■姜先亮

數(shù)學(xué)直覺(jué)是人腦對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)關(guān)系的“領(lǐng)悟+洞察”，往往產(chǎn)生于經(jīng)驗(yàn)、觀察、歸納、類比和聯(lián)想，有時(shí)以心理學(xué)上的“頓悟”形式出現(xiàn)，是認(rèn)識(shí)過(guò)程的一種飛躍形式?！敖?jīng)驗(yàn)→觀察”是一種感性概括，“歸納→類比”是一種理性概括，“聯(lián)想”是一種變式概括。這些直覺(jué)思維的選擇，是通過(guò)“做數(shù)學(xué)”“說(shuō)數(shù)學(xué)”和“想數(shù)學(xué)”實(shí)現(xiàn)的，有助于概念的獲得、保持與遷移，感知概念的本源性和存在性，實(shí)現(xiàn)直覺(jué)思維目標(biāo)和發(fā)展幾何直觀等關(guān)鍵素養(yǎng)。

本文以“鄉(xiāng)村培育站教師‘演課活動(dòng)’”為載體，以主題“‘菱形’概念起始課”為例，展示“直覺(jué)目標(biāo)”的實(shí)現(xiàn)方式，目的是提升鄉(xiāng)村教師的教學(xué)力和育人力。此次演課活動(dòng)中，執(zhí)教者都關(guān)注“直覺(jué)目標(biāo)”的培養(yǎng)，化“抽象”為“具體”，發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。

一、感性概括，在“做數(shù)學(xué)”中實(shí)現(xiàn)直覺(jué)思維目標(biāo)

數(shù)學(xué)概括是直覺(jué)思維的表現(xiàn)形式，是“通過(guò)對(duì)感性材料的分析、綜合、比較、抽象、概括等深度加工”來(lái)實(shí)現(xiàn)的。感性概括是直覺(jué)概括的替代概念，是在直觀基礎(chǔ)上進(jìn)行的一種思維活動(dòng)，是“直觀的懂”的表現(xiàn)形式。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的描述、說(shuō)明、舉例都是一種感性概括?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱課標(biāo)）指出，借助幾何直觀可以把復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)明形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。筆者把直覺(jué)思維目標(biāo)理解為“幾何直觀”支配的感性概括。這就要求，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)層面，基于“幾何直觀”，讓學(xué)生在感性概括中，實(shí)現(xiàn)“復(fù)雜問(wèn)題→簡(jiǎn)單問(wèn)題”“不確定思路→思路的確定性→結(jié)果的正確預(yù)測(cè)”，并在直觀“做數(shù)學(xué)”的基礎(chǔ)上，將“抽象”轉(zhuǎn)化為“具體”，將“冰冷思維”轉(zhuǎn)化為“火熱思考”。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的“折紙”“畫圖”都是感性概括的先行組織行為，是“做數(shù)學(xué)”的基本思維方式，有助于直覺(jué)思維的選擇和進(jìn)入“知識(shí)獲得”的積極思維狀態(tài)。

在“菱形概念”發(fā)生模塊，執(zhí)教者就是基于“感性概括”，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”中，感知“事實(shí)概念”的本質(zhì)屬性。

具體感性概括過(guò)程如下：

師：（多媒體演示）學(xué)校大門、三菱汽車以及生活中的“菱形衣架”，都包含同一個(gè)圖形——菱形，今天我們就來(lái)學(xué)習(xí)菱形。

設(shè)計(jì)意圖：這一設(shè)計(jì)有助于學(xué)生直觀感知“菱形的‘長(zhǎng)相’”，形成直覺(jué)思維產(chǎn)生式，體驗(yàn)數(shù)學(xué)是對(duì)生活的感性概括，提升數(shù)學(xué)的感性價(jià)值。

師：同學(xué)們，請(qǐng)思考以下問(wèn)題，并畫出圖形，說(shuō)明你的思考過(guò)程。

問(wèn)題1：我們是怎樣通過(guò)改變一個(gè)平行四邊形的內(nèi)角得到矩形的？如何改變一個(gè)平行四邊形的邊的數(shù)量關(guān)系，使其成為菱形？

生1：（演示改變“牙膏盒”的截口形狀）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。將平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角變?yōu)?0°，就有“平行四邊形→矩形”。

師：類比矩形概念的發(fā)生過(guò)程，那么菱形的原始概念是什么？

學(xué)生通過(guò)改變“牙膏盒截口”形狀，即改變平行四邊形的一組“鄰邊”的數(shù)量關(guān)系，使得一組鄰邊呈現(xiàn)“相等”的樣態(tài)。學(xué)生在感性概括的基礎(chǔ)上，抽象出菱形概念的本質(zhì)屬性，即有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

