吳庭葦

(粒子輸運與富集技術國防科技重點實驗室，天津 300180)

柔性支承轉子的軸承由軸和窩組成，具有支承轉子和連接轉子與阻尼裝置的功能。在研究柔性支承轉子的動力學問題時，通常在建立模型時將軸簡化為連接轉子下端與阻尼上端的1根彈簧，假設軸和窩之間是剛性連接的，無相對滑動或摩擦。這種傳統(tǒng)的軸承簡化模型無法對軸承的運動狀態(tài)和配合方式進行理論研究，導致軸承設計缺乏理論基礎。此外，在工程和試驗中均發(fā)現，運轉后轉子的軸端部球面和窩的球面上存在磨痕，說明軸和窩之間存在相對運動和摩擦。傳統(tǒng)模型不能對這些現象和作用機理進行具體分析，需對轉子模型中的軸承簡化模型進行改進，建立軸承非剛性連接的轉子模型是有效的改進途徑。

作為柔性支承轉子中旋轉件與靜止件唯一的接觸點，軸承的相對運動和摩擦對轉子動力響應特性有直接影響，研究其作用機理和影響因素可為柔性支承轉子的軸承優(yōu)化設計和轉子失效原因分析提供理論依據。

目前，已有學者對柔性支承轉子的軸承磨損性能開展了相關試驗研究。蘇荔[1-2]建立了磨損性能試驗裝置，從耐磨性能和減磨性能2個方面對軸承摩擦副的磨損性能進行了研究。謝軍[3]采用高速摩擦磨損專用試驗機，進行了寶石軸承的摩擦磨損試驗，得出了性能優(yōu)良的摩擦學匹配設計方案。蔣書運[4]采用Falex型摩擦磨損試驗機考察了T8鋼/Al2O3陶瓷摩擦副在3種油性劑與極壓抗磨劑作用下的摩擦學性能。

但柔性支承轉子的軸承相對運動和摩擦對柔性支承轉子動力響應的影響方面研究較少。李正光等[5]運用數值方法計算了轉子在穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)下的振動響應，并測量了實際運行時轉子的振動特征，對比測量結果與理論分析結果表明，建立轉子的動力學模型并采用數值方法進行求解能有效對轉子的動力學行為進行分析。楊光明等[6-7]通過實驗測量了軸與窩之間的相對位移，并結合理論分析說明軸與窩之間微小的相對運動會對轉子動力學行為產生一定影響。

本文以柔性支承轉子的軸承摩擦磨損對轉子動力響應特性的影響研究為切入點，通過對運動狀態(tài)下的軸承進行受力特性分析，建立軸承非剛性連接的轉子模型，數值計算并分析轉子在軸承摩擦磨損影響下的動力響應特性，分析軸承摩擦磨損對轉子失效模式和釋放最大能量的影響。

1 理論模型

1.1 物理模型

1) 轉子模型及軸承非剛性連接力學模型

建立柔性支承轉子模型，首先對轉子進行如下簡化與假設：(1) 轉子是亞臨界的，近似地視為剛體；(2) 上支承對轉子在豎直方向上具有磁拉力作用，考慮其徑向剛度對轉子系統(tǒng)的影響；(3) 下阻尼件僅做平動運動而不能轉動；(4) 轉子做橫向微幅振動。

根據基本假設，轉子的力學模型可簡化成圖1所示系統(tǒng)。其中，磁鋼的徑向剛度為k1；轉子的質量為M；軸的徑向剛度為k2；阻尼裝置的剛度、質量和阻尼分別為k3、m3、c3。軸承由軸和窩組成，軸即為圖中的彈簧k2，窩固結于阻尼裝置的頂部，軸與窩示意圖如圖2所示。

