高廣樂，高社生，彭 旭，胡高歌

（1. 西北工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院，西安 710072；2. 西北工業(yè)大學(xué)深圳研究院，深圳 518057；3. 南瑞集團（國網(wǎng)電力科學(xué)研究院）有限公司，南京 211106）

為構(gòu)建一個長期穩(wěn)定且可靠的組合導(dǎo)航系統(tǒng)，采用多傳感器的組合導(dǎo)航方式受到了廣泛關(guān)注[1-3]。在眾多導(dǎo)航方法中，光譜紅移導(dǎo)航系統(tǒng)(SRS)是一種具有前瞻性的自主導(dǎo)航方法。光譜紅移導(dǎo)航只利用天體光譜的多普勒頻移效應(yīng)實現(xiàn)飛行器導(dǎo)航，具有無時間延遲、選星容易以及自主性強等優(yōu)點[4,5]。而將SRS 與捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(SINS)以及天文導(dǎo)航系統(tǒng)(CNS)進行組合的SINS/CNS/SRS 組合導(dǎo)航系統(tǒng)，則不僅能夠在天文導(dǎo)航選星困難時，通過SRS 輔助糾正捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)誤差，同時也保證了導(dǎo)航系統(tǒng)的高度自主性。

但是，在惡劣的環(huán)境之中，CNS 或SRS 系統(tǒng)傳感器經(jīng)常會出現(xiàn)故障導(dǎo)致導(dǎo)航系統(tǒng)不可靠，因此在組合導(dǎo)航系統(tǒng)中進行故障的隔離與診斷則十分必要。Carlson 等首先提出了聯(lián)邦卡爾曼濾波理論，使各導(dǎo)航子系統(tǒng)相互分離，降低系統(tǒng)之間相互干擾，一定程度提高了系統(tǒng)容錯性，為導(dǎo)航系統(tǒng)故障隔離的實現(xiàn)奠定了基礎(chǔ)[6,7]。關(guān)于故障診斷方法，卡方檢驗法目前是工程中最常用的故障診斷方法，對突變故障有較好的檢測效果，但對緩慢增加的軟故障，卡方檢驗法卻不夠靈敏[8,9]。進而，Joerger M 提出了一種累積的卡方檢驗法，將加權(quán)的殘差平方累積作為統(tǒng)計量，能夠較快地檢測出系統(tǒng)的變化，但隨著時間的推移，累積量會不斷變大且難以下降[10]。為解決累積量難以下降的問題，提出了基于卡爾曼濾波的序貫概率比檢驗方法(SPRT)，用于檢測傳感器中存在的緩變故障與持續(xù)偏差[11,12]。但由于在傳統(tǒng)SPRT 檢驗中，統(tǒng)計量的計算涉及了較多的歷史量測信息，因此也不能快速變化，及時反映傳感器故障的發(fā)生與結(jié)束，甚至還會引起無法檢測故障結(jié)束的問題，造成了系統(tǒng)漏警與誤警[13]。在組合導(dǎo)航系統(tǒng)中，長時間的誤警會導(dǎo)致正常的CNS或SRS 觀測信息被長期隔離而失效，使得SINS 系統(tǒng)發(fā)散，導(dǎo)航系統(tǒng)精度與可靠性降低。

為彌補SPRT 方法的缺陷，本文提出了一種漸消SPRT 方法。該方法引入漸消因子，降低歷史量測信息對新時刻統(tǒng)計量以及統(tǒng)計量變化率的影響，避免了傳統(tǒng)SPRT 方法無法檢測故障結(jié)束的缺陷并降低了故障開始時刻的檢測延時，從而減少檢測系統(tǒng)的誤警與漏警。最后基于SINS/CNS/SRS 組合導(dǎo)航系統(tǒng)，對漸消SPRT 方法診斷緩慢故障進行了仿真，驗證了該方法能夠及時檢測與隔離導(dǎo)航中存在的傳感器軟故障，保證了導(dǎo)航系統(tǒng)的估計精度與可靠性。

1 聯(lián)邦卡爾曼濾波算法

為方便故障傳感器隔離，提高導(dǎo)航容錯性，在多傳感器組合導(dǎo)航系統(tǒng)中可采用聯(lián)邦卡爾曼濾波器（FKF）[7]。

假設(shè)系統(tǒng)方程為

式中，下標(biāo)k代表采樣時間，X為系統(tǒng)狀態(tài)向量，F(xiàn)為系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，下標(biāo)i表示提供量測信息的不同傳感器，Z表示量測向量，H為量測矩陣，W～N(0,Q)和V～N(0,R)分別代表狀態(tài)噪聲矩陣和量測噪聲矩陣。