設(shè)計(jì)意圖：動(dòng)態(tài)演示，旨在讓學(xué)生基于觀察學(xué)習(xí)，直觀感知菱形的形象，形成感性概括的心理基礎(chǔ)；改變“牙膏盒截口形狀”是“做數(shù)學(xué)”行為，有助于學(xué)生直覺(jué)層面的感性概括，感受產(chǎn)生“鄰邊相等”是平行四邊形轉(zhuǎn)化為菱形的思維條件。

心理學(xué)研究表明，人的學(xué)習(xí)83%通過(guò)視覺(jué)，11%通過(guò)聽覺(jué)。這就是執(zhí)教者借助“實(shí)物”及其“圖片”，在“做數(shù)學(xué)”直覺(jué)參與下，讓概念在感性概括中發(fā)生的本體意義。

二、理性概括，在“說(shuō)數(shù)學(xué)”中實(shí)現(xiàn)直覺(jué)思維目標(biāo)

理性概括起于“幾何直觀”，終于“直覺(jué)思維目標(biāo)”的具體實(shí)現(xiàn)。在課標(biāo)看來(lái)，幾何直觀可以幫助學(xué)生“直觀地”理解數(shù)學(xué)，“數(shù)學(xué)地”認(rèn)識(shí)直觀思維，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中發(fā)揮著不可替代的作用。幾何直觀之所以重要，是因?yàn)樗転閿?shù)學(xué)抽象準(zhǔn)備思維經(jīng)驗(yàn)，能為理性概括提供思維模型。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的“歸納、概括、總結(jié)”都是直觀思維支配下的一種理性概括，是通過(guò)“說(shuō)數(shù)學(xué)”的理性形式展現(xiàn)的，有助于學(xué)生將“感性思維”上升到“理性思維”，將“感性概括”上升到“理性概括”，進(jìn)而發(fā)展理性直覺(jué)。就這一認(rèn)識(shí)來(lái)說(shuō)，理性概括是一種高級(jí)形式的思維概括，它揭示的是一般因素（菱形具備平行四邊形的所有性質(zhì)）和本質(zhì)因素（菱形的四邊相等，對(duì)角線垂直），是直覺(jué)思維水平的概括。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，理性概括表現(xiàn)在三個(gè)方面：一是在比較歸納中理性概括，揭示數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)；二是使用概念規(guī)則的正例，傳遞了理性概括的直覺(jué)信息；三是反例的使用，傳遞了辨別的理性概括信息。

在“菱形性質(zhì)”形成模塊，執(zhí)教者就是基于“理性概括”，讓學(xué)生在“說(shuō)數(shù)學(xué)”中體驗(yàn)直覺(jué)思維目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，感知菱形性質(zhì)的特殊與一般，以及合情合理的微言大義。

具體理性概括過(guò)程如下：

師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)诋媹D、度量的基礎(chǔ)上，填寫思維關(guān)系量表（關(guān)于平行四邊形和菱形的對(duì)稱性，邊、角、對(duì)角線的性質(zhì)及對(duì)比，表略）。

學(xué)生在操作的基礎(chǔ)上，進(jìn)行了理性概括，達(dá)成思維共識(shí)：菱形的四條邊相等、菱形的對(duì)角線互相垂直平分等特殊性質(zhì)。

設(shè)計(jì)意圖：填表旨在讓學(xué)生基于平行四邊形的一般性，認(rèn)識(shí)菱形的特殊性，有助于理性概括信息的傳遞與辨別。另外，填表本身具有幾何直觀的功能，是一種直覺(jué)思維的運(yùn)動(dòng)形式，有助于學(xué)生在“比較+歸納”中獲得菱形性質(zhì)的純粹性和合理性。

師：請(qǐng)以“組”為單位，討論以下問(wèn)題。

問(wèn)題2：菱形有哪些性質(zhì)？為什么？菱形的面積如何求？在矩形、菱形和平行四邊中，哪些性質(zhì)是菱形特有的？

在交流的基礎(chǔ)上，學(xué)生達(dá)成了思維共識(shí)，即“個(gè)體經(jīng)驗(yàn)→事實(shí)經(jīng)驗(yàn)→客觀經(jīng)驗(yàn)”。因?yàn)榱庑问瞧叫兴倪呅?，所以具有平行四邊形的一切性質(zhì)；證明給出了“菱形的四條邊相等”“菱形的對(duì)角線垂直”的理性結(jié)論；因?yàn)榇怪逼椒质禽S對(duì)稱性，所以菱形的對(duì)稱軸是對(duì)角線所在的直線；菱形中的四個(gè)三角形全等，所以菱形的面積可以是四個(gè)三角形面積的和，可以是兩個(gè)三角形面積的和，可以是底×高；在矩形、菱形和平行四邊形中，“四條邊相等”“對(duì)角線垂直”是菱形特有的性質(zhì)。

設(shè)計(jì)意圖：“說(shuō)數(shù)學(xué)”是教師上好數(shù)學(xué)課的有效形式，是學(xué)生學(xué)會(huì)合作的思維反映，能讓學(xué)生在思維互助中獲得“不可能”的“可能”發(fā)展。對(duì)菱形一般性質(zhì)和特殊性質(zhì)的猜想、歸納、比較、概括，有助于學(xué)生形成思維的理性概括，形成概念以及直覺(jué)思維目標(biāo)的領(lǐng)悟。

