胡 強，滕 霖，岳亞洲，曹詩音，朱良健，孟 冰

（中國航空工業(yè)集團公司西安飛行自動控制研究所，西安 710065）

半球諧振陀螺是利用科氏效應敏感角運動的一種新型殼體振動陀螺[1,2]。相比基于Sagnac 效應的激光陀螺和光纖陀螺，尺寸對半球諧振陀螺的理論精度影響較小，使半球諧振陀螺能夠實現(xiàn)相對小體積下的高精度[3]。半球諧振陀螺采用高品質因數(shù)的半球諧振子和較為簡單的結構，具備精度高、體積小、重量輕、功耗低、可靠性高和環(huán)境適應性好等優(yōu)勢，在航空、航天、航海以及陸用等各個領域具有廣闊的應用前景[4,5]。

傳統(tǒng)半球諧振陀螺采用球面電極與諧振子形成驅動和檢測電容，零部件制造和裝配難度大、成本高；而新型半球諧振陀螺采用平板電極結構，簡化了電極制造以及諧振子、電極的裝配問題，但由于該陀螺方案僅利用了諧振子的唇沿面積，與平板電極形成的電容面積大幅降低。為增大電容面積，本文設計了一種變壁厚半球諧振子，通過有限元分析軟件ANSYS 對該結構進行了模態(tài)分析，并研究了壁厚、內外表面球心距離、內圓角、錨柱中部半徑等參數(shù)對該結構各階振型及相應頻率的影響。

1 新型半球諧振陀螺和變壁厚半球諧振子

傳統(tǒng)半球諧振陀螺采用的“三件套”基本結構如圖1 所示，從上到下分別為激勵罩、半球諧振子和敏感基座，所用基材均為高純熔融石英玻璃[6]。圖中，激勵罩球面內壁上分布有離散激勵電極與環(huán)形激勵電極；敏感基座表面分布有球面的信號檢測電極；半球諧振子內、外表面鍍制金屬薄膜，分別與球面檢測電極、球面激勵電極形成激勵電容和檢測電容。為了在半球諧振子表面與球面電極之間形成各向同性的球殼形微小間隙，必須使半球諧振子分別與球面檢測電極、球面激勵電極完全匹配。這對電極的制造以及諧振子與兩個電極的裝配提出極高的要求。

圖1 傳統(tǒng)三件套半球諧振陀螺基本結構[6]Fig.1 The structure of classical three-piece HRG

半球諧振子以四波腹振型振動時，諧振子唇沿處任一質點的運動不僅包含唇沿面內徑向振動分量，還包含半球諧振子軸向振動分量。所以，可利用上述軸向振動，將激勵電極和檢測電極放置在平面內，與諧振子唇沿面產生靜電力，實現(xiàn)四波腹振型的激勵和檢測，如圖2 所示。這種新型半球諧振陀螺的激勵和檢測電極均集成在平板電極上，是一種“兩件套”結構[7]。該方案相對采用球面電極的傳統(tǒng)半球諧振陀螺方案，將半球諧振子和電極的裝配由三維問題轉變?yōu)槎S平面問題，顯著降低了制造和裝配難度，更有助于減少零件數(shù)量和降低陀螺重量。

圖2 采用平板電極的兩件套半球諧振陀螺結構[7]Fig.2 The Structure of two-piece HRG with flat electrodes

新型陀螺方案僅利用了半球諧振子的唇沿底面，由于半球諧振子球殼壁厚通常為毫米級，所以半球諧振子唇沿與平板電極形成的電容面積大幅降低；并且半球諧振子軸向振動幅度僅為唇沿面內徑向振動幅度的一半，這將影響諧振子的驅動效率和檢測信號大小。為了保持檢測電容和驅動電容基本不變，一方面，減小半球諧振子唇沿與平板電極的間隙；另一方面，增加半球諧振子唇沿面積。

對于傳統(tǒng)的等壁厚半球諧振子，增加唇沿面積須增加球殼壁厚，導致剛度增大、工作振型諧振頻率顯著增大，影響半球諧振子性能。為了在增加諧振子唇沿面積的同時抑制諧振頻率增大，通過將等壁厚諧振子的內外表面球心離心，可得到一種頂部較薄、唇沿處較厚的均勻變壁厚諧振子結構，如圖3 所示。由于該結構內外表面均為球面，因此易于加工。變壁厚結構在增加諧振子唇沿面積的同時也增加了四波腹振型的模態(tài)質量，提高了材料利用率，有利于提高陀螺性能。

圖3 均勻變壁厚諧振子的基本結構Fig.3 The structure of resonator with gradually variable thickness shell