基于以上系統(tǒng)方程，F(xiàn)KF 的主要步驟如下：

1）狀態(tài)預(yù)測

式中，為k-1 時刻狀態(tài)估計，為k時刻狀態(tài)預(yù)測，Pk/k-1為預(yù)測協(xié)方差陣。

2）子濾波器的量測更新

式中，Ki,k為i子濾波器的增益陣；為i子濾波器下的狀態(tài)估計；Pi,k為i子濾波器下狀態(tài)協(xié)方差陣估計。

3）多個子濾波器信息融合

式中，Pk為融合后的協(xié)方差陣估計；融合后的狀態(tài)估計。

2 基于卡爾曼濾波的漸消序貫概率比檢驗

2.1 基于卡爾曼濾波的SPRT 故障檢測的基本原理

設(shè)故障下的導(dǎo)航子濾波器的量測方程可表示為

其中

因此導(dǎo)航子系統(tǒng)的新息值可表示為

選取k時刻內(nèi)的導(dǎo)航子濾波器下的所有新息值組成新息序列{νi(j)|j=1,2…k}。設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程無擾動，且子系統(tǒng)量測量中無故障時，該子濾波器中的新息序列應(yīng)相互獨立且服從正態(tài)分布N(0,Σ)[13]。此時新息期望值和方差可表示為

而當(dāng)系統(tǒng)有故障時，可得新息期望與方差為

其中

進一步，根據(jù)兩類假設(shè)的概率密度函數(shù)，則可計算兩類假設(shè)下的似然比為

再對L(k) 求對數(shù)，所得變量即為基于卡爾曼濾波的SPRT 檢驗方法的統(tǒng)計量

設(shè)每時刻的統(tǒng)計量變化率可表示為

則可獲取SPRT 統(tǒng)計量的迭代形式為

傳統(tǒng)的Wald 提出的SPRT 方法中，常采用雙閾值進行故障判斷[12]，其雙閾值設(shè)置如下

其中，Pf表示誤警率；Pm表示漏警率。

最后，根據(jù)閾值和統(tǒng)計量，可寫出基于卡爾曼濾波的SPRT 故障診斷方法的檢驗函數(shù)為

由式(24)中的判斷函數(shù)可以看出，雙閾值法在統(tǒng)計量居于兩個閾值中間時，則該時刻系統(tǒng)不做出判斷。而實時性系統(tǒng)，如導(dǎo)航系統(tǒng)，則需要在每個時刻都知道傳感器量測信息是否可被引入式(5)～(7)，進行量測更新。因此雙閾值法完全不適用實時導(dǎo)航系統(tǒng)。為避免雙閾值法導(dǎo)致無法得到實時檢測結(jié)果的問題，可對SPRT 法進行改進，只采用單閾值進行檢測。

除此之外，在卡爾曼濾波過程中，誤警會導(dǎo)致量測失效，使系統(tǒng)只進行狀態(tài)預(yù)測。而短時間進行狀態(tài)預(yù)測不會造成過多的狀態(tài)量偏差。并且若存在其他未發(fā)生故障傳感器及時糾正偏差，則系統(tǒng)仍可獲取準(zhǔn)確的導(dǎo)航信息。相反，漏警會造成存在故障的量測值被引入系統(tǒng)導(dǎo)致誤差更大的狀態(tài)估計值。隨著卡爾曼濾波過程迭代，故障引起的偏差會在狀態(tài)量中累積，使得狀態(tài)量跟隨故障，導(dǎo)致系統(tǒng)更無法檢測出故障而產(chǎn)生更多的漏警。因此在采用單閾值法時，系統(tǒng)采用較小閾值即Tdown，進行單閾值檢測來避免系統(tǒng)產(chǎn)生過多漏警。相應(yīng)的，SPRT 故障診斷檢驗函數(shù)修改為

2.2 基于卡爾曼濾波的SPRT 故障檢測的缺陷分析

閾值改進后的傳統(tǒng)SPRT 方法對緩慢增加故障的檢測靈敏度較高，但仍存在延遲和無法檢測故障結(jié)束的缺陷。為解決此問題，首先需要對缺陷出現(xiàn)的原因進行分析，具體如下：

SPRT 統(tǒng)計量可表示為

且 Δλ(j)可變換為

同時將也寫作迭代形式為

當(dāng)量測系統(tǒng)長時間正常時，→ 0。進而由式 (27)(28)可知，此時也存在 Δλ(j) → 0,λ(k) → 0。

假設(shè)在t1 時刻系統(tǒng)發(fā)生故障。當(dāng)t1 較大時，由式 (27)(28)可看出，在故障初期仍接近于零，導(dǎo)致 Δλ(j)增長緩慢，使得統(tǒng)計量需要累積較長時間才能夠檢測到故障開始，造成較長時間漏警。

