朱仁江

摘? ? 要：“形”能直觀，“數(shù)”能入微，數(shù)形結(jié)合發(fā)揮形的生動性和直觀性，發(fā)揮數(shù)的思路的規(guī)范性與算法性.運用合情推理進行問題結(jié)論的探索與發(fā)現(xiàn)，用演繹推理加以證明，彰顯合情推理是方向、演繹推理是關(guān)鍵的數(shù)學探究過程.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;合情推理;演繹推理

筆者在學生學習了《有理數(shù)》《整式的加減》兩個章節(jié)后，適時以“距離”為題開設(shè)一節(jié)數(shù)學拓展課，將“絕對值”和“距離”兩者有效融合，使“數(shù)”和“形”兩方面緊密結(jié)合，讓學生感受數(shù)形結(jié)合思想的萌芽過程，感受數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學學習中的重要性，并學會利用數(shù)形結(jié)合的方法解決實際問題. 同時運用合情推理進行問題結(jié)論的探索和發(fā)現(xiàn)，用演繹推理加以證明，兩者相輔相成，使“絕對值”內(nèi)容的教學提升到一個新的高度.

一、“形”能直觀 合情推理是方向

從數(shù)軸上兩點之間的距離這一“形”的角度來直觀感受絕對值的幾何意義，使代數(shù)問題幾何化，使所求問題更加形象直觀.通過觀察、歸納、類比、猜想等合情推理手段得出問題的普遍性結(jié)論，是數(shù)學問題研究的方向.

【教學設(shè)計一】

師：同學們，當代印度著名詩人泰戈爾在《世界上最遙遠的距離》中寫道：“世界上最遙遠的距離，不是瞬間便無處尋覓，而是尚未相遇，便注定無法相聚.”相聚是一種緣分，讓我們縮短心與心之間的距離，在初中三年留下美好的回憶.今天，我們就來探討一個數(shù)學話題——距離.

同學們，前面我們已經(jīng)學習了絕對值的知識，也簡單了解絕對值的幾何意義，那么請同學們說出下列式子的幾何意義：

（1）|a|;? ? ? ?（2）|x-2|;? ? ? ?（3）|x+1|+|x-2|.

生1：（1）的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離，（2）的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)x-2的點與原點的距離，（3）的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)x+1的點到原點的距離與表示數(shù)x-2的點到原點的距離之和.

師：生1已經(jīng)非常清楚絕對值的幾何意義，而且將x+1、x-2看作整體，能夠運用整體思想考慮問題，非常好！|x-2|可以看作數(shù)軸上表示數(shù)x-2的點與原點的距離，若將這兩點同時向右平移2個單位長度，你會有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生2：我知道了，將這兩點向右平移兩個單位后，兩個點對應(yīng)的數(shù)分別是x和2，|x-2|可以看作數(shù)軸上表示數(shù)x的點與表示數(shù)2的點的距離.

生3：|x+1|+|x-2|就可以看作表示數(shù)x的點到-1和2兩個數(shù)所對應(yīng)的點的距離之和.

師：總結(jié)得太好了！通過類比、觀察、歸納，大家對絕對值的幾何意義有了更深的理解和掌握.

【設(shè)計意圖和階段目標】結(jié)合學生剛?cè)雽W不久，師生、生生之間關(guān)系比較陌生的特點，以“相聚是一種緣分”為話題引入，利用數(shù)軸上兩點間的位置關(guān)系，強化對作為代數(shù)概念“絕對值”的幾何意義——“距離”的理解，使絕對值的幾何意義得到進一步的直觀確認，從而使數(shù)形結(jié)合思想在學生頭腦中初步形成.通過不斷觀察、猜想、分析，運用歸納、類比等合情推理手段，提升學生探究問題的能力，感受合情推理在發(fā)現(xiàn)問題結(jié)論過程中的重要性.

【教學設(shè)計二】

師：同學們，我們已經(jīng)知道|x+1|與|x-2|都有最小值，請問|x+1|+|x-2|有最小值嗎？如果有，最小值是多少？此時x取什么值？

生4：我覺得最小值應(yīng)該是3.因為我取了許多x值，發(fā)現(xiàn)|x+1|+|x-2|的結(jié)果最小是3，所以最小值應(yīng)該是3.

