程衛(wèi)東，尹堯心

(北京交通大學(xué) 機(jī)械電子與控制工程學(xué)院，北京 100044)

機(jī)械故障診斷對保障機(jī)械系統(tǒng)安全運(yùn)行，減少或避免重大事故具有重大意義[1].機(jī)械故障診斷在本質(zhì)上是一個模式識別的過程[2]，主要可概括為機(jī)器狀態(tài)信息的獲取，故障特征的提取和故障模式的分類3部分.獲取機(jī)器設(shè)備狀態(tài)信息的主要方式之一是振動分析[3-4].由于機(jī)械系統(tǒng)產(chǎn)生的振動信號是由多激勵力源產(chǎn)生的振動響應(yīng)的混合[5]，為了實(shí)現(xiàn)某一機(jī)械故障源和其他振動源的分離，需要對機(jī)械故障模式特征進(jìn)行表征.

目前國內(nèi)外關(guān)于機(jī)械故障模式表征的方法主要有分段聚合近似表示方法，基于域變換的方法和多項(xiàng)式回歸分析方法等[6-7].Keogh等[8]以斜率指標(biāo)搭配原有的均值對時間序列進(jìn)行分段處理，提高了模式表征的準(zhǔn)確性.Kawagoe等[9]將離散小波變換(Discrete Wavelet Transform，DWT)和離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform，DFT)組合使用后也能較好地實(shí)現(xiàn)對時間序列的近似表示.劉清清等[10]利用雙樹復(fù)小波變換將復(fù)雜信號分解為不同頻帶分量，能夠有效地抑制虛假頻率的出現(xiàn)，并較為準(zhǔn)確地提取出故障特征.Fuchs等[11-13]提出了基于正交多項(xiàng)式的時間序列表示方法，以正交多項(xiàng)式為基礎(chǔ)運(yùn)用最小二乘法對時間序列進(jìn)行擬合，并運(yùn)用正交多項(xiàng)式基向量形成了特征空間，最終選擇其中數(shù)值較大的坐標(biāo)系數(shù)作為特征信息.

上述研究結(jié)果表明，目前針對振動信號的模式表征方法主要是根據(jù)時域和頻域的特征進(jìn)行表達(dá)，對于多故障源混合的振動信號會因?yàn)槟Ｊ奖磉_(dá)過于粗糙而導(dǎo)致分不清相近的故障模式.稀疏分解能夠根據(jù)振動信號自身的物理特性選擇基函數(shù)，將復(fù)雜的振動信號分解為少量的能夠表現(xiàn)信號物理特征的函數(shù)，即原子.將稀疏分解作為機(jī)械故障模式表征的工具不僅能用少量的原子表達(dá)模式的大部分信息，且更利于表達(dá)振動信號豐富的物理特征.經(jīng)稀疏分解變換后，振動信號轉(zhuǎn)化為包含稀疏系數(shù)、頻率、相位、尺度、位移五維特征的多個原子，五維特征兩兩組合形成不同的空間點(diǎn)群表征形式.這樣，機(jī)械故障模式的相似性度量就由計(jì)算時間序列的相似性轉(zhuǎn)化為計(jì)算空間點(diǎn)群之間的相似性.劉濤等[14]將空間點(diǎn)群相似性的計(jì)算分解為拓?fù)洹⒎较?、距離、分布范圍及分布密度5種相似度的計(jì)算.

本文作者將地理信息科學(xué)領(lǐng)域中的空間點(diǎn)群相似性度量方法引入到機(jī)械故障模式表征中，提出了一種基于MP稀疏分解與空間點(diǎn)群的機(jī)械故障模式表征方法.以滾動軸承內(nèi)外圈故障實(shí)測振動信號為實(shí)驗(yàn)對象，首先對滾動軸承故障信號進(jìn)行分段切片化處理，然后對每段切片信號進(jìn)行MP稀疏分解，將之分解為五維原子，通過殘差信號能量確定分解原子個數(shù)，最后從定性和定量兩個方面對原子的兩個維度進(jìn)行選擇，形成二維空間點(diǎn)群，對機(jī)械故障模式進(jìn)行表征.通過與時域信號表征進(jìn)行對比實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明該表征方法能夠更準(zhǔn)確地表征機(jī)械故障模式.

1 MP稀疏分解和空間點(diǎn)群

1.1 MP稀疏分解算法

MP稀疏分解算法，也稱匹配追蹤算法(Matching Pursuit ,MP)，是一種前向選擇貪婪算法，可將信號表達(dá)成多個含有多維特征的原子的線性組合[15].MP稀疏分解算法強(qiáng)調(diào)過完備原子庫的構(gòu)成應(yīng)較好地符合信號本身所固有的特征，在必要的冗余性條件下以實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)分解.

