李現(xiàn)勇

(青島市教育科學(xué)研究院 266001)

2003年教育部頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》將數(shù)學(xué)建模納入其中，要求把數(shù)學(xué)建模的思想滲透在各模塊內(nèi)容之中，并在高中階段至少安排一次數(shù)學(xué)建?；顒覽2]，這是數(shù)學(xué)建模進(jìn)入高中教學(xué)的一個重要標(biāo)志.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》)更是將“數(shù)學(xué)建?！绷袨榱蠛诵乃仞B(yǎng)之一，在必修課程、選擇性必修課程和選修課程中均對數(shù)學(xué)建模活動作出了具體的內(nèi)容要求，在核心素養(yǎng)的水平劃分中列出了數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)三個水平層級的詳細(xì)指標(biāo).

然而作為應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的重要手段，了解與掌握數(shù)學(xué)建模已成為當(dāng)下數(shù)學(xué)教育教學(xué)所面臨的新課題.目前高中生的數(shù)學(xué)建模水平普遍較低，能夠真正有效開展數(shù)學(xué)建模活動的學(xué)校并不多，教師也普遍不具備這方面的教學(xué)能力.因此，在新的時代背景下，高中教師有必要探討如何進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的教學(xué)活動，積累教學(xué)實踐經(jīng)驗.

1 數(shù)學(xué)建模的特點

《標(biāo)準(zhǔn)》中對建模的表述如下：數(shù)學(xué)建模活動是對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的過程.主要包括：在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、構(gòu)建模型，確定參數(shù)、計算求解，檢驗結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實際問題[4].

數(shù)學(xué)建模的意義不言而喻.從學(xué)習(xí)的內(nèi)容上，它是學(xué)生對多學(xué)的數(shù)學(xué)基本知識、基本技能、基本思想方法與基本活動經(jīng)驗的認(rèn)知與夯實，理解與掌握的復(fù)習(xí)鞏固，與《標(biāo)準(zhǔn)》中有關(guān)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)要求一致；從學(xué)習(xí)的方式上，它需要學(xué)生查閱資料、合作討論、創(chuàng)新思考、現(xiàn)場考察、計算機(jī)模擬等，完全符合《標(biāo)準(zhǔn)》所倡導(dǎo)的自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方式；從學(xué)習(xí)的結(jié)果上，它能夠讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)在解決實際問題中的重大作用，培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實踐能力，最終轉(zhuǎn)化為未來發(fā)展所需要的核心素養(yǎng).

2 數(shù)學(xué)建模教學(xué)的實施

高中階段的數(shù)學(xué)建模是初等的，依賴于學(xué)生所掌握的數(shù)學(xué)知識，但盡管如此，建模的過程并不容易，困難的原因主要有以下幾點：對身邊實際生產(chǎn)生活等社會問題的關(guān)注與興趣不濃；與數(shù)學(xué)有關(guān)及周邊相關(guān)領(lǐng)域的知識、技能及思想等“硬件”儲備不夠完備；數(shù)學(xué)的觀察力與洞察力等“軟件”敏銳度不高；問題情境是“模糊”的，已知條件、目標(biāo)問題需要學(xué)生自己來“自問自答”；建構(gòu)什么樣的模型，設(shè)定什么樣的參數(shù)，需要經(jīng)驗的積累；求解的方式很多，答案不是唯一的，經(jīng)過實際檢驗后，往往需要對自己的模型作出評估、改進(jìn).總之，從問題到求解再到結(jié)果，整個過程開放度很大，與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)解題存在著巨大差異.

2.1 問題引入

教師需要向?qū)W生介紹什么是數(shù)學(xué)建模，讓學(xué)生在理論上有一定的認(rèn)識，明確數(shù)學(xué)建模的具體步驟.在介紹過程中，應(yīng)盡量貼近學(xué)生的生活，激發(fā)學(xué)生的興趣.還可以選取恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)建模實例，進(jìn)行改進(jìn)、對比，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)建模不同于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)解題的特點.