生5：不一定.因為不能確定你還沒有取到的x值是否能保證|x+1|+|x-2|的結(jié)果都不小于3.

師：用特殊值代入得出結(jié)論是一種常用的解決問題的方法，而要得出一般性結(jié)論僅僅從幾個特殊值來判斷顯然是不夠的.

接下來我們看一個生活中類似的情境：

在一條直線上有依次排列的2臺機床加工零件（如圖1），要設(shè)置一個零件供應(yīng)站P，使這2臺機床到供應(yīng)站P的距離之和最小.怎么設(shè)置？

圖1

生6：如果一條直線上有2臺機床，很明顯零件供應(yīng)站P設(shè)在A1和A2之間的任何地方都行，因為此時P到甲和乙2臺機床的距離之和等于A1到A2的距離，且距離之和最小.

師：如果在一條直線上有依次排列的3臺機床加工零件（如圖2），要設(shè)置一個零件供應(yīng)站P，使這3臺機床到供應(yīng)站P的距離之和最小，又該怎么設(shè)置？

圖2

生7：如果在一條直線上有3臺機床，供應(yīng)站P設(shè)在中間一臺機床A2處最合適，因為如果P不放在A2處，甲和丙所走的距離之和恰好是A1到A3的距離，可是乙還得走從A2到P的這一段，這是多出來的部分，因此P放在A2處是最佳選擇.

師：分析很到位！那4臺、5臺呢？n臺呢？

生8：如果一條直線上有4臺機床，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在第2臺與第3臺之間的任何地方;如果一條直線上有5臺機床，P應(yīng)設(shè)在第3臺位置.如果一條直線上有n臺機床，要進行分類討論，當n為奇數(shù)時，P應(yīng)設(shè)在最中間那臺機床處，當n為偶數(shù)時，P應(yīng)設(shè)在最中間兩臺之間的任何地方.

師：同學們太厲害了！實際上，解決上面這些問題的最大功勞要歸功于絕對值的幾何意義.那么同學們現(xiàn)在會求|x+1|+|x-2|的最小值嗎？

生9：如果記A1所對應(yīng)的數(shù)為-1，A2所對應(yīng)的數(shù)為2，以右方向作為正方向畫一條數(shù)軸，記P所對應(yīng)的數(shù)為x，很顯然，當[-1≤x≤2]時，|x+1|+|x-2|有最小值，最小值為3.

師：不錯！那|x+3|+|x+1|+|x-2|的最小值會是多少呢？

生10：當x=-1時，|x+3|+|x+1|+|x-2|有最小值，最小值為5.

師：非常正確.

【設(shè)計意圖和階段目標】生活的經(jīng)驗是數(shù)學產(chǎn)生和發(fā)展的基礎(chǔ)，當解決數(shù)學問題碰到困難時，可以尋找生活中的原型，進行歸納提升，形成數(shù)學模型，再利用數(shù)學模型解決生活中的實際問題.通過將工廠流水線看成數(shù)軸，供應(yīng)站、機床看作數(shù)軸上的點，從而找到解決問題的模型——數(shù)軸.通過對供應(yīng)站位置設(shè)置的探究，從“形”的角度形象直觀地解決了這一“數(shù)”（最小值）的問題.另外，在探究過程中不斷地進行類比、歸納等合情推理的滲透，訓練學生有效的數(shù)學思考.

二、“數(shù)”能入微 演繹推理是關(guān)鍵

僅從“形”的角度理解絕對值有它的局限性. 波利亞曾說：“嚴格證明是數(shù)學的標志，是一般文化中數(shù)學貢獻的主要部分，學生若從未對數(shù)學證明有過印象，那他就錯過了一段基本的智力經(jīng)歷.”因此，當學生從“形”的角度感知絕對值的同時，有必要從“數(shù)”的角度進一步得出絕對值的性質(zhì)所具有的科學性，這一過程實際上就是演繹推理的過程，是對數(shù)學問題進行研究的關(guān)鍵.