進一步，假設(shè)已經(jīng)被檢測到的故障在t2 時刻結(jié)束。因此，λ(t2 - 1)應(yīng)已超過閾值，且故障越大，λ(t2 -1)越大。而當(dāng)故障結(jié)束后，統(tǒng)計量需要較長的時間累計此時為負(fù)值的統(tǒng)計變化量 Δλ(j)，使自身下降至閾值以下，實現(xiàn)對故障結(jié)束的檢測。但是，在故障結(jié)束之后的時間里，量測系統(tǒng)也已恢復(fù)正常，使得逐漸趨于0，進而使得統(tǒng)計量變化率 Δλ(j) → 0。因此若在特定時間中統(tǒng)計量未下降至閾值之下時，趨于零的統(tǒng)計量變化率則很難再使統(tǒng)計量快速降低，從而導(dǎo)致在故障結(jié)束后統(tǒng)計量一直大于閾值，出現(xiàn)無法檢測故障結(jié)束的問題，進而引起系統(tǒng)持續(xù)的誤警，導(dǎo)致在卡爾曼濾波過程中，提供量測量的傳感器徹底失效。

2.3 基于卡爾曼濾波的漸消SPRT 檢驗方法基本原理

基于以上分析可看出，SPRT 無法及時檢測故障開始而導(dǎo)致漏警的原因是由于故障開始時，正常時刻的新息仍對的計算產(chǎn)生較大的影響；而無法檢測故障結(jié)束的主要原因是由于故障時刻的歷史統(tǒng)計量在故障結(jié)束后，仍然對統(tǒng)計量計算產(chǎn)生影響。

為解決SPRT 的缺陷，本文對SPRT 方法進行了改進：可在計算新息均值和統(tǒng)計量λ時引入漸消因子，對SPRT 中歷史統(tǒng)計量以及歷史新息采取漸消處理，在故障時刻降低歷史信息的影響，提高統(tǒng)計量對故障的敏感度。

首先，為增強均值在故障發(fā)生時刻的變化率，減少故障發(fā)生時刻檢測延遲，可在均值計算中引人漸消技術(shù)，降低歷史時刻新息在均值計算中的權(quán)重，從而增強當(dāng)前時刻新息樣本的影響。改進后公式如下：

式中，α為漸消因子，文中選取0.85。

同時，為及時檢測故障結(jié)束，可改進統(tǒng)計量累計方式為：

由式(27)可看出，采用漸消因子后，隨著時間的推移，時間越久的歷史時刻的Δλ對統(tǒng)計量λ(k)的影響會越來越小。因此在故障結(jié)束后，隨著時間推移，即使新時刻的 Δλ(j) → 0，受漸消因子影響故障時刻的歷史統(tǒng)計量變化率對故障結(jié)束后統(tǒng)計量的影響也會逐漸消失，使得統(tǒng)計量快速下降為零，從而可避免統(tǒng)計量持續(xù)大于閾值導(dǎo)致故障結(jié)束無法被檢測的情況出現(xiàn)，進一步也消除了此情況所帶來的持續(xù)誤警。

3 SINS/CNS/SRS 組合導(dǎo)航系統(tǒng)

3.1 光譜紅移導(dǎo)航原理

根據(jù)光譜紅移原理與多普勒公式可知以下關(guān)系

式中，z表示飛行器上實拍光譜中計算出的紅移值，表示慣性系中飛行器與光源之間相對速度矢量，c表示真空中的光速，θ表示慣性坐標(biāo)系中光源和飛行器之間連線與視向速度矢量vr的絕對夾角。

假設(shè)飛行器在同一時間可接收光源A，光源B 和光源C 的光譜信息，可計算出每時刻三條光譜相對于靜止光譜的紅移值z1,z2,z3。將紅移值帶入式(31)后，再結(jié)合以下運算關(guān)系

可得

式中，v1,v2,v3分別表示三個參考天體在慣性系中的速度矢量，可以通過查詢相關(guān)天體星歷獲取。u1,u2,u3分別表示為慣性系中各天體指向飛行器位置矢量的單位矢量，可由星敏感器測得。vr=vpcosθ為慣性飛行器沿著光源方向的徑向速率。

為簡便計算可將式(33)線性化。設(shè)