為了將原始信號包含的模式信息表達(dá)得更加全面和完善，選取含有四維因子的Gabor原子gγ(t)構(gòu)成過完備字典D.gγ(t)是由經(jīng)過移位和伸縮的高斯窗函數(shù)構(gòu)成.高斯窗函數(shù)為

g(t)=e-πt2

(1)

Gabor原子gγ(t)定義為

(2)

式中：γ=(s,u,v,w)為原子的指標(biāo)集，s為尺度、u為位移、v為頻率、w為相位因子.

MP稀疏分解算法可將一個機(jī)械狀態(tài)響應(yīng)片段變換成若干個五維的原子，維度包括稀疏系數(shù)p、尺度s、位移u、頻率v、相位w，即響應(yīng)片段的信息轉(zhuǎn)化為有物理意義的5個維度，全面地描述機(jī)械狀態(tài)響應(yīng)的物理屬性.

1.2 空間點(diǎn)群相似性度量

空間相似關(guān)系是地理信息科學(xué)領(lǐng)域中的一個重要概念，許多學(xué)者都對其進(jìn)行了研究[16-18].空間點(diǎn)群相似性度量是一種基于空間相似關(guān)系理論，從空間點(diǎn)群目標(biāo)的拓?fù)湎嗨贫?、方向相似度、距離相似度、分布范圍相似度及分布密度相似度入手，對空間點(diǎn)群目標(biāo)之間相似關(guān)系進(jìn)行度量的方法[19-21].

利用經(jīng)典空間點(diǎn)群相似度計(jì)算模型[14]，將空間點(diǎn)群相似度分為點(diǎn)群拓?fù)湎嗨贫萐IM_topo、方向相似度SIM_dir、距離相似度SIM_dist、分布范圍相似度SIM_scope、分布密度相似度SIM_densi 5個方面.并根據(jù)Bruns等[19]提出的主導(dǎo)性原則，對上述5個相似度分配權(quán)值并給出空間點(diǎn)群相似性度量方法，如圖1所示.

2 基于MP與空間點(diǎn)群的表征方法

以滾動軸承內(nèi)、外圈故障信號為例，提出了基于MP稀疏分解與空間點(diǎn)群的機(jī)械故障模式表征方法.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)樣本來自于美國凱斯西儲大學(xué)軸承數(shù)據(jù)中心，實(shí)驗(yàn)條件為：電機(jī)轉(zhuǎn)速N=1 796 r/min，損傷直徑0.018 cm，采樣頻率F=48 000 Hz，載荷為0.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是以型號為6205-2RS JEM SKF的深溝球軸承為對象測得，根據(jù)其結(jié)構(gòu)尺寸及電機(jī)轉(zhuǎn)速N可計(jì)算出深溝球軸承外圈、內(nèi)圈的故障特征系數(shù)f分別為3.584 8和5.415 2.

2.1 滾動軸承故障信號的分段處理

為更好地表征滾動軸承故障模式的空間點(diǎn)群，將外、內(nèi)圈故障數(shù)據(jù)進(jìn)行分段處理，其中每段長度C為

(3)

滾動軸承內(nèi)、外圈故障信號的分段處理結(jié)果如圖2所示.利用電機(jī)轉(zhuǎn)速N、采樣頻率F和故障特征系數(shù)f可計(jì)算得軸承外圈、內(nèi)圈故障信號每段的長度C分別為447和296個采樣點(diǎn).對軸承外圈故障信號的第100～3 576采樣點(diǎn)按447進(jìn)行等長度切分，得到8片長度均為447個采樣點(diǎn)的信號片段.同理對軸承內(nèi)圈故障信號的100～2 368采樣點(diǎn)按296等長度切分，得到8片長度均為296個采樣點(diǎn)的信號片段.由于MP稀疏分解中過完備字典D的原子均是根據(jù)外圈故障的信號片段構(gòu)造的，故D中所有的原子長度與外圈故障的信號片段長度相同，即447個采樣點(diǎn).為了保證內(nèi)圈故障信號順利進(jìn)行稀疏分解，需將其信號片段進(jìn)行“前后補(bǔ)零”，使其長度與D中原子的長度保持一致，即拓展為447個采樣點(diǎn).

2.2 分段信號的MP稀疏分解

對一段信號進(jìn)行MP稀疏分解的目的是利用少數(shù)幾個原子的線性組合來表達(dá)原信號的主要信息，因此如何選擇代表原信號的原子數(shù)量是MP稀疏分解算法的關(guān)鍵，即MP稀疏分解算法的迭代終止條件的選擇至關(guān)重要.