2 變壁厚半球諧振子設計及模態(tài)分析

2.1 模態(tài)分析的基本理論

對諧振子進行模態(tài)分析可得到其本征振型及相應頻率[8,9]，這在數(shù)學上歸結為求系統(tǒng)矩陣的特征值與特征向量的問題。將半球諧振子看作無阻尼多自由度線性振動系統(tǒng)，其自由振動微分方程可表示為：

其中，x是位移列陣；M與K分別為系統(tǒng)的質量與剛度矩陣，均為n×n階實對稱矩陣?？稍O式(1)的解為：

其中，X為振幅列陣，ω為圓頻率，φ為初相位。將式(2)代人式(1)，可得：

式(3)的特征方程為：

通過求解式(4)可得到半球諧振子的固有頻率，將固有頻率代入式(3)則可解得半球諧振子在各頻率下的本征振型。

2.2 傳統(tǒng)等壁厚半球諧振子與模態(tài)分析

采用有限元分析軟件ANSYS 建立某型等壁厚半球諧振子模型并對其進行模態(tài)仿真分析，傳統(tǒng)等壁厚半球諧振子結構如圖4 所示，尺寸單位為毫米。材料選取熔融石英玻璃，在25 °C時，其密度為2.201 g/cm3，楊氏模量為72.7 GPa，泊松比為0.16。

圖4 傳統(tǒng)等壁厚半球諧振子結構Fig.4 Classical resonator with constant thickness shell

模態(tài)仿真分析時，在錨柱底部添加固定約束。仿真得到的諧振子前四階振型如圖5 所示。

圖5 等壁厚諧振子前4 階振型Fig.5 The first 4 modes of resonator with constant thickness shell

圖5(a)-(d)分別對應諧振子的二階彎曲振型、軸撓性振型、一階彎曲振型與軸彎曲振型，其中二階彎曲振型為半球諧振陀螺的工作振型，該振型也稱為四波腹振型。各階振型對應的諧振頻率如表1 所示，工作振型與相鄰振型頻差較大，滿足半球陀螺的工作要求，但其壁厚僅為0.8 mm，導致唇沿面積較小，影響工作振型激勵效率和檢測信噪比。

表1 等壁厚半球諧振子各階頻率及對應振型Tab.1 The frequencies and corresponding modes of resonator with constant thickness shell

2.3 變壁厚半球諧振子結構設計與模態(tài)分析

為了提高諧振子唇沿面積的同時抑制工作振型諧振頻率的增大，本文設計了一種變壁厚諧振子結構，優(yōu)化后參數(shù)如圖6 所示。圖6 中各參數(shù)單位為mm。該結構是通過將諧振子內外球心離心得到的上薄下厚的變壁厚諧振子。

圖6 變壁厚半球諧振子Fig.6 The resonator with gradually variable thickness shell

該變壁厚諧振子前四階振型如圖7 所示，圖7(a)-(d)分別對應諧振子的軸撓性振型、一階彎曲振型、二階彎曲振型與軸彎曲振型。各階振型對應的諧振頻率如表2所示。

圖7 變壁厚諧振子前4 階振型Fig.7 The first 4 modes of resonator with gradually variable thickness shell

對比等壁厚諧振子與變壁厚諧振子結構可以看出，變壁厚結構在基本不改變工作振型諧振頻率的基礎上，可將諧振子唇沿底部寬度從0.8 mm 增大至1.3 mm，使唇沿面積增大了約65%，有效提高了諧振子的工作面積。

表2 變壁厚半球諧振子各階頻率及對應振型Tab.2 Frequency and corresponding mode of resonator with gradually variable thickness shell

3 結構參數(shù)對變壁厚半球諧振子的影響規(guī)律

為了研究結構參數(shù)變化對變壁厚諧振子前四階振型諧振頻率的影響，通過ANSYS 對不同參數(shù)下的變壁厚諧振子進行了模態(tài)仿真，所用材料及仿真設置與2.4節(jié)一致。選取的結構參數(shù)變量如圖8 所示，其中a為外表面半徑、b為內外表面球心距離、c為內圓角、d為錨柱中部半徑。圖8 中各參量單位為mm。

圖8 諧振子結構參數(shù)變量示意圖Fig.8 Schematic diagram of structural parameter variables of resonator

變壁厚諧振子外表面半徑對振型諧振頻率的影響規(guī)律如圖9 所示。隨著諧振子外表面半徑的增大，諧振子壁厚增大，一階彎曲、軸彎曲與軸撓性振型的諧振頻率線性下降，二階彎曲振型的諧振頻率線性增大。其中二階彎曲振型的諧振頻率隨壁厚的變化最為顯著。因此，諧振子壁厚變化同時顯著影響二階彎曲振型諧振頻率及相鄰振型間的頻差，是諧振子設計的關鍵參數(shù)。

