□凌璐予 徐丹紅

運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵能力之一。對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，運(yùn)算能力的培養(yǎng)是重中之重，也是基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)。根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》對(duì)“運(yùn)算能力”所做的明確的定義，我們可以這樣理解“運(yùn)算能力”：運(yùn)算能力不等同于計(jì)算能力，它不僅是會(huì)算、算正確，掌握算法，即知其然；還包括對(duì)于運(yùn)算本身，也就是對(duì)算理的理解，即知其所以然，在此基礎(chǔ)上靈活選擇方法解決問(wèn)題。因此算理的理解與算法的選擇是運(yùn)算的重心。

一、調(diào)查分析找問(wèn)題——運(yùn)算能力現(xiàn)狀

聚焦掌握算法和理解算理，筆者對(duì)所在學(xué)校六年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行了測(cè)試，內(nèi)容如圖1所示。題目一和題目二指向算理理解，題目三和題目四指向運(yùn)算技能的掌握。

圖1

測(cè)試結(jié)果顯示，題目一的得分率為54.84%；題目二的得分率為61.29%；題目三口算第一行的得分率為89.52%，第二行的得分率為68.54%；題目四第①題的得分率為90.32%，第②題的得分率為79.42%。筆者對(duì)測(cè)試結(jié)果分析如下。

1.運(yùn)算技能強(qiáng)于運(yùn)算理解

從測(cè)試結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，題目三和題目四的得分率高于題目一和題目二，特別是口算第一行和豎式計(jì)算第一題，正確率高達(dá)90%左右。由此表明學(xué)生在解決純計(jì)算這類單一程序性題目時(shí)，能夠根據(jù)運(yùn)算順序和運(yùn)算法則正確地進(jìn)行運(yùn)算。相比之下，對(duì)于解決或解釋運(yùn)算意義和算理的題目，學(xué)生并不能或者不能完全讀懂圖形的表征方式。這種鮮明的反差，或多或少地反映了學(xué)生運(yùn)算學(xué)習(xí)的一種現(xiàn)狀，即運(yùn)算技能強(qiáng)于運(yùn)算理解。

2.運(yùn)算理解影響運(yùn)算技能

再看同樣是純口算的兩行，第一行正確率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于第二行，分析原因：一是碰到稍復(fù)雜的口算題，有些學(xué)生缺乏靈活選擇算法的能力，按部就班，因計(jì)算煩瑣而出錯(cuò)；二是有些學(xué)生意圖選擇合理的算法計(jì)算（如圖2），但方法運(yùn)用錯(cuò)誤，究其原因是對(duì)算理理解不到位，即運(yùn)算理解影響了運(yùn)算技能。

圖2

二、追根溯源尋方法——運(yùn)算能力培養(yǎng)

算法、算理是運(yùn)算能力的一體兩翼。尤其在小學(xué)數(shù)學(xué)中，兩者相輔相成，不可偏廢。因此，教師在課堂上應(yīng)尋求算法與算理的平衡點(diǎn)，以核心知識(shí)入手，循理入法，以法馭理。

（一）以“整體”尋“核心”，重組內(nèi)容

《浙江省小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)建議》指出：“教材研讀要關(guān)注整套教材的基本結(jié)構(gòu)，研讀單元教學(xué)內(nèi)容，合理劃分課時(shí)，充分考慮知識(shí)形成線索和學(xué)習(xí)認(rèn)知線索，在此基礎(chǔ)上通過(guò)補(bǔ)充、修改、調(diào)換、刪減等方法完善教材資源?！币虼?，以單元視角尋找單元核心并在此基礎(chǔ)上重組內(nèi)容，能更好地凸顯教學(xué)內(nèi)容本質(zhì)，計(jì)算教學(xué)亦是如此。以人教版三年級(jí)下冊(cè)《除數(shù)是一位數(shù)的除法》為例。

