廣東省廣州開發(fā)區(qū)中學 (510730) 胡曉麗廣東省廣州開發(fā)區(qū)外國語學校 (510700) 蔡軍喜

對學生進行“素質(zhì)教育”、讓學生“減負增效”、培養(yǎng)學生的“核心素養(yǎng)”……，隨著新課改的不斷深入，面對一個又一個新思想、新理論的提出，一線數(shù)學教師該教什么？如何教？南京大學鄭毓信教授在《中國數(shù)學教育的“問題特色”》一文中為我們指明了方向：“數(shù)學教育的主要任務(wù)是促進學生思維的發(fā)展，特別是，即應(yīng)通過教師的教學幫助學生逐步學會更清晰、更深入、更全面、更合理地進行思考，并能由‘理性思維’逐步走向‘理性精神’，即是真正成為一個高度自覺的理性人，應(yīng)高度重視數(shù)學教學中的‘問題引領(lǐng)’與‘問題驅(qū)動’，這并可被看成更好地繼承與發(fā)展‘中國數(shù)學教學傳統(tǒng)’的一個很好的切入點 ”

1.問題提出

在復習完直線的方程、直線的垂直和對稱后，給出如下問題讓學生嘗試練習：

已知點A(-2，1)、B(1,2)，試在x軸上找一點P，使△PAB的周長最小.

此題背景平常，但其中蘊含的解題思想?yún)s極其深刻，仔細揣摩，極富有廣泛的拓展空間.

2.問題解決

在教學中，我選擇以學生的主動探索安排教學活動，首先不急于把解法拋給學生，而是引導學生分析問題的特性：該問題中兩個點A,B確定，而第三點P在x軸上運動，結(jié)果即求|PA|+|PB|的最小值，是一個最值問題，那么我們該如何思索呢？

(一陣善意的輕笑聲……)

師：我先來談?wù)勎业目捶ǎ紫取吧?”同學的化歸方法還是很好的，可謂處理最值問題的一個“通法”，代表了大多數(shù)同學的思維，但對本題來說，好像易想但不易用，那我們能不能變換角度，找一找有沒有別的解法？(既肯定“生1”的想法，更鼓勵大家繼續(xù)努力)

(教室里一陣寂靜……幾分鐘后)

生2：看到P為一動點，A、B為兩定點，且|PA|+|PB|為兩距離之和，我聯(lián)想到了橢圓定義|PA|+|PB|=2a，進一步思索，我覺得P點的選擇應(yīng)是以A,B為焦點的動橢圓與x軸相切時取得最小值，但由于橢圓的方程為非標準位置，所以我也沒能求出……

(臺下一片贊嘆聲，我知道，他們一方面是同意他的觀點，另一方面更是佩服他的勇氣)

師：這位同學說得很對，我也同意他的觀點，顯然，若A,B兩點移到x軸上，P為另一直線上的動點，借助“生2”同學的思考，應(yīng)是較易求出的.生2的想法可謂獨特，足見他的思維活躍，視野開闊，聯(lián)想豐富，這是創(chuàng)造性人才應(yīng)必備的素質(zhì).

(看到兩位同學的踴躍發(fā)言，大家一臉躍躍欲試的表情……)

顯然，兩次不成功的體驗和思維暴露，不僅沒有挫敗大家的積極性，反而激發(fā)了更大的共鳴.

生3：(興奮的)我想到一種方法，要在x軸上找一點P使|PA|+|PB|最小，可作B點(或A點)關(guān)于x軸的對稱點B′,連AB′,則AB′與x軸的交點即為所求P點，且最小距離為AB′=|PA|+|PB|.

師：你是怎么想到的呢？

生3：我聯(lián)想到物理中的平面鏡成像和光線以最短路徑傳輸?shù)脑砗捅绢}的模型相似.

(真是奇思妙想??！一道題目讓學生參與分析，不僅想到了橢圓的定義，還想到了物理中的光學性質(zhì)，這是筆者始料不及的，學生的智慧真是無窮無盡.)

師：(點頭微笑，充滿信任，激勵的表情)那么你能簡要證明一下此時的值為何最小嗎？

生3：能證明.

于是我請“生3”在講臺上作了一次精彩的“自我展示”

(一片驚嘆聲，更是一片議論聲……)

師：感謝大家的積極思考，追溯歷史，本題其實就是著名的“將軍飲馬問題”，歷史上已經(jīng)有很多研究結(jié)論和方法.但今天我們用獨立思考方式，實踐了一次前人的探索足跡，變結(jié)論的“冰冷美麗為火熱的思考”.正所謂“探索誠可貴，體驗價更高”！

3.問題拓展

到此，原始問題已經(jīng)得到了圓滿的解決，借助興趣的提升，適時引導學生思維發(fā)展的高潮.