在認(rèn)知心理學(xué)看來(lái)，人一般可記住自己閱讀的10%，聽到的20%，看到的30%，交談時(shí)自己說(shuō)到的70%。這就是“說(shuō)數(shù)學(xué)”開展的本質(zhì)依據(jù)，能讓學(xué)生在“無(wú)序說(shuō)→有序說(shuō)”中獲得理性概括的經(jīng)驗(yàn)，能讓學(xué)生在理性概括中“捕捉”直覺(jué)思維的“從天而降”。

三、變式概括，在“想數(shù)學(xué)”中實(shí)現(xiàn)直覺(jué)思維目標(biāo)

變式概括是心智發(fā)展的思維“觸發(fā)器”，是“想數(shù)學(xué)”的思維前提，是提出問(wèn)題的思維“發(fā)動(dòng)機(jī)”，是直覺(jué)思維目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的心理基礎(chǔ)。在發(fā)展核心素養(yǎng)背景下，變式概括就是利用不同形式的直觀材料或事例說(shuō)明事物的本質(zhì)屬性，即變換同類事物的非本質(zhì)特征，以便突出事物的本質(zhì)特征。數(shù)學(xué)教學(xué)中的“平移、旋轉(zhuǎn)、翻折”變換都是變式概括的思維通道，有助于學(xué)生在聯(lián)想中把握概念對(duì)象的本質(zhì)。當(dāng)然，變式概括離不開幾何直觀，“數(shù)學(xué)地聯(lián)想”是以幾何直觀為思維動(dòng)力，能讓學(xué)生基于“直觀印象”，在“想數(shù)學(xué)”的幫助下，獲得變式概括的經(jīng)驗(yàn)。教師將教材中的基本圖形“正放”，變?yōu)椤靶狈拧被颉暗狗拧保褪亲兪礁爬ǖ某Ｒ?jiàn)方法，是幾何直觀的思維升級(jí)。換句話說(shuō)，幾何直觀是指借助于見(jiàn)到的或想象出來(lái)的幾何圖形的形象關(guān)系，對(duì)數(shù)學(xué)研究對(duì)象（即空間形式和數(shù)量關(guān)系）進(jìn)行直接感知、整體把握的能力。這種能力來(lái)自變式概括，來(lái)自“數(shù)學(xué)地聯(lián)想”，是通過(guò)“想數(shù)學(xué)”實(shí)現(xiàn)的。

在“菱形”概念使用模塊，執(zhí)教者就是基于“變式概括”，讓學(xué)生在“想數(shù)學(xué)”中直接把握直覺(jué)思維目標(biāo)。

具體的變式概括思維訓(xùn)練如下——

基本問(wèn)題：已知菱形的兩條對(duì)角線分別是6cm和8cm，求菱形的周長(zhǎng)和面積。

數(shù)學(xué)變式1：如果菱形的面積為24cm2，其中一條對(duì)角線是6cm，則另一條對(duì)角線是多少？如果菱形的一個(gè)內(nèi)角是60度，邊長(zhǎng)為5cm，則菱形的面積是多少？

設(shè)計(jì)意圖：基本問(wèn)題的設(shè)置是讓學(xué)生在問(wèn)題中領(lǐng)悟菱形的“特有性質(zhì)”以及落實(shí)面積求法的思想體系；數(shù)學(xué)變式1是變式概括的一般形式，能讓學(xué)生在概括運(yùn)算中，把握直覺(jué)思維的認(rèn)知目標(biāo)，體驗(yàn)“想數(shù)學(xué)”的本質(zhì)就是變式概括，是思維內(nèi)控的運(yùn)動(dòng)形式。

數(shù)學(xué)變式2：利用數(shù)字和圖形，探索圖形的基本性質(zhì)。如圖1，木制活動(dòng)衣帽架由3個(gè)全等的菱形構(gòu)成，在A、E、F、C、G、H處安裝上、下兩排掛鉤，可以根據(jù)需要改變掛鉤間的距離，并在BM處固定。已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為13cm，要使兩排掛鉤間的距離AC為24cm，求B、M之間的距離。

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置本題的目的指向“數(shù)學(xué)服務(wù)于生活目標(biāo)”，以提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)用價(jià)值。就問(wèn)題本質(zhì)來(lái)說(shuō)，一方面能讓學(xué)生在問(wèn)題解決中體驗(yàn)將復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單，將抽象轉(zhuǎn)化為具體的變式思想，落實(shí)“學(xué)”為“用”讓步。另一方面，“衣架問(wèn)題”本身就是一種幾何直觀支配下的變式概括，能讓學(xué)生在“數(shù)學(xué)地想數(shù)學(xué)”中，獲得對(duì)概念的正遷移和認(rèn)知智慧的形成。