一般情況下，MP算法的終止條件有兩種[22]：1)采用硬門限，即把稀疏分解的迭代終止條件設(shè)為n次；2)迭代終止條件設(shè)為殘差滿足‖Rny‖<ε時迭代終止.Rny為待分解信號n次逼近后的殘余誤差，誤差能量‖Rny‖會隨著分解的進(jìn)行迅速減小.設(shè)H為Hilbert空間，對于任意信號y∈H滿足有限長度條件時，‖Rny‖會隨著n的增大而呈指數(shù)衰減為0，即在最初的幾次迭代中，誤差衰減的速度非?？欤?jīng)過一定次數(shù)的迭代后，誤差衰減的速度變得很慢.通常情況下，用相對于信號長度而言少數(shù)的原子，就可以表示信號的主要特征，因此本實(shí)驗(yàn)采用硬門限作為MP算法的終止條件，對滾動軸承外圈故障的切片信號進(jìn)行MP稀疏分解，得到不同迭代次數(shù)情況下殘差信號的能量值如圖3所示.

由圖3可知，當(dāng)?shù)螖?shù)n設(shè)置為30～50次，即選用30～50個原子來對外圈故障信號的第一片段進(jìn)行重構(gòu)時，殘差信號的能量值的衰減幅度已趨于平緩，且殘差信號的能量與原信號的能量占比均少于20%，表明30～50個原子已經(jīng)能夠表達(dá)原信號的主要特征.又由于MP算法的計(jì)算量極大，迭代次數(shù)增加必定伴隨著計(jì)算時間的指數(shù)倍增加.因此，在能夠表達(dá)原信號主要特征的基礎(chǔ)上，為盡可能地減少算法的計(jì)算時間，將MP稀疏分解算法的迭代次數(shù)n設(shè)定為30次.為驗(yàn)證該迭代次數(shù)的有效性，將外圈故障信號的第一片段經(jīng)MP算法30次迭代后得到的重構(gòu)信號與原始信號進(jìn)行對比，如圖4所示，分析可知經(jīng)30個原子重構(gòu)出的信號基本上表達(dá)了原始信號的主要特征，故MP稀疏分解算法的終止條件均設(shè)置為n=30.

2.3 故障模式的空間點(diǎn)群表征

通過MP稀疏分解將滾動軸承故障信號的每一片段都分解為30個五維原子，形成空間點(diǎn)群，但空間點(diǎn)群表征方法通常使用二維點(diǎn)，所以如何選取五維原子點(diǎn)的兩個維度成為一個十分關(guān)鍵的問題.現(xiàn)分別從定性和定量兩個方面對空間點(diǎn)群兩個維度的選取進(jìn)行研究.

2.3.1 空間點(diǎn)群二維維度的定性研究

以滾動軸承外圈和內(nèi)圈故障信號的第1片段為例，其時域表征形式如圖5所示，初步研究原子中稀疏系數(shù)p、尺度s、位移u、頻率v、相位w5個維度對機(jī)械故障模式的區(qū)分能力.

將五維原子中的任意維度兩兩組合，形成二維空間點(diǎn)群表示，共10種組合情況，如圖6所示，其中 “?”表示外圈故障模式，“+”表示內(nèi)圈故障模式.

由圖6中第2個子圖，即稀疏系數(shù)與位移組合的二維表示圖可知，外圈故障模式和內(nèi)圈故障模式所包含的數(shù)據(jù)點(diǎn)區(qū)分效果明顯，在10種維度組合方案中模式分類效果最好.另外，由圖5的信號時域表征形式可知，內(nèi)、外圈故障信號的波形能量分布差異明顯，而位移維度描述的就是兩類故障模式能量聚集的位置，且稀疏系數(shù)反映的本質(zhì)就是能量的大小，即從能量的角度初步驗(yàn)證了用稀疏系數(shù)和位移兩個維度進(jìn)行機(jī)械故障模式分類的可靠性.

2.3.2 空間點(diǎn)群二維維度的定量研究

以稀疏系數(shù)與位移組合的空間點(diǎn)群表征方案為例，把滾動軸承外圈故障信號的第1片當(dāng)作模板，運(yùn)用空間點(diǎn)群相似性度量方法，逐一同8片外圈和內(nèi)圈故障信號進(jìn)行比較，得到該種表征方案的相似性度量結(jié)果，如圖7(a)中第1個子圖所示.其中，藍(lán)色實(shí)線代表同源模式的相似性度量結(jié)果，即滾動軸承外圈故障信號的第1片與外圈的8片(包含第1片本身)進(jìn)行相似性度量的結(jié)果；黑色實(shí)線則代表異源模式，即滾動軸承外圈故障信號第1片與內(nèi)圈的8片進(jìn)行相似性度量的結(jié)果.