設軸的半徑為rz，寶石軸承窩半徑為rw，系統(tǒng)靜止時，軸的軸線與z軸重合。轉子運轉時，軸和寶石軸承窩之間發(fā)生相對移動，xOz平面上的受力分析如圖2所示。軸直徑很小，可忽略力矩的影響，為簡化計算，將軸所受的軸向承載力P移到軸球面與窩的接觸點。假設軸僅在B點與窩接觸，其中fz為xOz平面上的滑動摩擦力，N為窩對軸產生的法向反力，α為法向反力方向與水平方向的夾角。

圖1 轉子-支承系統(tǒng)力學模型Fig.1 Model of rotor-bearing system

圖2 xOz平面軸受力示意圖Fig.2 Diagram of bearing forces in xOz plane

圖2中的α可表示為：

(1)

其中，Δr為軸與窩在水平方向上的相對位移。

根據受力分析可知轉子在運行過程中，豎直方向上所受合力為0，fz等于正壓力與摩擦系數乘積，得出軸所受法向反力N與fz和正壓力P之間的關系，如下式所示。

(2)

圖3為軸與窩在xOy平面上的受力分析，其中Ff為軸在旋轉方向上所受的滑動摩擦力，NxOy為軸所受法向反力在xOy平面上的分量，同理，fxOy為滑動摩擦力在xOy平面上的分量。

將NxOy、fxOy進行矢量合成，得到軸在xOy平面上所受的徑向合力，假設軸旋轉所受的周向滑動摩擦力為干摩擦形式，則周向滑動摩擦力Ff為徑向力與摩擦系數的乘積，如下式所示。

(3)

Ff=μ(NxOy+fxOy)

(4)

圖3 xOy平面軸受力示意圖Fig.3 Diagram of bearing forces in xOy plane

將軸所受的力分解到x、y方向上，并分別合成，得到軸在x、y方向上所受的合力Fx、Fy。

將軸所受的外力代入系統(tǒng)運動方程中，即可計算非剛性連接系統(tǒng)的轉子動力響應。按照上述力學模型，在運用數值方法求解轉子動力響應時，每向前推進1個時間步長，需對位移系數矩陣進行1次求逆計算。然而，軸的自身質量與轉子質量相比為1個極其小量，若將軸作為1個廣義坐標引入系統(tǒng)中，會造成位移系數矩陣接近奇異化，求逆計算將變得異常困難，導致很難求得非剛性連接轉子-支承系統(tǒng)的動力響應。

2) 軸-窩連接剛度模型

為解決上述問題，本文引入連接剛度kl，將軸與窩之間的相互作用力Fx、Fy等效為連接剛度與二者相對位移的乘積。連接剛度不是一個常量，與軸在窩中的相對位置有關，因此該系統(tǒng)中的kl為非線性剛度，將軸在xOy平面上所受的外力Fx、Fy分別對x、y方向上的位移進行求導，即可得到任意時刻的連接剛度klx、kly。根據軸與窩的運動特性可知，連接剛度與軸為串聯(lián)關系，如圖4所示。

引入連接剛度后，轉子與阻尼器連接的等效剛度kz如下式所示：

(5)

圖4 軸承連接剛度示意圖Fig.4 Diagram of bearing connection stiffness

通過引入連接剛度和以上一系列的處理，即可將軸作為一個彈性連接件引入轉子模型，轉子下端通過軸和軸承以非線性連接方式與阻尼器相連，解決了計算過程中求逆運算的困難，從而能運用數值計算方法對轉子的動力響應進行計算。

1.2 數學模型

對于上述軸承非剛性連接的轉子力學模型，采用拉格朗日方法[8]建立其對應的數學模型。計算轉子系統(tǒng)的動能、勢能、耗散能，分別代入拉格朗日方程，即可得到轉子-支承系統(tǒng)的運動微分方程：

(6)

