白宇杰，高劍波

(核工業(yè)理化工程研究院，天津 300180)

工作在柔性支承下的高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)容易發(fā)生動力學(xué)失穩(wěn)，如美國航天飛機(jī)的液氫渦輪泵轉(zhuǎn)子由于密封流體激振力引發(fā)次同步進(jìn)動[1]，我國液氫渦輪泵轉(zhuǎn)子由于內(nèi)阻尼也發(fā)生了嚴(yán)重的失穩(wěn)問題[2]。引發(fā)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)失穩(wěn)的因素很多，常見的如油膜失穩(wěn)、密封失穩(wěn)、碰摩失穩(wěn)和材料內(nèi)阻尼失穩(wěn)等[3]，確定失穩(wěn)原因是進(jìn)行轉(zhuǎn)子支承系統(tǒng)設(shè)計的關(guān)鍵。目前柔性連接轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在試驗中遇到進(jìn)動失穩(wěn)而無法正常升速，初步研究表明柔性連接處材料阻尼和結(jié)構(gòu)阻尼構(gòu)成的內(nèi)阻尼是失穩(wěn)的主要因素，需開展進(jìn)一步研究以指導(dǎo)工程設(shè)計。

關(guān)于內(nèi)阻尼對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性影響的研究較多[4-9]。白長青等[4]用黏性阻尼和滯后阻尼模型建立了考慮內(nèi)阻尼的Timoshenko梁-轉(zhuǎn)軸有限元模型，并分析了內(nèi)阻尼對失穩(wěn)轉(zhuǎn)速的影響。Mendonca等[10]采用Ni等[11]的內(nèi)阻尼模型分析了安裝在復(fù)合材料轉(zhuǎn)軸上的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性。Arab等[12]采用一維黏彈性理論建立了考慮內(nèi)阻尼的鋪層復(fù)合材料轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)子動力學(xué)穩(wěn)定性。Vervisch等[13]用試驗方式研究了旋轉(zhuǎn)阻尼對失穩(wěn)轉(zhuǎn)速的影響。上述研究中的內(nèi)阻尼模型主要面向柔性轉(zhuǎn)子，關(guān)心的是轉(zhuǎn)子的柔性模態(tài)，難以直接應(yīng)用于本研究中的柔性連接剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中。根據(jù)一維Kelvin-Voigt黏彈性理論的復(fù)數(shù)形式，可將連接處的材料阻尼和結(jié)構(gòu)阻尼集總在柔性連接處的剛度中，形成考慮內(nèi)阻尼的復(fù)剛度模型[14-16]。采用復(fù)剛度模型不僅可有效分析系統(tǒng)穩(wěn)定性，且可從模態(tài)試驗中獲取代表內(nèi)阻尼的虛部系數(shù)[17]。

本文根據(jù)Kelvin-Voigt黏彈性理論建立適用于柔性連接轉(zhuǎn)子的復(fù)剛度模型，提出通過模態(tài)試驗得到代表內(nèi)阻尼的虛部系數(shù)的測試方法，在此基礎(chǔ)上建立考慮內(nèi)阻尼的轉(zhuǎn)子支承系統(tǒng)動力學(xué)模型，分析內(nèi)阻尼和減振器參數(shù)對穩(wěn)定性的影響。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 內(nèi)阻尼模型

對于在交變載荷下會產(chǎn)生內(nèi)耗的材料，可采用Kelvin-Voigt黏彈性理論的一維本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行描述，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系如下：

(1)

其中：σ為應(yīng)力；E為材料的楊氏模量；μ為材料的阻尼系數(shù)；ε為應(yīng)變；t為時間。直接測量材料的Kelvin-Voigt黏彈性理論中的阻尼系數(shù)比較困難，相關(guān)文獻(xiàn)非常少，本文通過以下方式間接獲取。

假設(shè)在簡諧激勵下的應(yīng)變?yōu)棣?ε0cosωt，則可得到應(yīng)力應(yīng)變的方程為：

(2)

其中：ε0為應(yīng)變幅值；ω為激勵頻率。顯然式(2)為橢圓方程，其中橢圓面積為材料循環(huán)1周所吸收的能量ΔU：

(3)

在循環(huán)1周中的最大彈性應(yīng)變能U為：

(4)

于是可得到材料的損耗因子η：

(5)

在小阻尼情況下，對于轉(zhuǎn)子本身的第i階模態(tài)頻率，可得到：

ηi≈2ξi

(6)

