考點(diǎn)梳理

一、內(nèi)角和與邊數(shù)結(jié)合

此類題主要是已知邊數(shù)求內(nèi)角和，或者已知內(nèi)角和求邊數(shù).

例1 （1）一個(gè)多邊形的邊數(shù)是10，求這個(gè)多邊形的內(nèi)角和；（2）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1260°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)；（3）兩個(gè)多邊形的邊數(shù)之比為1∶2，內(nèi)角和之比為1∶3，求兩個(gè)多邊形的邊數(shù).

解析：（1）已知邊數(shù)為10，由多邊形內(nèi)角和定理可得內(nèi)角和為（10 - 2） × 180° = 1440°.

（2）已知多邊形的內(nèi)角和為1260°，設(shè)邊數(shù)為n，則180°（n - 2） = 1260°，解得n = 9.

（3）根據(jù)兩個(gè)多邊形邊數(shù)之比為1∶2，可設(shè)這兩個(gè)多邊形的邊數(shù)分別為n和2n，因?yàn)閮?nèi)角和之比為1∶3，則3 × （n - 2） × 180° = （2n - 2） × 180°，解得n = 4，則2n = 8.因此，這兩個(gè)多邊形的邊數(shù)分別為4和8.

二、內(nèi)角和與外角和結(jié)合

解此類題的關(guān)鍵是明確多邊形的外角和為360°這個(gè)隱藏的已知量.

例2 一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于外角和，求這個(gè)多邊形的邊數(shù).

解析：由（n - 2） × 180° = 360°，可得邊數(shù)n = 4.

三、內(nèi)角和與方程、不等式等知識(shí)結(jié)合

例3 一個(gè)多邊形除一個(gè)內(nèi)角外，其余內(nèi)角之和等于1000°，求多邊形的邊數(shù)和除去的那個(gè)內(nèi)角的度數(shù).

解析：多邊形每個(gè)內(nèi)角的取值范圍都是大于0°且小于180°，除去的這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)等于這個(gè)多邊形的內(nèi)角和減去其余內(nèi)角之和，列不等式為0° lt; （n - 2） × 180° - 1000° lt; 180°，解得n = 8.也可以利用方程（x" - 2）·180° = 1000°，解得 x ≈ 7.5，所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)是8，除去的這個(gè)內(nèi)角為1080° - 1000° = 80°.

四、正多邊形中內(nèi)角、外角與邊數(shù)結(jié)合

正多邊形的內(nèi)角相等、邊相等.常見(jiàn)的考查類型有：已知邊數(shù)求內(nèi)角；已知內(nèi)角求邊數(shù)；已知外角求邊數(shù).

例4 （1）求正十五邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；（2）一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角為144°，求這個(gè)正多邊形的邊數(shù)和內(nèi)角和；（3）一個(gè)正多邊形的一個(gè)外角是45°，求這個(gè)正多邊形的邊數(shù)和內(nèi)角和；（4）小明從 A 點(diǎn)向東走10米后，向右轉(zhuǎn)20°，再向前走10米，如此往復(fù)，當(dāng)小明第一次回到 A 點(diǎn)時(shí)，求小明此時(shí)走的總路程.

解析：（1）正十五邊形的每個(gè)內(nèi)角為156°.

（2）這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為10，內(nèi)角和為1440°.

（3）這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為8，內(nèi)角和為1080°.

（4）已知條件中并沒(méi)有直接告訴我們這是一道正多邊形問(wèn)題，而小明從 A點(diǎn)出發(fā)一直走下去，直至第一次回到出發(fā)點(diǎn) A 時(shí)停止，所走的路徑為正 n 邊形.由題意得20°n = 360°，則 n = 18.小明所走的總路程是18 × 10 = 180（米）.因此，小明所走的總路程是180米．

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★ 解題時(shí)間：3分鐘

1.小明從A點(diǎn)向東走x米后，向右轉(zhuǎn)30°，再向前走x米，如此往復(fù)，當(dāng)小明第一次回到P點(diǎn)時(shí)，小明一共走了240米，求x.（答案見(jiàn)本頁(yè)）

難度系數(shù)：★★★ ★ 解題時(shí)間：4分鐘

2.如右圖，將正五邊形紙片[ABCDE]折疊，使點(diǎn)[B]與點(diǎn)[E]重合，折痕為[AM]，展開(kāi)后，再將紙片折疊，使邊[AB]落在線段[AM]上，點(diǎn)[B]的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)[B]'，折痕為[AF]，求[∠AFB]'的大?。ù鸢敢?jiàn)本頁(yè)）

（作者單位：沈陽(yáng)市第一四五中學(xué)）