王偉 黃鵬飛 黃嬋

摘 要：假定養(yǎng)老金管理者投資的終止時(shí)間是不確定的，研究風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格滿(mǎn)足馬爾可夫調(diào)節(jié)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問(wèn)題。通過(guò)隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法和HJB方程，得到最優(yōu)投資策略。最后，通過(guò)數(shù)值例子分析市場(chǎng)的模型參數(shù)對(duì)最優(yōu)投資策略的影響，

關(guān)鍵詞：繳費(fèi)型養(yǎng)老金;最優(yōu)投資;HJB方程;指數(shù)效用函數(shù)

中圖分類(lèi)號(hào)：F830? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? 文章編號(hào)：1673-291X（2020）04-0063-06

引言

確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的投保人按照固定繳費(fèi)率繳費(fèi)，到退休時(shí)領(lǐng)取的養(yǎng)老金完全取決于其個(gè)人賬戶(hù)的繳費(fèi)及其投資收益。由于確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的特點(diǎn)是投保人退休后待遇不能確定，賬戶(hù)和基金的投資風(fēng)險(xiǎn)全部由投保人個(gè)人承擔(dān)，因此如何實(shí)現(xiàn)確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資成為金融理論界非常關(guān)心的問(wèn)題。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者在這方面做了很多研究。Thomson建立了一個(gè)連續(xù)時(shí)間動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型，利用退休時(shí)刻財(cái)富的期望效用最大化準(zhǔn)則，得到了確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資策略[1]。Gao考慮了對(duì)數(shù)效用函數(shù)，通過(guò)Legendre轉(zhuǎn)換和對(duì)偶理論，獲得了確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的最優(yōu)資產(chǎn)配置的顯式解[2]。Battocchio和Menoncin進(jìn)一步假定養(yǎng)老金繳存人員的工資是隨機(jī)的且市場(chǎng)中存在通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)，得到了該模型下確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資策略[3]。谷愛(ài)玲等假定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格滿(mǎn)足Ornstein-Uhlenbeck模型，研究了冪效用函數(shù)下確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問(wèn)題[4]。王偉和甘少波假定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格服從馬爾可夫調(diào)制的幾何布朗運(yùn)動(dòng)且市場(chǎng)中的貸款利率高于存款利率，采用隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理得到了確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資策略[5]。

以上的文獻(xiàn)都是假定投資終止時(shí)間是確定的。然而，在實(shí)際生活當(dāng)中，投資的終止時(shí)間不一定是確定的，很多時(shí)候一些突發(fā)原因會(huì)造成投資者提前終止投資，例如：投資者死亡或發(fā)生破產(chǎn)等。郭文旌和胡奇英在投資終止時(shí)間不確定的條件下，研究了多階段最優(yōu)投資組合問(wèn)題[6]。Li和Xie同樣在投資終止時(shí)間不確定的條件下，研究了多階段均值—方差框架下的資產(chǎn)—債務(wù)管理問(wèn)題[7]。Yi等考慮了一個(gè)連續(xù)時(shí)間均值方差模型，并且假定企業(yè)員工收入是隨機(jī)的，研究了該模型下不確定退出時(shí)間時(shí)的最優(yōu)投資組合問(wèn)題[8]。姚海祥等進(jìn)一步考慮市場(chǎng)中存在通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)，利用隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法和Lagrang對(duì)偶原理得到了最優(yōu)投資策略和有效邊界[9]。與這些文獻(xiàn)不同的是，本文考慮了經(jīng)濟(jì)狀態(tài)對(duì)投資策略的影響，利用一連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈來(lái)描述經(jīng)濟(jì)狀態(tài)，假定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格滿(mǎn)足馬爾可夫調(diào)節(jié)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型，并研究了當(dāng)投資時(shí)間為隨機(jī)終止情況時(shí)確定繳費(fèi)型的最優(yōu)投資問(wèn)題。

本文結(jié)構(gòu)如下：第二節(jié)介紹金融模型和一些基本假設(shè)，第三節(jié)考慮了一般效用函數(shù)下的確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問(wèn)題，第四節(jié)給出了指數(shù)效用函數(shù)下的最優(yōu)投資策略，第五節(jié)通過(guò)數(shù)值結(jié)果分析了模型參數(shù)對(duì)最優(yōu)策略的影響，第六節(jié)給出了結(jié)論。