其中，ξi為第i階模態(tài)的阻尼比，結(jié)合式(5)有：

(7)

測量無外阻尼時柔性連接轉(zhuǎn)子本身的模態(tài)頻率和模態(tài)阻尼比，根據(jù)式(7)就可得到某一模態(tài)頻率激勵下材料的阻尼系數(shù)，即得到該頻率下材料的Kelvin-Voigt黏彈性理論的一維本構(gòu)關(guān)系。但直接運用該本構(gòu)關(guān)系推導(dǎo)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)方程較復(fù)雜，且會引入非線性項，對于建模和計算都會帶來較大困難，因此本文考慮Kelvin-Voigt黏彈性理論的復(fù)模量形式。

假設(shè)ε=ε0eiωt，代入式(1)可得：

(8)

結(jié)合式(7)可得到適用于某一模態(tài)頻率激勵下材料的復(fù)模量：

(9)

上述推導(dǎo)得到的復(fù)模量模型主要適用于某一階模態(tài)頻率，同時柔性連接轉(zhuǎn)子本身的內(nèi)阻尼較小。如果轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在升速中主要發(fā)生某一階模態(tài)失穩(wěn)，則可采用該復(fù)模量模型。

1.2 動力學(xué)模型

圖1為柔性連接轉(zhuǎn)子支承系統(tǒng)，其中轉(zhuǎn)子的左右兩部分通過柔性連接件串聯(lián)而成，轉(zhuǎn)子的左端為彈性支承，右端為減振器，吸收振動能量并提供整個系統(tǒng)的阻尼。柔性連接件和轉(zhuǎn)子直接通過結(jié)構(gòu)配合完成連接，容易產(chǎn)生結(jié)構(gòu)阻尼，同時本身材料阻尼較大，因此在整個轉(zhuǎn)子中會引入較大的內(nèi)阻尼。

對于圖1所示的柔性連接轉(zhuǎn)子支承系統(tǒng)，假設(shè)轉(zhuǎn)子為軸對稱剛體，僅在水平和豎直方向振動，支承特性各向同性，轉(zhuǎn)子中部柔性連接件主要提供左右兩部分轉(zhuǎn)子的彎曲剛度，忽略剪切剛度，因此柔性連接處的振動位移一致。轉(zhuǎn)子左右兩端的長度、質(zhì)量、極轉(zhuǎn)動慣量、赤道轉(zhuǎn)動慣量分別為L1和L2、m1和m2、Jp1和Jp2、Jd1和Jd2，轉(zhuǎn)子中部柔性連接處的彎曲剛度為C，彈性支承剛度為k1，減振器主剛度為k2、集中質(zhì)量為m3、次剛度為k3、阻尼系數(shù)為c3。整個系統(tǒng)包括轉(zhuǎn)子左端(x1，y1)、中部柔性連接處(x2，y2)、轉(zhuǎn)子右端(x3，y3)和減振器(x4，y4)共8個自由度。

圖1 柔性連接轉(zhuǎn)子支承系統(tǒng)Fig.1 Flexibly connected rotor support system

令轉(zhuǎn)子以角速度ω旋轉(zhuǎn)，計算轉(zhuǎn)子支承系統(tǒng)的動能和勢能，應(yīng)用拉格朗日方程，可得到系統(tǒng)的運動方程為：

(10)

其中：{r}為虛數(shù)形式的自由度，即ri=xi+yi。系統(tǒng)中的質(zhì)量矩陣[M]、阻尼與陀螺矩陣[C]和剛度矩陣[K]分別為：

(11)

(12)

(13)

C*=C(1+idiω)

(14)

針對感興趣的模態(tài)，在測量其模態(tài)頻率和模態(tài)阻尼比后，根據(jù)式(9)就可得到相應(yīng)的內(nèi)阻尼系數(shù)，并將復(fù)彎曲剛度代入式(10)，即是考慮復(fù)模量的轉(zhuǎn)子支承系統(tǒng)動力學(xué)方程。值得注意的是，根據(jù)靜態(tài)下模態(tài)測試結(jié)果計算的內(nèi)阻尼系數(shù)，在升速過程中可能會改變，尤其是柔性連接處相對運動導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)阻尼，更可能隨轉(zhuǎn)速而變化，不過在本文中暫不考慮該因素對內(nèi)阻尼系數(shù)的影響，如計算結(jié)果精度不夠可在下一步研究中進(jìn)行修正。