式中，ce表示不同的觀測天體。

再將式(34)在vp=0處一階泰勒展開后得

式中，ΔZ代表高階項。

最后，省略式(35)中高階項后，聯(lián)立方程組可得

最后通過求解式(36)即可獲取vp值。

3.2 慣性/天文/光譜紅移組合導(dǎo)航系統(tǒng)

考慮到光譜紅移導(dǎo)航優(yōu)點，本文提出了一種慣性/天文/光譜(SINS/CNS/SRS)紅移組合導(dǎo)航系統(tǒng)。在天文導(dǎo)航失效時，慣性/天文/光譜紅移組合導(dǎo)航系統(tǒng)可及時通過SRS求解飛行器速度信息，及時糾正SINS的誤差，保證組合導(dǎo)航系統(tǒng)的自主性與可靠性。SINS/CNS/SRS組合導(dǎo)航系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1 所示。

圖1 SINS/CNS/SRS 組合導(dǎo)航系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of SINS/CNS/SRS integrated navigation system

3.2.1 SINS/CNS/SRS 導(dǎo)航系統(tǒng)狀態(tài)方程

根據(jù)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)誤差模型，我們可給出組合導(dǎo)航系統(tǒng)狀態(tài)方程為[4]

式中，F(xiàn)為慣導(dǎo)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，X為慣導(dǎo)系統(tǒng)的狀態(tài)向量，具體為

式 中， (φE,φN,φH)表示導(dǎo)航系下平臺失準(zhǔn)角；(δ vE,δ vN,δvH)表示導(dǎo)航系下速度誤差；(δ L,δλ,δh)表示導(dǎo)航系下位置誤差；和 (?X, ?Y, ?Z)分別表示陀螺隨機游走以及加速度計常值誤差。

W為系統(tǒng)噪聲矩陣，具體為

3.2.2 SINS/CNS/SRS 組合導(dǎo)航系統(tǒng)量測方程

SINS/SRS導(dǎo)航子系統(tǒng)的量測值為捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)解算的速度信息與光譜紅移導(dǎo)航系統(tǒng)解算速度之間的差值。

由于紅移導(dǎo)航速度計算都是在慣性系下完成，因此建立量測方程前首先需要進行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換公式如下

SINS/SRS 導(dǎo)航子系統(tǒng)測量方程可表示為

SINS/CNS 導(dǎo)航子系統(tǒng)經(jīng)緯度量測方程為SINS 系統(tǒng)輸出的經(jīng)緯度位置信息與CNS 系統(tǒng)算出的經(jīng)緯度信息的差值，具體如下

式中，(λCNS,LCNS)為天文導(dǎo)航系統(tǒng)輸出的經(jīng)緯度信息；(λSINS,LSINS)為慣性導(dǎo)航系統(tǒng)輸出的經(jīng)緯度信息；VCNS為天文測距量測噪聲，Hp為量測矩陣。

天文導(dǎo)航系統(tǒng)無法獲取高度信息，為了防止SINS高度通道發(fā)散，引入氣壓高度表測量高度信息，由氣壓高度表和SINS 輸出的高度之差作為量測量，得高度差的量測方程為

式中，hSINS和hBA分別為慣導(dǎo)和氣壓高度表輸出的高度信息，Hh為高度量測陣，VBA為高度量測噪聲陣。

4 仿真驗證

基于SINS/CNS/SRS 組合導(dǎo)航系統(tǒng)對漸消SPRT方法進行軟故障診斷仿真驗證。導(dǎo)航系選取東北天坐標(biāo)系，飛行器飛行軌跡如圖2 所示。

圖2 飛行器軌跡圖Fig.2 Flight trajectory

設(shè)置飛行總時長為1200 s，飛行器初始位置為(108.909 °， 34 .246 °，10 000m)。常規(guī)情況下傳感器參數(shù)如表1 所示。

表1 傳感器仿真參數(shù)設(shè)置Tab.1 Parameter of sensors in simulation

同時設(shè)置緩變故障模型數(shù)學(xué)模型為

式(44)中，Init 為初始故障大小，In t_t 為故障發(fā)生時間，D為故障持續(xù)時間，Ratio表示故障變化率。

仿真中假設(shè)天文導(dǎo)航系統(tǒng)存在緩慢變化故障，具體故障狀況如表2 所示。進一步可得故障下的天文導(dǎo)航系統(tǒng)經(jīng)緯度量測值誤差曲線如圖3 所示。

表2 CNS 導(dǎo)航系統(tǒng)經(jīng)緯度量測故障參數(shù)Tab.2 Fault parameter of longitude and latitude in CNS