師：今天我們一起來探究解決一個關(guān)于咱們學(xué)校的實際問題.2020年我們學(xué)校將承辦全國大學(xué)生運動會的部分項目，為了給運動會提供通訊支持，需要在我校行政樓，實驗樓，3號4號教學(xué)樓以及體育館內(nèi)架設(shè)無線網(wǎng)絡(luò)通訊系統(tǒng).要求信號完全覆蓋于上述區(qū)域.前期，我們已經(jīng)完成了數(shù)據(jù)的搜集工作，以下是根據(jù)我們搜集到的數(shù)據(jù)得到的我們學(xué)校優(yōu)化后的三維模型，請大家先看一下.(三維模型展示)

師：通過剛才的三維模型，我們對學(xué)校的這幾棟建筑從直觀上有了整體的把握，將剛才的三維模型落到平面內(nèi)后，對數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)膬?yōu)化處理，得到平面模型，請大家根據(jù)模型思考，我們今天要解決的這個問題中，信號完全覆蓋上述區(qū)域，如果抽象成數(shù)學(xué)當(dāng)中的知識，應(yīng)該和哪一部分知識相關(guān)聯(lián)？

生：外接球.

師：是什么幾何體的外接球？

生：長方體.

2.2 初步嘗試

初步嘗試階段，教師可以給出相對明確的問題情境與約束條件(盡可能理想化)，選擇相對簡單的方法，涉及相對較少的參數(shù)，便得到的結(jié)果便于分析.這主要是為了使學(xué)生容易上手，從而樹立信心激發(fā)興趣.

師：回到我們今天的問題當(dāng)中，要探究出成本怎樣才能達(dá)到最優(yōu)，需要從哪些角度來考慮成本呢？首先我們來看一下產(chǎn)品的報價.以下是某公司針對我校內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)通訊系統(tǒng)給出的該公司產(chǎn)品的報價:

項目名稱：校園內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)通訊系統(tǒng)安裝項目

師：請大家根據(jù)價格表中該公司現(xiàn)有產(chǎn)品的價格，分析一下該公司的產(chǎn)品價格主要受哪些因素的影響？如何影響？如果我們現(xiàn)在對產(chǎn)品有特定的需求，比如說我們對半徑的要求發(fā)生變化，那他們給出的價格大約應(yīng)該是多少？

生2：表格當(dāng)中給出的是半徑和價格之間的關(guān)系，通過表格數(shù)據(jù)可知，半徑和價格大致應(yīng)該是線性的關(guān)系.當(dāng)覆蓋范圍小于50米的時候，價格沒有變化，都是2000；當(dāng)價格大于50米時價格開始產(chǎn)生變化，價格是遞增的，通過60米和75米所對應(yīng)的價格，半徑增加15米時價格增加了1550，也就是每米100元左右.然后通過數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)半徑最少增加5米，所以半徑應(yīng)該是以5的倍數(shù)增加的，大致就是每多5米收500元.

師：很好，也就是價格大致分兩部分，半徑小于50米時，都為2000，半徑超過50米時，每增加5米費用增加500元.那我們?nèi)绾卫眠@兩個量來計算成本呢？

生3：先確定半徑，然后再計算比50米多了幾個5，再把增加費用計算出來.

2.3 深入分析

在面對一個嶄新的現(xiàn)實問題情境時，學(xué)生依然可能感到無從下手，這就需要教師搭建“腳手架”，幫助學(xué)生一步步分析包括問題中可能會涉及哪些因素；需要哪些參數(shù)；如何獲取這些參數(shù)；有哪些能想到的方案；這些方案是否合理；誤差可能來自于哪里；如何減少誤差等.此外教師還可以將問題分解為若干個子問題，列出來供學(xué)生參考，從而通過教師的提升引領(lǐng)作用助力學(xué)生建模能力的提升.

師：那我們處理這個問題時是不是就可以先對所有情況進(jìn)行分類？按照什么來分類？

生3：按照發(fā)射器安裝的個數(shù)來分類.