固定諧振子內表面球心，變壁厚諧振子內外球心距離對振型諧振頻率的影響規(guī)律如圖10 所示。隨著內外球心距離的增大，諧振子的頂部變薄而唇沿變厚。一階彎曲和二階彎曲振型的諧振頻率線性下降，軸撓性和軸彎曲振型的諧振頻率線性增大。其中，二階彎曲振型諧振頻率變化最顯著，軸彎曲、軸撓性和一階彎曲振型諧振頻率變化較小。因此，改變內外球心距離是調節(jié)二階彎曲振型的諧振頻率的有效手段。

圖9 外表面半徑對諧振頻率的影響Fig.9 The influence of the outer surface radius on the resonance frequency

圖10 內外表面球心距離對諧振頻率的影響Fig.10 The influence of the distance between the center of the inner and outer surfaces on the resonance frequency

變壁厚諧振子內圓角半徑對振型諧振頻率的影響規(guī)律如圖11 所示。隨著內圓角半徑的增大，一階彎曲與軸彎曲振型的諧振頻率均線性增大，二階彎曲與軸撓性振型的諧振頻率變化較小。因此，通過調節(jié)內圓角半徑，可改變二階彎曲振動與相鄰振型間的頻差，從而對振型間串擾進行抑制。

圖11 內圓角半徑對諧振頻率的影響Fig.11 The influence of fillet radius on resonance frequency

變壁厚諧振子錨柱中部半徑對振型諧振頻率的影響規(guī)律如圖12 所示。隨著錨柱中部半徑的增大，一階彎曲、軸彎曲與軸撓性振型的諧振頻率均線性增大，而二階彎曲振型的頻率變化較小。因此，改變錨柱中部半徑也可調節(jié)二階彎曲振動與相鄰振型間的頻差從而抑制振型間串擾，且比調節(jié)內圓角半徑的效率更高。

圖12 錨柱中部半徑對諧振頻率的影響Fig.12 The influence of the radius of the anchor column on the resonance frequency

綜上所述，諧振子壁厚及內外表面離心程度對二階彎曲振型諧振頻率影響顯著，諧振子內圓角半徑與錨柱中部半徑對二階彎曲振型諧振頻率的影響較小但對相鄰振型頻差影響較大。可通過改變壁厚及離心程度調整諧振子的工作振型諧振頻率。改變內圓角半徑與錨柱中部半徑均可增大工作振型與相鄰振型間的頻率差，但錨柱中部半徑對振型間頻差的影響更為顯著。另外，調節(jié)不同參數(shù)時，諧振子振型諧振頻率的變化率存在差異，所以可進一步對各個關鍵參數(shù)的誤差進行分析。

4 變壁厚諧振子工作振型諧振頻率測試

為驗證表2 中諧振頻率仿真結果的準確性，按照圖6 所示的結構設計參數(shù)加工變壁厚諧振子；針對3 個完成加工的諧振子，開展工作振型（二階彎曲振型）的諧振頻率實驗測試。采用敲擊法激勵諧振子產生振動，同時用激光多普勒測振儀對諧振子諧振頻率進行測試，測試實驗如圖13 所示。

變壁厚諧振子工作振型諧振頻率測試與仿真結果如表3 所示?？梢钥闯?，工作振型諧振頻率測試與仿真結果非常接近，相對誤差小于3%，證明本文有限元仿真和分析較為準確。

表3 變壁厚半球諧振子諧振頻率測試結果與仿真結果Tab.3 Resonance frequency experimental results and simulation results of resonator with gradually variable thickness shell

5 結 論

采用有限元軟件進行半球諧振子模態(tài)分析，相比等壁厚半球諧振子，變壁厚半球諧振子在保證工作振型諧振頻率基本不變且相鄰振型頻差較大的情況下，有效增加了唇沿面積；研究了結構參數(shù)對變壁厚半球諧振子的影響規(guī)律，即通過調節(jié)變壁厚諧振子的壁厚與內外表面球心的距離可調整諧振子的工作頻率，增大內圓角半徑與錨柱中部半徑尺寸可增大一階彎曲振型與二階彎曲振型的頻率差進而減少模式間串擾的發(fā)生。設計了一種變壁厚半球諧振子，并對優(yōu)化后的變壁厚諧振子進行了模態(tài)實驗，驗證了仿真模型的可靠性與準確性。結果表明該結構在保證工作振型諧振頻率特性基本不變的前提下，可將諧振子唇沿底部寬度增大至1.3 mm，使唇沿面積相比傳統(tǒng)等壁厚半球諧振子增大了約65%，有效提高了激勵電容和檢測電容面積。最后對3 個變壁厚諧振子工作振型的諧振頻率進行了實驗測試，測試與仿真結果非常接近，相對誤差小于3%，證明本文有限元仿真和分析較為準確。