30)的收斂性[25–27]有

式(59)和(63)中的ε1(t)和ε2(t)表示ESO中系統(tǒng)狀態(tài)和擴展狀態(tài)估計誤差絕對值的線性和非線性累加和,它們隨著系統(tǒng)狀態(tài)和擴展狀態(tài)的估計誤差趨于零而趨于零或者趨于原點的一個可接受的鄰域范圍,鄰域大小由LESO和ESO的工作參數(shù)(如帶寬)和被控系統(tǒng)的擾動頻率確定;而SEF(34)和LSEF(37)的工作參數(shù)確定滑動面誤差中每個分量的比例.因此,式(43)的S1和式(44)的S2的為滑動?？刂频幕瑒幽?而ε1(t)和ε2(t)為準滑動模的寬度,是一個時變函數(shù),ADRC實現(xiàn)了在理想滑動模鄰域內(nèi)的準滑動?？刂?

證畢.

注2工程實際中,ESO有一個收斂過程,特別在初始階段時,當ESO的初始值與被控系統(tǒng)狀態(tài)初始值相差較大時,往往會出現(xiàn)峰值現(xiàn)象(peaking phenomenon),此時的收斂性和也將出現(xiàn)峰值現(xiàn)象,離理想的滑動模比較遠,避免峰值現(xiàn)象對控制的影響的有效方法之一是先投入ESO,待峰值現(xiàn)象過后,再投入控制.

ADRC通過ESO和SEF控制律實現(xiàn)了積分器串聯(lián)模型不變性和全程準滑動?？刂?因沒有控制量的高頻切換,不存在高頻抖振現(xiàn)象,實現(xiàn)了對外部擾動和模型不確定的不變性、滑動模以外擾動的不變性.

6 結(jié)論

不變性原理是抗擾控制的基礎(chǔ),雙通道前饋補償實現(xiàn)了外部可測擾動作用下系統(tǒng)輸出的不變性;內(nèi)?？刂坪虳OBC通過模型誤差和濾波器來估計出作用于被控對象的等效干擾,并采用反饋補償方式來抗擾使廣義被控對象在擾動作用下保持為名義模型,實現(xiàn)了廣義被控對象模型不變性;ADRC為3–DOF的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu),采用積分串聯(lián)模型統(tǒng)一表示線性和非線性被控對象,通過ESO同時估計出系統(tǒng)狀態(tài)(相變量)和總擾動,通過總擾動補償實現(xiàn)在內(nèi)擾和外擾作用下保持廣義被控對象為單位積分器串聯(lián)模型.雙通道前饋補償要求擾動可測量,且與內(nèi)?？刂坪虳OBC一樣,都要求較精確的數(shù)學模型;ADRC對原有被控對象所需的信息量較小,適應(yīng)性強,具有明顯的數(shù)據(jù)驅(qū)動控制特征,能夠通過嵌入式系統(tǒng)硬件和工業(yè)軟件組件的方式來現(xiàn)實.此外,ADRC采用TD不僅安排了過渡過程,而且以模型的方式表示了控制系統(tǒng)的性能指標,SEF的狀態(tài)誤差反饋控制律實現(xiàn)了沒有抖振的準滑模控制,保持了滑動模的不變性和魯棒性.

從一般控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)到內(nèi)?？刂?再到DOBC,最后到ADRC,雖然可以通過方框圖等價變換方法變?yōu)橄嗤蛘呦嗨平Y(jié)構(gòu),但是從物理意義上來說顯然是不等效的.正是由于ADRC 采用積分器串聯(lián)模型和3–DOF結(jié)構(gòu)使得每個自由度具有明顯的物理意義,實現(xiàn)了優(yōu)化、抗擾和準滑模不變性的解耦,大大簡化了工程實現(xiàn)和參數(shù)整定,特別是ADRC的帶寬參數(shù)整定方法的提出,為大量普及ADRC在工業(yè)中的應(yīng)用鋪平了道路.再次驗證了我國著名數(shù)學家馮康的名言“反映物質(zhì)世界的一個物理問題可以有多個數(shù)學表達形式,這些數(shù)學形式在理論上是等價的,但在實踐中未必等效.”[28–29]ADRC通過解耦解決了控制系統(tǒng)設(shè)計和綜合中工業(yè)界所關(guān)心性能、抗擾和不變性等問題,縮小了控制科學與控制工程長期存在的鴻溝.

ADRC范式是一個開放的體系結(jié)構(gòu),除了韓京清先生給出的每個自由度的經(jīng)典算法外,還有MFC的微分代數(shù)實現(xiàn)算法,它與經(jīng)典ADRC算法的對比研究是下一步的工作;非線性DOBC是線性DOBC的重要發(fā)展,它與ADRC在非線性控制算法的內(nèi)在聯(lián)系和具體算法的區(qū)別也將在以后的研究工作中完成.隨著ADRC范式和相關(guān)算法的理論研究的深入以及ADRC平臺技術(shù)的多樣化,ADRC將成為一種廣泛使用的控制技術(shù).