然后分別將外圈的其他7片當(dāng)作模板，得到圖7(a)中的剩余7個子圖.再以稀疏系數(shù)與尺度組合的空間點(diǎn)群表征方案為例，得到圖7(b)中的8個子圖.

表1 10組實(shí)驗(yàn)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差

由于模式越相近，相似度越接近于1，要實(shí)現(xiàn)異、同源模式的完全區(qū)分，需要同源相似度的最小值大于異源相似度的最大值.由圖7可知，代表同源模式的藍(lán)色實(shí)線和代表異源模式的黑色實(shí)線均沒有相交，即說明稀疏系數(shù)與位移、尺度維度組合兩種空間點(diǎn)群表征方案均能實(shí)現(xiàn)滾動軸承同、異源模式的分類.

再分析表1可知，均值最大的實(shí)驗(yàn)方案為p&s，即稀疏系數(shù)與尺度維度搭配方案的分類閾值區(qū)間最大，但由于其標(biāo)準(zhǔn)差在所有實(shí)驗(yàn)中也是最大，對應(yīng)其空間點(diǎn)群相似性度量結(jié)果如圖7(b)，該表征方案雖可實(shí)現(xiàn)同、異源模式分類，但閾值區(qū)間并不穩(wěn)定.從表1中逐一分析各組實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，將機(jī)械故障模式表征為由稀疏系數(shù)和位移兩維度搭配(p&u)的空間點(diǎn)群表征方案，經(jīng)相似性度量得到的結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)差最小且均值較大,如圖7(a)，該實(shí)驗(yàn)方案可完全區(qū)分開同源和異源模式，且存在穩(wěn)定的閾值區(qū)間，實(shí)驗(yàn)效果最佳.故運(yùn)用基于MP稀疏分解算法將機(jī)械故障模式表征為稀疏系數(shù)與位移搭配的空間點(diǎn)群的形式更利于實(shí)現(xiàn)模式分類.

3 與時域表征方法的對比實(shí)驗(yàn)

動態(tài)時間彎曲(Dynamic Time Warping，DTW)算法[23]支持不同長度時間序列的相似性度量，具有較好的度量精度和魯棒性，是一種被廣泛采用的時域相似性度量方法[24].對滾動軸承外圈和內(nèi)圈故障信號,均按其自身故障特征系數(shù)分段處理取前8片信號，以外圈故障信號第1片的振動時間序列為模板，運(yùn)用DTW算法，逐一同外圈的8片(包括自身)和內(nèi)圈的8片的振動時間序列進(jìn)行比較，保留實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8所示.藍(lán)色實(shí)線和黑色實(shí)線分別代表滾動軸承異、同源模式的DTW相似性度量結(jié)果.由于模式越相近，DTW距離越小，因此要實(shí)現(xiàn)同、異源模式的完全區(qū)分，同源距離的最大值應(yīng)小于異源距離的最小值.

由圖8可知，DTW相似性度量結(jié)果中存在了模式混疊現(xiàn)象，但基本可實(shí)現(xiàn)同、異源模式分類.計(jì)算得到該實(shí)驗(yàn)的σ為0.014 1，高于p&u實(shí)驗(yàn)的σ，模式分類的閾值區(qū)間穩(wěn)定性較差，僅圖8中所示的閾值范圍，即藍(lán)色實(shí)線與黑色實(shí)線之間的間隙就有100～350、100～150、200～500種等多種可能.綜合比較基于稀疏分解與空間點(diǎn)群的模式表征前后滾動軸承同、異源模式分類能力的差別，表征后進(jìn)行空間點(diǎn)群相似性度量的結(jié)果分類效果較好且具有穩(wěn)定的閾值區(qū)間.

4 結(jié)論

1)在基于MP稀疏分解與空間點(diǎn)群的機(jī)械故障模式表征方法中，對于滾動軸承故障信號，采用稀疏系數(shù)與位移兩個維度作為空間點(diǎn)群的維度進(jìn)行表征，模式分類效果最佳.

2)與振動信號時域表征形式相比，基于MP稀疏分解與空間點(diǎn)群的機(jī)械故障模式表征方法，更適用于實(shí)現(xiàn)模式分類且分類效果更加顯著，同時存在穩(wěn)定的閾值區(qū)間.