本文研究的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)方程，包含了保守力和循環(huán)力，可采用線性系統(tǒng)的Routh-Hurwitz準(zhǔn)則判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但在考慮式(14)的復(fù)剛度后，矩陣中元素出現(xiàn)了復(fù)數(shù)，采用該準(zhǔn)則還需進(jìn)一步論證。幸運的是采用復(fù)剛度不改變系統(tǒng)的線性特征，因此可直接求解轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)方程的特征根，根據(jù)特征根的實部正負(fù)來判斷系統(tǒng)從穩(wěn)定到失穩(wěn)的過程，即可得到系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2 試驗測試

2.1 模態(tài)測試

為了在轉(zhuǎn)子支承系統(tǒng)動力學(xué)方程中應(yīng)用復(fù)剛度，需獲取式(14)中的虛部系數(shù)，因此需獲得轉(zhuǎn)子本身的模態(tài)頻率和模態(tài)阻尼比。

由于轉(zhuǎn)子本身含有柔性連接件，因此采用立式方法進(jìn)行模態(tài)測試，轉(zhuǎn)子上端用非接觸式電磁軸承約束，下端放置于無阻尼的底座。激振方式為錘擊法，拾振方式為貼在轉(zhuǎn)子壁面上的加速度傳感器。在轉(zhuǎn)子壁面畫好網(wǎng)格后，采用多點激振、單點拾振的方式進(jìn)行模態(tài)測試，每個激振點重復(fù)測量3次。運用LMS Lab的模態(tài)分析模塊進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，得到轉(zhuǎn)子本身的模態(tài)頻率和阻尼比，如表1所列。

表1 轉(zhuǎn)子的模態(tài)頻率、模態(tài)阻尼比和虛部系數(shù)Table 1 Modal frequency, damping ratio and imaginary part coefficient of rotor

由表1可知，本研究共測試了4個轉(zhuǎn)子，統(tǒng)計了兩個感興趣的模態(tài)，分別是轉(zhuǎn)子一彎和轉(zhuǎn)子二彎，如圖2所示。其中：轉(zhuǎn)子一彎模態(tài)指的是轉(zhuǎn)子左右兩部分作為剛體圍繞柔性連接體做剛性振動，該模態(tài)頻率受柔性連接處彎曲剛度影響較大；轉(zhuǎn)子二彎模態(tài)指的是轉(zhuǎn)子左右兩部分分別進(jìn)行柔性振動，與轉(zhuǎn)子材料性能關(guān)系較大，因此比轉(zhuǎn)子一彎頻率高得多。表1也列出相應(yīng)模態(tài)的虛部系數(shù)，轉(zhuǎn)子一彎的虛部系數(shù)在10-5量級，轉(zhuǎn)子二彎的虛部系數(shù)在10-7量級。在進(jìn)行數(shù)值分析時，會根據(jù)出現(xiàn)進(jìn)動的頻率選取相應(yīng)量級的虛部系數(shù)進(jìn)行計算。

圖2 轉(zhuǎn)子一彎和轉(zhuǎn)子二彎模態(tài)Fig.2 1st and 2nd bend mode shapes of rotor

2.2 升速試驗

本文采用如圖3所示的測試平臺進(jìn)行升速中的穩(wěn)定性檢測。測試平臺包括左端提供彈性剛度的彈性支承和右端的減振器，其中減振器中較窄部分代表主剛度，較寬部分代表集中質(zhì)量、次剛度和阻尼系數(shù)。轉(zhuǎn)子水平地放置在彈性支承和減振器上進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。通過兩個正交的電渦流傳感器采集轉(zhuǎn)子柔性連接處的振動信號，采用LMS Lab軟件對振動信號進(jìn)行時域和頻域分析。在開始采集后，進(jìn)行轉(zhuǎn)子升速，實時分析振動信號頻譜中的主頻是否為1×頻率，是否會出現(xiàn)其余振動頻率。在出現(xiàn)其他振動頻率且不會衰減時，記錄此時的轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速，就得到進(jìn)動出現(xiàn)的轉(zhuǎn)速和相應(yīng)的進(jìn)動頻率。在正式試驗之前，轉(zhuǎn)子均經(jīng)過了良好的動平衡，不會出現(xiàn)振幅過大導(dǎo)致碰摩的問題。