師：很好，那現(xiàn)在我們的分類依據(jù)就出現(xiàn)了，因為這里面的情況比較多，我們把任務(wù)進(jìn)行一下分解，把所有情況分配給咱們四個小組：一組的同學(xué)負(fù)責(zé)計算安裝1個和5個發(fā)射器的情況；二組同學(xué)計算安裝2個發(fā)射器的情況；三組同學(xué)計算安裝3個發(fā)射器的情況；四組同學(xué)計算安裝4個的.每一組要把這種情況下出現(xiàn)的比較好的方案的成本計算出來，最終比較得到該類型下的最優(yōu)方案，現(xiàn)在開始進(jìn)行.

師：下面先請1組同學(xué)來展示一下他們的成果.

師：很好，大家覺得1組同學(xué)對體育館的處理方式可不可??？

生：挺有道理的.

師：的確，我們在解決實際問題的時候，需要聯(lián)系實際不斷地修正我們的模型，使之與實際情況更相符.下面請2組的同學(xué)來展示一下他們的成果.

生5：我們組解決安裝2個發(fā)射器的情況，一共計算了4種建模方式，分為橫向建模和縱向建模.

先看是縱向建模：第一種是將3號和4號教學(xué)樓組合，剩下的行政樓、實驗樓還有體育館組合.3號4號教學(xué)樓組合得到的半徑是50.99，費用為P1=2000+500=2500元，行政樓、實驗樓和體育館的組合計算得到半徑為95.2，費用為P2=2000+500×10=7500元，總費用為P=P1+P2=2000+7500=9500元.第二種為是3號4號教學(xué)樓和實驗樓的一部分組合，價格為4500元，行政樓，體育館和實驗樓的另一部分組合，價格為5000元，總價格為9500元.

然后是橫向建模，第一種是3號樓、實驗樓和行政樓組合，4號樓和體育館組合，得到的總費用為10550元，另一種是將行政樓、實驗樓、3號樓4號樓還有體育館的一部分組合，體育館剩下的一部分組合，得到的費用為10500元.所以安裝兩個發(fā)射器的最優(yōu)方案為縱向建模的兩種方案.

師：就是說這兩種方案下成本可以表示為P=2000×2+500×11=9500元.通過二組同學(xué)剛才展示的這幾種方案，我們會發(fā)現(xiàn)縱向建模的價格明顯優(yōu)于橫向建模得到的價格，大家能不能根據(jù)圖像考慮一下原因呢？縱向跟橫向相比有什么優(yōu)勢？觀察一下圖像的形狀.

生：橫向的圖像都比較扁.

師：扁會導(dǎo)致什么？我們觀察橫向建模的圖像，長方形下面的這條邊長到多少了？

生：20.

師：這一條邊都已將這么長了，那它的半徑還小的了么？

生：不會，肯定比較大.

師：那我們從形狀上是不是就可以直接比較出后面的兩種方案不如前面的方案了？

生：是的.

師：那從中我們可以得到什么啟示？

生：盡量讓長方體的各條邊比較均衡.

師：那這樣我們在選擇方案時就可以先從形狀上有一個大致的判斷，有一些方案就可以直接不予考慮了.下面請三組的同學(xué)來展示.

生：我們首先將3號樓和4號樓組合，行政樓和實驗樓組合，體育館單獨，得到r1≈50.99，P1=2500;r2≈71.24,P2=4500，體育館跟剛才1組同學(xué)相同的處理方式，價格為2000元，總價格為9000元.

第二種方法是將3號樓、4號樓和實驗樓整體進(jìn)行組合，行政樓整體，體育館整體組合，經(jīng)過計算r1≈79.45，P1=5000;r2≈43.66,P2=2000,P3=2000，總費用為9000元.

根據(jù)剛才二號得到的半徑43.66米，發(fā)現(xiàn)與50米還有較大差距，所以考慮是否可以將實驗樓一部分切割過去，得到我們的第三種方案，重新計算得到r1≈73.19，P1=4500;r2≈49.9,P2=2000,P3=2000，總費用為8500元.