1.單元分析，把握整體

此單元的主要內(nèi)容有：口算除法、筆算除法和用估算解決問(wèn)題，在口算除法中安排了三個(gè)例題：60÷3，120÷3，66÷3；在筆算除法中也安排了三個(gè)例題：42÷2，52÷2，256÷2。那這六道題核心知識(shí)間的聯(lián)結(jié)點(diǎn)在哪里？不論是口算除法還是筆算除法，其實(shí)質(zhì)都是平均分，核心是怎么分。區(qū)別在于表達(dá)方式不同：口算除法把分的過(guò)程用橫式表示，而筆算除法將分的過(guò)程用豎式表達(dá)。在口算除法中弄清分的過(guò)程，能為筆算除法做好鋪墊，因此熟練掌握口算除法至關(guān)重要。

2.學(xué)生分析，把握起點(diǎn)

為了了解三年級(jí)學(xué)生這一單元知識(shí)的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，筆者對(duì)兩所學(xué)校（一所農(nóng)村小學(xué)、一所市區(qū)小學(xué)）的三年級(jí)學(xué)生做了一次小調(diào)查（如圖3）。

圖3

調(diào)查結(jié)果顯示，第1小題，市區(qū)小學(xué)學(xué)生的正確率為97.09%，農(nóng)村小學(xué)學(xué)生的正確率為90.23%。以下具體呈現(xiàn)第2小題的調(diào)查結(jié)果（如下表）。

算法基于算理想乘法除法意義其他（沒(méi)有表達(dá)出過(guò)程、沒(méi)有結(jié)果）占總?cè)藬?shù)的百分比（%）市區(qū)小學(xué)45.11 24.23 15.33 15.34農(nóng)村小學(xué)40.74 7.41 25.93 27.63學(xué)生典型作品images/BZ_14_815_500_1177_658.pngimages/BZ_14_812_670_1181_755.pngimages/BZ_14_819_767_1174_965.pngimages/BZ_14_816_977_1176_1174.png

分析以上調(diào)查結(jié)果可知：無(wú)論是市區(qū)小學(xué)還是農(nóng)村小學(xué)，8 道口算題的正確率都比較高，表明學(xué)生對(duì)口算除法掌握得很好，對(duì)基本的算理也比較清晰，因此這不該是教學(xué)的重心，如果仍將教材的這幾道口算題貫穿口算除法教學(xué)，那起點(diǎn)是否太低了？

當(dāng)然，高正確率并不意味著口算除法的教學(xué)可以完全舍棄。第2小題調(diào)查結(jié)果顯示，百分之四十幾的學(xué)生能基于算理把分的過(guò)程表示出來(lái)，但在完成第3小題時(shí)，卻只有26.31%的學(xué)生能正確表述分的過(guò)程，有11.25%的學(xué)生是將42 拆分成40 和2 后平均分的，其余的學(xué)生則無(wú)從下手。為什么學(xué)生對(duì)63÷3 的算理表述得那么清晰，但對(duì)42÷3 卻不知所措呢？究其原因是學(xué)生對(duì)分的過(guò)程并不清楚，只是停留在機(jī)械的模仿上，把被除數(shù)拆成十位和個(gè)位再除以3，將這樣的方式遷移到42÷3 上，就會(huì)出現(xiàn)40÷3的情況。而類似“42÷3”這樣的題是被安排在筆算除法的例2進(jìn)行教學(xué)的，學(xué)生在計(jì)算這類筆算題時(shí)錯(cuò)誤率比較高，那是因?yàn)樵诓焕斫馑憷淼那闆r下直接進(jìn)行筆算是有一定難度的。所以，是否可以在口算部分增加筆算除法例2 的口算教學(xué)？這樣既能解釋算理，也為筆算除法的學(xué)習(xí)做鋪墊。