3.1 從特殊到一般

師：在上面的問題中，若我們將P點的位置從x軸上移到更一般的平面上任意一點，那么|PA|+|PB|有最小值嗎？△PAB的周長有最小值嗎？

生4：△PAB的周長無最小值，|PA|+|PB|有最小值，可分兩種情況說明：

(1)若P點與AB不共線，則P,A,B三點構(gòu)成三角形，易知|PA|+|PB|>|AB|；

(2)若P點在AB上時易知|PA|+|PB|≥|AB|，當且僅當P在A、B之間或與A、B兩點重合時取得最小.

3.2 從靜止到運動

師：(繼續(xù)引導探索)若我們保持P點繼續(xù)在x軸上運動，讓靜止的A點也在一條

直線l:y=2x+5上運動，那么|PA|+|PB|有最小值嗎？△PAB的周長有最小值嗎？

圖1

生5：都有最小值，借助于原始問題，我們可將B點分別作直線l，x軸對稱點E、F，如圖1,設(shè)交l與x軸于點M、N,連接EF,設(shè)交l與x軸于點R、S,則|PA|+|PB|的最小值為|BN|+|BM|,△PAB的周長的最小值為|EF|,M、N；R、S分別為所求的A、P兩點.

3.3 從幾何到代數(shù)

師：透過以上問題的解決，我們再回頭看看原始問題的函數(shù)解法，能否從中感受幾何與代數(shù)的聯(lián)系呢？

生6：原始問題中的目標函數(shù)的最值可借助點的對稱，幾何求解.

師：能否將原始問題的模型一般化并加以歸納深化呢?

(鼓勵學生進行思考，允許他們展開討論，并鼓勵大家積極發(fā)表各自的看法)

生7：通過我們幾個的研究，得到以下結(jié)論：

3.4 從平面到空間

圖2

(1)若x軸伸展為平面，如圖2，已知平面α同側(cè)兩點A、B,P在α上運動，|PA|+|PB|有最小值嗎？△PAB的周長有最小值嗎？若P在空間上運動呢？

(2)若x軸伸展為平面α，問題3.2中的l直線也伸展為平面β：如圖3，已知二面角α-l-β的大小為θ，點B為夾在二面角內(nèi)的空間一點，點A在α面內(nèi)運動，P在β面內(nèi)運動，那么|PA|+|PB|能否最??？△PAB的周長能否最?。?/p>

圖3

3.5 從理論到實踐

師：隨著問題的條件、結(jié)論的不斷發(fā)散，我們不僅解決了一類問題，也收獲了幾個重要模型，能否將模型付諸應(yīng)用呢？(我嘗試讓學生對模型進行實際問題的編擬與應(yīng)用，也收到了可喜的效果，很快，便有了小組編擬與應(yīng)用問題)

問題1在一條河(近似筆直)的同側(cè)有兩個村莊，張莊和李莊，兩村計劃于河上共建一水電站，發(fā)電供兩村使用，請建立數(shù)學模型，設(shè)計水電站的位置，使送電到兩村使用的電線用料最??？

四、教學啟示

問題不是新的，但過程卻不是舊的，幾經(jīng)思維“沖浪”，看似平常的問題，依然有它強大的生命力.一堂課結(jié)束了，相信學生探究數(shù)學的工作仍在繼續(xù).本節(jié)課引例本是常規(guī)問題，但一改過去老師講解、學生接受的教學模式，“行散而神不散”，既落實了垂直和對稱知識，又把生成點放在解法的自主探索和思維方向的發(fā)散上：一是它激發(fā)了學生探究數(shù)學的興趣和熱情；二是本節(jié)課引導學生思維發(fā)散的方法和方式可遷移到其他問題的探索過程中，其潛在價值不容忽視；三是學生創(chuàng)造性思維的火花不斷碰撞和相互啟發(fā)，促進了每位學生思維的發(fā)展，使學生看問題的角度不斷擴大，解決問題、提出問題、分析問題的能力不斷拓升.

“教的最終目的是為了不教”，“授人以魚，不如授人以漁”，教師工作的真正意義，不是單純的傳授知識，而應(yīng)以數(shù)學知識為載體，以數(shù)學思想和方法為核心，以提高學生能力和素養(yǎng)為目的.弗賴登塔爾認為：“數(shù)學知識不是教出來的，而是研究出來的.”所以，我們必須讓學生知道數(shù)學學習的本質(zhì)是什么；我們必須注意于數(shù)學家所用的工作方式，并圍繞它，而不是圍繞著數(shù)學家工作的結(jié)果來組織教學，知識也許會“老”，但思考問題的方法卻永遠“年輕”.