其中：k1為上支承的徑向剛度；k3、m3、c3分別為阻尼器的剛度、質量和阻尼；M為轉子的質量，l為長度，ls為轉子質心與轉子下端在z方向上的距離；Jt為轉子的赤道轉動慣量；Jp為轉子的極轉動慣量；x1、y1為轉子上端位移，x2、y2為轉子下端位移，x3、y3為阻尼體上端，即窩的位移；Qx1、Qy1為轉子上端所受的外激勵，Qx2、Qy2為轉子下端所受的外激勵，Qx3、Qy3為阻尼體上端所受的外激勵。

2 計算方法及研究方案

2.1 計算方法

本文采用四階Runge-Kutta方法[9]對轉子-支承系統(tǒng)的運動微分方程進行數值求解。

將式(6)改寫為矩陣形式并進行適當變換得到式(7)，其中M、C、K分別為質量、阻尼、剛度矩陣，r為坐標矩陣。

(7)

為了使用Runge-Kutta方法進行求解，將式(7)變換至適當形式，如式(8)、(9)所示：

(8)

(9)

假設轉子-支承系統(tǒng)初始時刻t0時的位移值為Y0，在[t0，t1]時間段內應用以下四階Runge-Kutta迭代公式(式(10))，計算在等距節(jié)點tn=t0+nh(n=1，2，…，N)上的數值解Yn，即轉子-支承系統(tǒng)的動力響應值。

(10)

轉子動力響應具有時域特性和頻域特性，運用Runge-Kutta方法計算得到轉子的時域動力響應后，即可得到其時域特性。在頻域特性分析方面，本文采用快速傅里葉變換方法[10]對轉子的時域動力響應進行計算，即可得到轉子的頻域響應特性。

式(11)、(12)為快速傅里葉變換公式。

(11)

ωN=e-2πi/N

(12)

式中：X(k)為頻域響應；Y(j)為計算得到的時域響應Yn；i、j、k均為計算序數，取值范圍為1～N。

2.2 研究方案

為分析軸承摩擦磨損程度等因素對轉子動力學響應特性的影響，分析轉子的運動特性，計算并分析軸承摩擦磨損對轉子失效模式及其最大失效能量的影響。本文以柔性支承轉子為研究對象，運用本文的建模方法建立軸承非剛性連接的柔性支承轉子數學模型，運用數值方法計算轉子的動力響應。研究方案如下：1) 計算不同軸承摩擦磨損程度下轉子的動力響應，分析其對轉子動力響應的影響；2) 計算并分析轉子在軸承嚴重摩擦磨損狀態(tài)下的動力響應特性；3) 計算軸承摩擦磨損導致轉子出現進動失效時轉子釋放的最大能量，分析軸承磨損導致轉子進動失效對釋放能量的影響。

2.3 軸承摩擦磨損狀態(tài)模擬方法

為研究不同軸承摩擦磨損程度對轉子動力響應的影響，本文根據《軸球面磨損等級評定》[11]對軸的摩擦磨損進行分類并劃分等級?！遁S球面磨損等級評定》根據軸球面表面摩擦磨損情況，給出了5種磨損外形形貌特點(表1)。

表1 軸端部球面磨損形式Table 1 Wear pattern of bearing sphere

軸磨損外形及測量參數示于圖5。

為進一步區(qū)分磨損等級，對相同磨損外形形貌，又以不同磨痕寬度表示磨損等級(表2)。

為研究軸球面表面摩擦磨損外形為H、Z、Q、M的4種情況，通過逐漸增大徑向摩擦系數來模擬計算不同磨損程度對轉子-支承系統(tǒng)的影響。為研究軸球面表面摩擦磨損外形D，通過將接觸區(qū)域與非接觸區(qū)域設為不同的徑向摩擦系數來模擬計算不同磨損程度對轉子-支承系統(tǒng)的影響。

圖5 軸磨損外形及測量參數Fig.5 Bearing wear profile and measurement parameter

等級磨損寬度HDZQM說明ⅠW≤0.5 mmW≤0.5 mmW≤1 mm無無輕微Ⅱ0.5 mm2.5 mmW>3 mmW>4 mm,或h>0.35 mmh>0.25 mm是嚴重