圖3 試驗測試平臺Fig.3 Experiment set-up

3 結(jié)果分析

在正式試驗和相應(yīng)的理論計算中采用的彈性支承剛度k1=450 N/m，減振器主剛度k2=5.5×104N/m、集中質(zhì)量m3=0.02 kg、次剛度k3=650 N/m、阻尼系數(shù)c3=40 N·s/m，彎曲剛度C=1 600 N/rad。由于轉(zhuǎn)子強(qiáng)度限制，實際試驗中主要檢測在0～800 Hz范圍內(nèi)是否失穩(wěn)，超過800 Hz后的轉(zhuǎn)速不在討論范圍內(nèi)。

4個轉(zhuǎn)子的升速試驗結(jié)果列于表2。在進(jìn)行理論計算前，需先判斷出現(xiàn)進(jìn)動的模態(tài)是轉(zhuǎn)子一彎還是二彎。通過對比理論與試驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)，升速中出現(xiàn)進(jìn)動的主要模態(tài)為轉(zhuǎn)子一彎模態(tài)，因此在進(jìn)行失穩(wěn)轉(zhuǎn)速計算時需采用轉(zhuǎn)子一彎模態(tài)所對應(yīng)的虛部系數(shù)。由表2可知，1、2、3號轉(zhuǎn)子通過理論計算得到的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速與試驗結(jié)果較符合，2和3號的理論失穩(wěn)轉(zhuǎn)速與試驗結(jié)果相差在5%以內(nèi)，而4號轉(zhuǎn)子的理論與試驗結(jié)果相差較大，可能是轉(zhuǎn)子在升速過程中內(nèi)阻尼增大較多，已遠(yuǎn)超過靜態(tài)下的內(nèi)阻尼。結(jié)合轉(zhuǎn)子一彎模態(tài)虛部系數(shù)大小和失穩(wěn)轉(zhuǎn)速可知，隨虛部系數(shù)增大，失穩(wěn)轉(zhuǎn)速逐步下降，這一結(jié)論符合黏彈性轉(zhuǎn)子發(fā)生失穩(wěn)的定性結(jié)論。

表2 轉(zhuǎn)子支承系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速和進(jìn)動頻率Table 2 Threshold speed and processing frequency of rotor support system

分析不同參數(shù)對轉(zhuǎn)子升速過程中一彎模態(tài)阻尼比的影響。圖4示出虛部系數(shù)對一彎模態(tài)阻尼比的影響。圖5示出di=0時轉(zhuǎn)速對一彎模態(tài)阻尼比的影響。由圖4可見，不同轉(zhuǎn)速下的一彎模態(tài)阻尼比隨虛部系數(shù)的增大而線性減小，在虛部系數(shù)為25×10-6～30×10-6時，轉(zhuǎn)速為150～250 Hz下的一彎模態(tài)阻尼比為負(fù)數(shù)，進(jìn)入失穩(wěn)區(qū)域，即在該支承參數(shù)下轉(zhuǎn)子最高升速到150 Hz左右。由圖4還可看出，不同轉(zhuǎn)速下的一彎模態(tài)阻尼比差距較大，轉(zhuǎn)速為450 Hz時最大，與圖5中靜止時一彎模態(tài)阻尼比隨轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律一致，在轉(zhuǎn)速為438 Hz時取得最大值。這是因為減振器為一維振動系統(tǒng)，在一彎模態(tài)頻率與其共振頻率相近時，出現(xiàn)進(jìn)動后減振器處于共振狀態(tài)，振動幅度最大，相應(yīng)的阻尼效果最好。在實際中可根據(jù)進(jìn)動時的一彎模態(tài)頻率進(jìn)行減振器參數(shù)匹配，以期達(dá)到最佳阻尼效果。

圖4 虛部系數(shù)對一彎模態(tài)阻尼比的影響Fig.4 Effect of imaginary part coefficient on modal damping ratio of 1st bend

圖5 di=0時轉(zhuǎn)速對一彎模態(tài)阻尼比的影響Fig.5 Effect of speed on modal damping ratio of 1st bend at di=0

考慮內(nèi)阻尼并計算不同減振器阻尼系數(shù)下一彎模態(tài)阻尼比隨轉(zhuǎn)速的變化，如圖6所示。轉(zhuǎn)速為400 Hz時一彎模態(tài)阻尼比隨阻尼系數(shù)的變化如圖7所示。由圖6可看出，在阻尼系數(shù)為10 N·s/m時一彎模態(tài)阻尼比隨轉(zhuǎn)速的增大迅速下降，失穩(wěn)轉(zhuǎn)速約為150 Hz，阻尼系數(shù)增大到20 N·s/m后失穩(wěn)轉(zhuǎn)速約為600 Hz，隨阻尼系數(shù)繼續(xù)增大，失穩(wěn)轉(zhuǎn)速減小。在阻尼系數(shù)約為20 N·s/m時取得最高失穩(wěn)轉(zhuǎn)速，說明減振器在該阻尼系數(shù)下的阻尼性能最好，和圖7所示規(guī)律一致。減振器是一維的彈簧阻尼系統(tǒng)，在進(jìn)動頻率即一彎模態(tài)頻率與其共振相距較大時，處于過阻尼狀態(tài)可獲得最大阻尼性能，在進(jìn)動頻率接近其共振時，處于欠阻尼狀態(tài)可獲得最大阻尼性能，且存在最佳的阻尼系數(shù)。