師：非常好，這樣最優(yōu)成本就是P=2000×3+500×5=8500.很好，請回.三組同學(xué)在計算過程中，通過第二種方案計算得到的數(shù)據(jù)，觀察得到了第三種更好的方案，這個過程就是在既有結(jié)果之上通過不斷觀察、計算、優(yōu)化得到更好的結(jié)果，這也是我們探究解決實際問題時的一般過程，我們一開始可能對問題沒有很好的把握，但在不斷計算、發(fā)現(xiàn)的過程中，更優(yōu)方案不斷涌現(xiàn)，我們對方案的選擇也更加有章可循.下面請四組同學(xué)展示.

生：我們組是安裝4個發(fā)射器，因為一共有五棟建筑，所以就有兩棟建筑要組合在一起安裝一個，其他三棟建筑各安一個，一共有五種組合方法.

第一種是3號樓4號樓安一個，其他三棟建筑各安一個，得到r1≈50.99,P1=2500，其他都為2000元，總費用為8500元.

第二種是4號樓和體育館組合安裝一個，其他各安一個，因為4號樓和行政樓組成的長方體長太長了，所以它的半徑很大，這樣計算得到的成本一定很高，就不予考慮.

第三種是體育館和行政樓加實驗樓的一小部分安裝一個，其他各安一個，這種方案因為大的長方體寬過大，成本也會比較高，可以不用考慮.

第四種是實驗樓和行政樓為一組，其他各為一組，這樣求出來的成本是10500元.

第五種是3號樓和實驗樓為一組，其它各為一組，求出來的成本也是10500元，所以相比之下，第一種方案：3號樓和4號樓組合，其它各為一組成本是最低的，為8500元.

師：那么最優(yōu)的方案費用就為P=2000×4+500=8500.非常好，請回！我們會發(fā)現(xiàn)到這個時候，建立在之前數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)之上，現(xiàn)在計算起來心里就有數(shù)了，后面的幾種方案，兩兩組合時長寬高只要有一個過大，我們就可以直接去掉了，得到最佳的方案.現(xiàn)在我們就可以得到在剛才的報價之下，我們的最優(yōu)方案應(yīng)該選哪一個？

生：安裝3個或4個.

師：如果現(xiàn)在的問題發(fā)生了變化，由于信息技術(shù)部門的努力將半徑增加費用降為400，現(xiàn)在要怎么計算？用不用像剛才一樣重新計算了？

生：不用，只需要將剛才算式中的500改為400即可.

值得注意的是，提示的程度應(yīng)根據(jù)學(xué)生的水平而定，過度提示反而會禁錮學(xué)生的思路.在有了思路之后，具體的實施過程應(yīng)讓學(xué)生親力親為，注重學(xué)生的主體地位，想辦法解決實施過程中遇到的各種問題，這樣才能夠真正積累數(shù)學(xué)建模教與學(xué)的經(jīng)驗.

2.4 模仿應(yīng)用

模仿的目的在于運用所學(xué)、熟悉過程，深化認(rèn)識.教師可以就學(xué)生已研究過的案例，讓學(xué)生用類似的方法解決同類的問題，并要求學(xué)生要有完整的建模求解過程.由于現(xiàn)實問題的復(fù)雜性，不可能完全照搬套用已有的模型方法，鼓勵學(xué)生創(chuàng)新的思路和做法.模仿作為數(shù)學(xué)建模教學(xué)中的重要一環(huán)，是學(xué)生不斷積累舊知增強(qiáng)個人儲備的必經(jīng)之路，真正體現(xiàn)“教學(xué)相長”奠定基礎(chǔ).

師：現(xiàn)有多家公司共同參與競標(biāo)，如何來決定來選擇哪家公司呢？

生：我們設(shè)單個發(fā)射器成本及安裝費用為x，半徑每單位增加費用為y.