3 計算結果及分析

3.1 軸承無磨損狀態(tài)下的轉子動力響應

按照柔性支承轉子技術條件，軸與窩之間的摩擦系數設計值為0.25，此時軸球面及窩球面無摩擦磨損。采用本文計算方法，計算工作轉速為500 s-1下轉子的時域響應，通過傅里葉變換，得到轉子下端的振幅為0.16 mm，如圖6所示。從圖6可看出，當軸承無摩擦磨損時，轉子以工作轉速做穩(wěn)定的自轉運動，無進動。

圖6 轉子下端振幅的幅頻特性曲線Fig.6 Amplitude-frequency characteristic curve of rotor lower part

3.2 軸端面磨損程度對轉子動力響應的影響

1) 磨損外形為H、Z、Q、M

(1) 不同軸承摩擦磨損程度對轉子振幅的影響

柔性支承轉子技術條件中，軸與窩之間的摩擦系數設計值為0.25，此時軸球面及窩球面均完好無損。假設磨損等級為Ⅰ級時，摩擦系數為0.5；磨損等級為Ⅱ級時，摩擦系數為0.6；磨損等級為Ⅲ級時，摩擦系數為0.7；磨損等級為Ⅳ級時，摩擦系數為0.8。

采用本文計算方法，計算工作轉速為500 s-1下轉子的時域響應，得到在軸承不同磨損程度下的轉子下端幅值變化曲線，如圖7所示。從圖7可看出，相比軸承無磨損狀態(tài)下轉子振幅(圖6)，隨著軸承摩擦磨損嚴重，軸承摩擦系數不斷增大，轉子下端的振動幅值也逐漸增大，說明軸承整圈磨損越嚴重，轉子振動越劇烈。

圖7 磨損外形為H、Z、Q、M時 轉子下端幅值與軸承磨損程度的關系Fig.7 Amplitude of rotor lower part vs. bearing wear degree for wear profiles H, Z, Q and M

(2) 不同軸承摩擦磨損程度對轉子進動幅值的影響

采用本文計算方法，計算工作轉速為500 s-1下轉子的時域響應，通過傅里葉變換，得到在軸承不同磨損程度下的轉子下端幅頻特性曲線，如圖8所示。從圖8可看出，相比軸承無磨損狀態(tài)下轉子幅頻特性曲線(圖6)，當軸承產生整圈摩擦磨損時，不僅轉子下端的振動幅值增大，同時伴隨著出現了系統(tǒng)二階進動。當軸承磨損等級為Ⅰ級時，轉子二階進動幅值為0.067 mm；當軸承磨損等級為Ⅱ級時，二階進動幅值為0.092 mm；當軸承磨損等級為Ⅲ級時，轉子二階進動幅值為0.111 mm；當軸承磨損等級為Ⅳ級時，轉子二階進動幅值為0.14 mm。隨著軸承整圈摩擦磨損程度加劇，轉子的二階

圖8 磨損外形為H、Z、Q、M時轉子在不同軸承磨損程度下的幅頻曲線Fig.8 Amplitude-frequency characteristic curve of rotor for different bearing wear degrees for wear profiles H, Z, Q, and M

進動幅值越來越大，存在發(fā)散趨勢，說明隨著軸承磨損嚴重，轉子動力響應特性發(fā)生了明顯變化。

2) 磨損外形為D

(1) 不同軸承摩擦磨損程度對轉子振幅的影響

根據表2中列出的磨損等級Ⅰ～Ⅳ對應的磨損寬度，本文在計算中將磨損寬度分別設為0.5、1、3、4 mm，計算不同磨損程度下轉子的動力響應，得到轉子下端幅值變化曲線，如圖9所示。從圖9可看出，隨著軸承局部摩擦磨損加劇，轉子下端的振動幅值逐漸增大，說明磨損程度越嚴重，轉子振動越劇烈。