【教學設(shè)計三】

師：同學們，前面主要從“形”的角度解決了問題，你能否從另外角度確定|x+1|+|x-2|的最小值？

閱讀下列材料并解決有關(guān)問題：

我們知道，[x=x（x>0）0（x=0）-x（x<0）] ，現(xiàn)在可以用這一結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式，如化簡代數(shù)式|x+1|+|x-2|時，可令x+1=0和x-2=0，分別求得x=-1，x=2（稱-1，2分別為|x+1|與|x-2|的零點值）.零點值x=-1和x=2可將數(shù)分成不重復且不遺漏的如下三種情況：

（1）x<-1;（2）-1≤ x <2;（3）x≥2.從而化簡代數(shù)式|x+1|+|x-2|.

生11：我化簡的結(jié)果是：[x+1+x-2=-2x+1（x<-1）3（-1≤x<2）2x-1（x≥2）] .我覺得，當x<-1時，隨著x值的越來越小，-2x值越來越大，從而-2x+1的值也越來越大，都大于3;同樣，當x≥2時，隨著x值的越來越大，2x值越來越大，從而2x-1的值越來越大，都大于3，所以當-1≤ x<2時，|x+1|+|x-2|有最小值，最小值為3.

生12：當x≥2時，2x-1的值應(yīng)該是大于等于3.綜合分析三種情形，當-1≤x≤2時，|x+1|+|x-2|有最小值，最小值為3.

師：兩位同學都很會思考.不難發(fā)現(xiàn)，實際上當x=2時，|x+1|+|x-2|也是等于3，這與先前得出“絕對值等于本身的數(shù)是正數(shù)和0，而不僅僅是正數(shù)”如出一轍.

【設(shè)計意圖和階段目標】通過從“數(shù)”的角度進一步探究|x+1|+|x-2|的最小值問題，使關(guān)系結(jié)構(gòu)數(shù)量化，使問題解決算法化，避免“形”在解決問題時遇到的不“入微”的遺憾.而演繹推理很好地解決合情推理過程中的局限性問題，通過對探究得出結(jié)論的論證推理，使數(shù)學問題的結(jié)論具有科學性、可靠性，是對數(shù)學進行問題研究的關(guān)鍵.

三、“數(shù)”“形”結(jié)合 合情演繹共發(fā)展

Lagrange曾把“數(shù)形結(jié)合”的優(yōu)點寫進他的《數(shù)學概要》中：“只要代數(shù)同幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄.但是當這兩門科學結(jié)合成伴侶時，它們就互相吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善.”我國著名數(shù)學家華羅庚先生也曾經(jīng)說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”總之，數(shù)形結(jié)合在某種程度上可以看作是數(shù)學的本質(zhì).而合情推理和演繹推理在探究過程中的不斷運用，使兩者得以相互補充，協(xié)同發(fā)展.

【教學設(shè)計四】

課后拓展：若x、y滿足（|x+1|+|x-2|）（|y-1|+|y-3|）=6，求代數(shù)式x+y的最大值和最小值.

【設(shè)計意圖和階段目標】課后拓展是為了讓學生再次經(jīng)歷觀察、猜想、分析、嘗試等探究過程（合情推理），再次經(jīng)歷在探究結(jié)論過程中的論證推理（演繹推理）過程，再次從“數(shù)”和“形”兩個角度思考問題，感受數(shù)形結(jié)合思想的重要價值.

數(shù)形結(jié)合把抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形有機地結(jié)合起來思考，發(fā)揮形的生動性和直觀性，發(fā)揮數(shù)的思路的規(guī)范性與算法性.兩者相輔相成，揚長避短，化抽象為直觀，化直觀為精確.無論是從“形”的角度得出|x+1|+|x-2| 的最小值的合情推理過程，還是從“數(shù)”的角度說明|x+1|+|x-2| 的最小值的演繹推理過程，都對數(shù)形結(jié)合思想在七年級學生頭腦中的初步形成產(chǎn)生了深遠的影響.而合情推理和演繹推理在數(shù)學學習過程中的完美融合，讓學生感受到合情推理和演繹推理之間的互相補充、缺一不可的關(guān)系.合情推理是方向，演繹推理是關(guān)鍵，合情演繹共發(fā)展.