我們現(xiàn)在假設(shè)安一個發(fā)射器時價格最低，也就意味著x+15y的取值比剩下幾個都要小，也就是要滿足不等式組

師：因為x，y都大于0，所以x大于某個值，就是比最大的還要大，得到的結(jié)果就是x≥5y，為了具體表示出這兩個變量之間的聯(lián)系，類比我們在直角坐標(biāo)系下常用的表示形式，一般都是把y表示成關(guān)于x的函數(shù)，所以可以將式子調(diào)整為——

師：采用類似的分析方法，請大家計算出安裝其他個數(shù)的發(fā)射器時的等價條件.

生：

安裝兩個發(fā)射器

安裝三個發(fā)射器

安裝四個發(fā)射器

2.5 提示小結(jié)

教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注：模型假設(shè)的合理性、必要性；如何解釋建模中的步驟；建模中用到了哪些數(shù)學(xué)的知識方法與涉及到什么其他學(xué)科領(lǐng)域的知識；對結(jié)果進(jìn)行檢驗及其意義；如何評價和改進(jìn)模型等.同時針對同一問題的不同數(shù)學(xué)模型，要引導(dǎo)學(xué)生做出對比評價.

師：我們今天解決這個問題時所用的探究方法同樣適用于其他類似問題的討論，比如說手機(jī)信號增強(qiáng)器的安裝方案，照明系統(tǒng)的安裝方案等.我們今天得到的結(jié)果是建立在理想狀態(tài)下，忽略了很多其他因素的影響，比如墻壁對于信號的影響，其他建筑對于信號發(fā)射器安裝位置的影響等，因此應(yīng)用結(jié)果時要結(jié)合綜合因素，我們的結(jié)論描述需要從多角度進(jìn)行分析的，結(jié)合現(xiàn)實因素、覆蓋率的因素、維修的因素、適用性、普遍性的因素等.

結(jié)語

《標(biāo)準(zhǔn)》要求數(shù)學(xué)建?；顒右哉n題研究的形式開展，課題研究的過程包括選題、開題、做題、結(jié)題四個環(huán)節(jié)[4].如果從逆向的角度來理解，這實際上以數(shù)學(xué)建模為載體鍛煉了學(xué)生課題研究的能力，因為學(xué)生要做的不僅僅是一篇數(shù)學(xué)建模的小論文或其他研究成果，還要撰寫開題報告、進(jìn)行結(jié)題答辯等.在數(shù)學(xué)建模的全過程中提倡以小組為單位，齊心協(xié)力應(yīng)對相對復(fù)雜對邊的實際問題，并從中培養(yǎng)學(xué)生良好的團(tuán)隊協(xié)作能力.

同時，數(shù)學(xué)建模的全過程應(yīng)充分體現(xiàn)“獨立”二字，也就是說獨立建模強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生的自主研究、自主實踐，但并不意味著完全沒有教師的指導(dǎo).教師應(yīng)當(dāng)在學(xué)生出現(xiàn)問題或困難的時候，及時給與必要的指導(dǎo)和幫助.

數(shù)學(xué)建模是一種能力，它不僅要求學(xué)生知識面廣、洞察力強(qiáng)、興趣廣泛，更重視師生在面對紛繁復(fù)雜的現(xiàn)實世界時能用數(shù)學(xué)元素描述與化簡，用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決從中所提取的問題這一能力的培養(yǎng).數(shù)學(xué)建模又是一種實踐活動，它重在實踐，也難在實踐. 在教學(xué)中教師應(yīng)秉承“以生為主”理念，重視建模的過程與思想，充分應(yīng)用問題引導(dǎo)、利用數(shù)學(xué)知識與技巧提升學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力與數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)，并滲透與傳播數(shù)學(xué)文化，真正樹立學(xué)生敢于質(zhì)疑、勇于思考、嚴(yán)謹(jǐn)扎實、求真務(wù)實的科學(xué)精神及合作協(xié)作與創(chuàng)新精神，為其終身可持續(xù)發(fā)展提供必要條件.