(2) 不同軸承摩擦磨損程度對轉子進動幅值的影響

采用本文計算方法，計算工作轉速為500 s-1下轉子的時域響應，通過傅里葉變換，得到在軸承不同磨損程度下的轉子下端幅頻特性曲線，如圖10所示。從圖10可看出，相比軸承無磨損狀態(tài)下轉子幅頻特性曲線(圖6)，當軸承產生局部摩擦磨損時，不僅轉子下端的振動幅值增大，同時也伴隨著出現了系統(tǒng)二階進動。當磨損等級為Ⅰ級時，二階進動幅值為0.055 mm，當磨損等級為Ⅱ級時，二階進動幅值為0.084 mm，當磨損等級為Ⅲ級時，二階進動幅值為0.111 mm，當磨損等級為Ⅳ級時，二階進動幅值為0.15 mm。隨著軸承局部磨損越來越嚴重，磨損區(qū)域寬度增大，轉子的二階進動也隨之變得更加明顯，且存在發(fā)散趨勢，說明隨著軸承磨損變得嚴重，轉子動力響應特性也發(fā)生了明顯變化。

圖9 磨損外形為D時轉子下端幅值 與磨損程度的關系曲線Fig.9 Amplitude of rotor lower part vs. bearing wear degree for wear profile D

圖10 磨損外形為D時轉子在不同軸承磨損程度下的幅頻曲線Fig.10 Amplitude-frequency characteristic curve of rotor for different bearing wear degrees for wear profile D

3.3 軸承摩擦磨損狀態(tài)下轉子的運動特性

從上述結果可看出：軸承摩擦磨損對轉子的動力響應特性產生了明顯影響。當軸承出現輕微磨損時，轉子振幅增大；隨著磨損程度的加重，轉子振幅持續(xù)增大，并伴隨出現轉子系統(tǒng)二階進動，而且進動越來越明顯。說明轉子系統(tǒng)在軸承摩擦磨損狀態(tài)下會出現二階進動，嚴重時可能導致轉子的振幅過大，影響轉子穩(wěn)定運行。

進一步計算分析軸承整圈摩擦磨損達到Ⅳ級以上時，軸承摩擦磨損加劇，轉子在出現二階進動現象的同時，軸承的非線性摩擦運動導致轉子產生了擬周期運動(圖11)。

圖11中，f1=84 Hz為轉子二階進動頻率，f2=500 Hz為轉子工作頻率，f3=f2-f1=416 Hz、f4=f3-3f1=416-3×84=164 Hz、f5=f2-f4=500-164=336 Hz為轉子擬周期運動頻率[12-15]。該現象說明此時轉子的運動狀態(tài)包含自轉、二階進動以及3種擬周期運動，這5種運動形式疊加，會進一步加劇軸承的摩擦磨損程度。

在實際工程中也曾出現同類現象，對工程中的失效轉子進行解體，發(fā)現大量轉子的軸端部球面上出現了明顯磨痕，一些磨損嚴重的軸甚至被磨短，導致轉子下端與電機定子的間隙變小，電子轉子盤與電機定子發(fā)生了碰磨。在轉子強度強化試驗中，部分轉子出現了二階進動現象，并最終導致轉子失效，對這些失效轉子進行解體后同樣發(fā)現軸端部球面上出現了明顯的磨痕。

圖11 具有擬周期運動特征的幅頻曲線Fig.11 Amplitude-frequency relationship with characteristics of quasi-periodic motion

從以上研究結果可看出，利用本文建立的理論模型，通過增大摩擦系數和磨損寬度等方法模擬不同軸承磨損程度，能有效反映軸承摩擦磨損對轉子動力響應特性的影響。隨著軸承磨損程度的加重，轉子的進動幅度逐漸增大，最終可能導致轉子發(fā)生碰磨導致轉子失效。