3.重組內(nèi)容，把握核心

基于單元視角和學(xué)生的學(xué)情分析，我們對(duì)第一課時(shí)“除數(shù)是一位數(shù)的口算除法”做了以下調(diào)整。

第一環(huán)節(jié)：將教材編排的口算作為課前熱身，并將算理進(jìn)行初步表征；第二環(huán)節(jié)：探究42÷3的口算方法，跟進(jìn)練習(xí)84÷3，并進(jìn)行對(duì)比，凸顯算理；第三環(huán)節(jié)：練習(xí)，例題內(nèi)容鞏固。

重組凸顯兩個(gè)方面的意圖：一是減少類似“60÷3”這樣的口算練習(xí)，避免重復(fù)教學(xué)導(dǎo)致學(xué)生感到無(wú)趣現(xiàn)象的出現(xiàn)。二是加強(qiáng)類似“42÷3”這樣的口算訓(xùn)練，既能更好地幫助學(xué)生理解算理，防止機(jī)械模仿，又能突破筆算除法例2 的教學(xué)難點(diǎn)，為后面的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

（二）以“事理”明“算理”，循理入法

在真真切切的情境操作中慢慢感知、逐步體驗(yàn)更符合小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。因此，教師可通過(guò)直觀的操作活動(dòng)將抽象的算理具體化、形象化，循“理”入“法”，以“理”馭“法”，實(shí)現(xiàn)“感悟”算理到“生成”算法的跨越。

1.借直觀學(xué)具，以“事”明“理”

借助學(xué)具可將算理清晰地進(jìn)行表述，從而更好地掌握算法。如在上述探究42÷3 的過(guò)程中，可以先留時(shí)間讓學(xué)生想一想。然后讓學(xué)生借助小棒分一分，將42 分成3 份的過(guò)程動(dòng)態(tài)地、直觀地予以呈現(xiàn)。同時(shí)提出兩個(gè)核心問(wèn)題：“你是怎么分的？”“余下的1捆怎么辦？”這樣既聚焦難點(diǎn)，又使教學(xué)變得簡(jiǎn)潔明了。

2.借幾何模型，以“圖”明“理”

幾何模型能將抽象的算理直觀化。如在教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的例題14×12 時(shí)，可借助點(diǎn)子圖清晰地展示不同豎式其算理的內(nèi)涵：圖4-1表示先分別計(jì)算10個(gè)14和2個(gè)14，再把積相加；圖4-2表示先分別計(jì)算4 個(gè)12 和10 個(gè)12，再把積相加。結(jié)合學(xué)生所熟悉的表格顯示口算過(guò)程，再溝通點(diǎn)子圖、口算乘法與乘法豎式之間的內(nèi)在聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)算法與算理的有效融合。這樣不僅幫助學(xué)生在算理意義建構(gòu)的基礎(chǔ)上理解算法，還培養(yǎng)了學(xué)生使用直觀模型進(jìn)行思考的意識(shí)，獲得解決新問(wèn)題的策略和方法。

圖4-1

圖4-2

如果對(duì)每一步中的兩位數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)再進(jìn)行拆分（如圖5），就會(huì)發(fā)現(xiàn)這兩種算法的過(guò)程是一樣的，只是順序不同而已。學(xué)生從點(diǎn)子圖中能清晰地看到表格和豎式中每一小步表示的意思，對(duì)抽象的算理自然就明白了。有了這樣的直觀模型，把整數(shù)乘法遷移到小數(shù)乘法（圖1 中的題目一）就水到渠成了。

圖5

（三）以“不變”應(yīng)“萬(wàn)變”，凸顯主干

教師在日常運(yùn)算教學(xué)中常常鼓勵(lì)學(xué)生探索不同的算法，意在開(kāi)闊學(xué)生的思維，體會(huì)算法的多樣性，這是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的有效途徑。但應(yīng)該明確的是，追求算法多樣化本身并不是目的，在“數(shù)的運(yùn)算”教學(xué)中，不能過(guò)于渲染缺乏遷移價(jià)值的多種算法而干擾運(yùn)算的主干算法。