在下頁(yè)圖1中，我們考慮了市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)狀態(tài)處于“牛市”時(shí)絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)？酌對(duì)最優(yōu)投資策略π*的影響。從圖1可以看出，隨著絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)？酌的增加，養(yǎng)老金投資者購(gòu)買(mǎi)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例越來(lái)越小，這是因?yàn)橥顿Y者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度越高，越不愿意投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，而寧愿選擇購(gòu)買(mǎi)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。

在下頁(yè)圖2中，我們考慮了市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)狀態(tài)處于“熊市”時(shí)絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)？酌對(duì)最優(yōu)投資策略π*的影響。與圖1的結(jié)果一樣，隨著絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)？酌的增加，養(yǎng)老金投資者購(gòu)買(mǎi)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例越來(lái)越小，造成這個(gè)結(jié)果的原因也是一樣的。然而，對(duì)比圖1和圖2我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)市場(chǎng)處于“牛市”時(shí)，投資者購(gòu)買(mǎi)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例是高于市場(chǎng)處于“熊市”時(shí)購(gòu)買(mǎi)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例的。這是因?yàn)楫?dāng)市場(chǎng)處于“牛市”時(shí)，投資者從風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中獲得的回報(bào)是高于市場(chǎng)處于“熊市”時(shí)的回報(bào)。此外，我們不僅假定了市場(chǎng)處于“牛市”時(shí)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的回報(bào)率高于市場(chǎng)處于“熊市”的時(shí)候，還假定了“牛市”時(shí)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率低于處于“熊市”的時(shí)候，而波動(dòng)率越高，風(fēng)險(xiǎn)越大，投資者投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的興趣就會(huì)減少，這個(gè)現(xiàn)象在下頁(yè)圖5和圖6中可以發(fā)現(xiàn)。

在圖3和下頁(yè)圖4中，我們分別考慮了市場(chǎng)處于不同狀態(tài)時(shí)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的回報(bào)率對(duì)最優(yōu)投資策略的影響。從這兩個(gè)圖可以發(fā)現(xiàn)，無(wú)論市場(chǎng)處于“牛市”還是“熊市”，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的回報(bào)率越高，投資者對(duì)該資產(chǎn)的投資比例也越高，這符合市場(chǎng)規(guī)律，投資者投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的目的就是追求高回報(bào)率。

在圖5和圖6中，我們分別考慮了市場(chǎng)處于不同狀態(tài)時(shí)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率對(duì)最優(yōu)投資策略的影響。從這兩個(gè)圖可以看到，隨著波動(dòng)率的增加，投資者投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例在減小，這是由于波動(dòng)率越大，投資該風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)也越高，較高的風(fēng)險(xiǎn)會(huì)降低投資者的興趣，因此風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率對(duì)投資比例是負(fù)的影響。

結(jié)語(yǔ)

本文采用隨機(jī)控制中的一些方法對(duì)不確定終止時(shí)間時(shí)確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問(wèn)題進(jìn)行了研究，并利用HJB方程和驗(yàn)證定理得到了指數(shù)效用函數(shù)下最優(yōu)投資策略的顯示解，最后給出了最優(yōu)投資策略的數(shù)值結(jié)果，并分析了模型參數(shù)對(duì)最優(yōu)投資策略的影響。通過(guò)數(shù)值結(jié)果我們得到以下結(jié)論：一是在不同市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)狀態(tài)下最優(yōu)投資策略是有明顯差別的，說(shuō)明市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)狀態(tài)對(duì)投資者的投資決策有很大的影響;二是絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)？酌和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率越大，投資者購(gòu)買(mǎi)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例越低，表明投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度和資產(chǎn)的價(jià)格波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)投資決策的影響也是不可忽視的;三是最優(yōu)投資策略π*（t）關(guān)于？滋遞增，這意味著風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的回報(bào)率越高，投資者將增加購(gòu)買(mǎi)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例。

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Optimal Investment Strategies for a Defined Contribution Plan Under a Stochastic Time Horizon

WANG Wei，HUANG Peng-fei，HUANG Chan

（School of Mathematics and Statistics，Ningbo University，Ningbo 315211，China）

Abstract：This paper supposes that the pension managers can invest risky assets and the termination time is uncertain，we study the problem of an optimal portfolio strategy for a defined contribution pension plan when the dynamics of a risky asset follows a Markov-modulated geometric Brownian motion.By applying stochastic dynamic programming approach and the HJB equation，we obtain the optimal investment strategies.Finally，some numerical examples are provided to analyze the effects of the model parameters on the optimal investment strategies.

Key words：contributory pension;optimal portfolio;HJB equation;exponential utility function