3.4 轉子失效能量計算

根據以上研究結果可知，軸承摩擦磨損會導致轉子做二階進動甚至出現擬周期運動，進一步加劇軸承摩擦磨損和軸所受的交變力。隨著軸承磨損程度和交變力的加重，轉子的進動幅度逐漸增大，最終可能導致轉子失效。本節(jié)進一步運用理論方法對比分析轉子進動失效與轉子無進動失效時釋放的最大能量。

1) 無進動失效轉子釋放的最大能量

假設1臺以工作轉速運行的柔性支承轉子發(fā)生破損失效，計算其釋放的最大能量。

由于該轉子的失效原因為強度破壞，因此轉子失效時，其釋放的最大能量為以工作轉速自轉的轉動動能，轉子的動能計算公式如下：

(13)

式中：Jp為轉子極轉動慣量；ω為轉子工作角速度。計算得到柔性支承轉子無進動失效時釋放的最大能量為6.001×104J。

2) 進動失效轉子的最大能量

假設1臺以工作轉速運行的柔性支承轉子，由于軸承產生摩擦磨損導致轉子發(fā)生進動，進而導致轉子失效，計算此時釋放的最大能量。

由于該轉子的失效原因為大幅進動，因此轉子失效時的運動狀態(tài)是由多種運動疊加的，其中包括以工作轉速自轉的運動和以系統(tǒng)二階進動頻率做進動的運動狀態(tài)，轉子失效時，其釋放的最大能量為以工作轉速自轉的轉動動能和二階進動的轉動動能，此時，轉子的動能計算公式如下：

(14)

式中：J2為轉子系統(tǒng)二階模態(tài)的轉動慣量；ω2為轉子二階進動角速度。計算得到某型機轉子失效時釋放的最大能量為6.121×104J，轉子釋放的最大能量是無進動情況下破損失效模式的1.02倍。

當軸承產生摩擦磨損導致轉子發(fā)生進動并伴隨擬周期運動時，由于進動失效，此時釋放的最大能量由工作轉速和二階進動頻率、擬周期運動頻率線性疊加能量組成。轉子的動能計算公式如下：

(15)

式中：J3、J4、J5均為轉子做擬周期運動的轉動慣量；ω3、ω4、ω5均為轉子擬周期運動角速度，ω3=f3×2π，ω4=f4×2π，ω5=f5×2π。計算得到柔性支承轉子失效時釋放的最大能量為1.380×105J，轉子釋放的最大能量是無進動情況下破損失效模式的2.3倍。

以上失效能量的理論計算結果說明，在相同轉速下，軸承摩擦磨損導致轉子發(fā)生進動并伴隨擬周期運動直至失效時，轉子釋放的失效能量大幅增加，如果超出裝架保護裝置的吸能上限，有可能引起同裝架機器發(fā)生鏈鎖失效的嚴重后果，因此，在工程中應盡量避免出現軸承摩擦磨損，以防轉子出現進動和擬周期運動。

4 結論

本文通過對軸承的運動特性和受力狀態(tài)進行分析，建立了非剛性連接軸承力學模型，從而建立了軸承非剛性連接的柔性支承轉子模型，運用數值方法計算了轉子的動力響應，得到如下幾點結論。

1) 隨著軸承磨損程度的加重，軸承摩擦系數越大，轉子的振幅越大，轉子的二階進動也越明顯。

2) 隨著軸承摩擦磨損加劇，軸承的磨損程度超過磨損等級Ⅳ時，轉子產生二階進動并伴隨出現擬周期運動。

3) 軸承摩擦磨損可能導致轉子出現不同的失效模式，理論分析結果表明轉子二階進動和擬周期運動會使失效轉子釋放的最大能量大幅增加。

感謝粒子輸運與富集技術國防科技重點實驗室姜磊副研究員和楊福江研究員在研究工作中給予的支持與幫助。