1.選擇學(xué)習(xí)材料，強(qiáng)化主干

比如在上述《除數(shù)是一位數(shù)的口算除法》中，如果用32÷2 作為探究口算除法的材料，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)兩種算法：（1）20÷2=10，12÷2=6，10+6=16；（2）30÷2=15，2÷2=1，15+1=16。兩種算法都能得到準(zhǔn)確結(jié)果，但第二種算法具有局限性，而第一種算法能為后續(xù)筆算做鋪墊。如果要凸顯第一種主干算法，那么32÷2這一口算材料顯然就不太合適，而采用42÷3 就能迫使學(xué)生選擇算法（1），因?yàn)?0÷3 是有余數(shù)的，學(xué)生自然會(huì)舍棄算法（2）。由此可見(jiàn)，選擇合適的學(xué)習(xí)材料，凸顯主干方法，能幫助學(xué)生深刻理解算理，也能為筆算做鋪墊。

2.鼓勵(lì)方法變式，靈活算法

凸顯主干方法并不意味著“死板”和“一成不變”。我們常說(shuō)算法的選擇應(yīng)根據(jù)內(nèi)容、數(shù)據(jù)而定，合理、靈活地選擇算法才是運(yùn)算能力的體現(xiàn)。但這樣的合理與靈活，往往是建立在對(duì)主干算法深刻理解的基礎(chǔ)上的，從而衍生出基于主干算法的變式。比如三位數(shù)乘一位數(shù)的筆算方法中，大部分學(xué)生是這樣列豎式計(jì)算的（如圖6），這是三位數(shù)乘一位數(shù)的主干算法。但是像這樣連續(xù)進(jìn)位的筆算錯(cuò)誤率會(huì)比較高，究其原因是小學(xué)生頭腦中儲(chǔ)存信息的能力有限，他們把注意力放在暗記進(jìn)位的數(shù)字和乘加運(yùn)算上了。學(xué)生長(zhǎng)時(shí)間進(jìn)行這樣的計(jì)算，會(huì)不自覺(jué)地把思維的重心偏向乘加進(jìn)位口算技能，而弱化對(duì)乘法算理的理解。為了避開(kāi)因乘加而造成的計(jì)算困擾，可以采用下列方法（如圖7）。

圖6

圖7

圖8

這兩種方法和列豎式方法體現(xiàn)的算理是一樣的，都是拆分149，其中左邊的方法是拆成7 個(gè)109和7 個(gè)40，我們把這種方法稱為“踢十法”，這樣就減輕了學(xué)生的思維負(fù)擔(dān)，沒(méi)有了乘加兩步計(jì)算，不僅正確率能有所提高，而且學(xué)生把思維的重心放在了算理上。有了“踢十法”，學(xué)生還會(huì)遷移運(yùn)用“踢百法”“踢個(gè)法”，所以在解答其他筆算題目時(shí)，學(xué)生出現(xiàn)了圖8的做法。

總之，在數(shù)的運(yùn)算教學(xué)中，教師不僅要關(guān)注學(xué)生運(yùn)算技能的掌握，更要關(guān)注學(xué)生理解算理、掌握算法的學(xué)習(xí)過(guò)程。只有將算理與算法有機(jī)融合，才能更好地培養(yǎng)并發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力。

參與文獻(xiàn)：

[1]董文彬.從運(yùn)算能力走向運(yùn)算素養(yǎng)——關(guān)于運(yùn)算及運(yùn)算教學(xué)的思考[J].教育科學(xué)論壇，2019（28）.

[2]曹培英.跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的解讀與實(shí)踐研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

[3]楊金風(fēng).內(nèi)蒙古自治區(qū)五年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力現(xiàn)狀及發(fā)展[D].北京：中央民族大學(xué)，2016.

[4]黃翔.理解把握數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的核心概念（二）——《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》解析之四[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2012（7-8）.