圖6 di=30×10-6時轉(zhuǎn)速對一彎模態(tài)阻尼比的影響Fig.6 Effect of speed on modal damping ratio of 1st bend at di=30×10-6

圖7 一彎模態(tài)阻尼比隨阻尼系數(shù)的變化Fig.7 Change of modal damping ratio of 1st bend with damping efficient

由上述分析可知，轉(zhuǎn)子虛部系數(shù)和減振器參數(shù)均會對升速過程中的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速產(chǎn)生影響，因此以一彎模態(tài)阻尼比降低為0為界限作為失穩(wěn)轉(zhuǎn)速，得到不同虛部系數(shù)和減振器參數(shù)下的穩(wěn)定域，如圖8所示。圖8中曲線代表不同阻尼系數(shù)所對應(yīng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速，空白部分為穩(wěn)定域，陰影部分為失穩(wěn)域。阻尼系數(shù)較小時同一個阻尼系數(shù)下會對應(yīng)多個失穩(wěn)轉(zhuǎn)速，這并不矛盾，此時可認(rèn)為阻尼系數(shù)是該轉(zhuǎn)速下的失穩(wěn)阻尼系數(shù)。由圖8可看出，為保證轉(zhuǎn)子不進(jìn)入失穩(wěn)域，則阻尼系數(shù)既不能太大，又不能太小，存在對應(yīng)最高失穩(wěn)轉(zhuǎn)速的最佳阻尼系數(shù)，如圖8a中約為20 N·s/m。如果可在升速中更改阻尼系數(shù)，則在圖8b中隨轉(zhuǎn)速實時地降低阻尼系數(shù)可達(dá)到最高的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速650 Hz。對比圖8a、b可知，在同樣的阻尼系數(shù)下，虛部系數(shù)越小則對應(yīng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速越小，如阻尼系數(shù)在20～40 N·s/m范圍內(nèi)的最小失穩(wěn)轉(zhuǎn)速約為650 Hz，而虛部系數(shù)較大時的最小失穩(wěn)轉(zhuǎn)速約為450 Hz，虛部系數(shù)對大和小阻尼系數(shù)時的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速影響很大。對比圖8b、c可知，提高減振器阻尼剛度可有效擴(kuò)大穩(wěn)定域的范圍，提高失穩(wěn)轉(zhuǎn)速，但對于小阻尼系數(shù)下的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速影響較小。

圖8 減振器剛度和虛部系數(shù)對穩(wěn)定域的影響Fig.8 Effect of damper stiffness and imaginary part coefficient on stable region

4 結(jié)論

本文建立了考慮復(fù)剛度內(nèi)阻尼模型的柔性連接轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)方程，結(jié)合模態(tài)和升速試驗結(jié)果進(jìn)行了內(nèi)阻尼虛部系數(shù)和失穩(wěn)轉(zhuǎn)速計算驗證，研究了內(nèi)阻尼虛部系數(shù)和減振器參數(shù)對該系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，得到以下結(jié)論。

1) 該系統(tǒng)在升速過程中會發(fā)生一彎模態(tài)進(jìn)動失穩(wěn)，轉(zhuǎn)子柔性連接處的內(nèi)阻尼是失穩(wěn)的主要原因，通過文中模型可測量并給出柔性連接處的復(fù)剛度虛部系數(shù)。

2) 本文的復(fù)剛度內(nèi)阻尼模型可有效地分析系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速，理論與試驗結(jié)果符合較好，對于升速過程中內(nèi)阻尼變化較大的轉(zhuǎn)子，模型還有進(jìn)一步改進(jìn)的空間。

3) 減小柔性連接處的內(nèi)阻尼、增大減振器的剛度系數(shù)可增大穩(wěn)定域范圍；減振器阻尼系數(shù)存在最優(yōu)值，在該阻尼系數(shù)下系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速最高。