為驗證漸消SPRT 算法在緩變的軟故障診斷中的性能，在表2 所示的天文導(dǎo)航系統(tǒng)故障下，對比了卡方檢驗法，SPRT 算法以及本文提出的漸消SPRT 算法對SINS/CNS/SRS 組合導(dǎo)航系統(tǒng)進行CNS 故障診斷的結(jié)果。三種方法的診斷結(jié)果圖分別如圖4、圖5 和圖6所示。故障檢測延時如表3 所示。

圖4 和表3 可以看出，SPRT 方法能夠在39 s 延遲后檢測出Fs1 故障的發(fā)生。但是在故障結(jié)束后，SPRT故障檢測中的統(tǒng)計量無法及時減小，導(dǎo)致其無法檢測出Fs1 故障的結(jié)束，更無法分辨后續(xù)其他故障的發(fā)生與結(jié)束，造成系統(tǒng)長時間誤警。

圖3 CNS 經(jīng)緯度 測誤差曲線圖Fig.3 Error curves of longitude and latitude in CNS

圖4 SPRT 對緩變故障診斷效果圖Fig.4 Performance of SPRT in slow-growing fault detection

圖5 和表3 可以看出，在Fs1，F(xiàn)s2 和Fs3 故障期間，故障前期量測異常值較小，因此卡方檢驗的統(tǒng)計量一直保持較小從而無法檢測出故障；隨著時間推移量測異常值雖然增大，但由于故障前期狀態(tài)估計中使用了異常量測值，導(dǎo)致濾波器輸出會跟隨量測異常值，使得故障后期卡方檢驗的統(tǒng)計量仍較小。因此整個故障期間卡方檢驗法完全無法檢測到整個故障的出現(xiàn)，造成漏警。

圖5 卡方檢驗對緩變故障診斷效果圖Fig.5 Performance of Chi-square test in slow-growing fault detection

圖6 漸消SPRT 對緩變故障診斷效果圖Fig.6 Performance of fading SPRT in slow-growing fault detection

表3 CNS 緩變故障檢測延遲Tab.3 Delay of fault detection in CNS

圖6 和表3 可看出，相比于卡方檢驗法和傳統(tǒng)SPRT 方法，在引入漸消因子后，漸消SPRT 方法能夠檢測出所有緩慢故障的發(fā)生和結(jié)束，克服了傳統(tǒng)SPRT無法檢測故障結(jié)束的缺陷并避免了長時間誤警。同時，由表3 可看出，在檢測Fs1 故障發(fā)生時，只存在23 s的檢測延遲，相比于SPRT，對Fs1 故障開始的漏警時間縮短了約41%。

為進一步分析漸消SPRT 故障診斷方法性能，在CNS 存在故障時，本文繼續(xù)分析了不同故障診斷方法對組合導(dǎo)航系統(tǒng)估計結(jié)果精度的影響。圖7 和表4 分別給出了不同故障診斷方法下的經(jīng)緯度導(dǎo)航誤差曲線以及絕對誤差的平均絕對值(MAE)。

圖7 不同故障診斷方法下組合導(dǎo)航系統(tǒng)經(jīng)緯度誤差圖Fig.7 Error curves of longitude and latitude in integrated navigation system under different fault detection method

如圖7 和表4 所示，由于傳統(tǒng)SPRT 算法在檢測出第一次故障之后持續(xù)的誤警，從而錯誤舍棄后續(xù)所有時刻CNS 獲取的經(jīng)緯度量測信息，只通過SRS 糾正SINS速度誤差。因此隨著故障結(jié)束，誤警SPRT 故障檢測系統(tǒng)導(dǎo)致正常時刻放棄CNS 對SINS 的位置誤差糾正，使得組合導(dǎo)航系統(tǒng)位置信息發(fā)散，其正常時刻經(jīng)度和緯度的平均絕對誤差可達(dá)13.23 m 和8.8 m。而卡方檢驗法對緩變故障不敏感，在故障時刻完全失效，導(dǎo)致導(dǎo)航系統(tǒng)直接使用異常的天文量測信息，不僅不能糾正組合導(dǎo)航系統(tǒng)誤差，反而使得組合導(dǎo)航系統(tǒng)誤差增大，其故障時刻經(jīng)度和緯度的平均絕對誤差可達(dá)17.66 m 和16.29 m。而漸消SPRT 故障檢測方法則可以及時識別緩慢故障開始，同時也能夠檢測故障結(jié)束，使得經(jīng)度和緯度的平均絕對誤差遠(yuǎn)小于其他兩個方法，保證了組合導(dǎo)航系統(tǒng)的可靠性。

表4 不同診斷方法下經(jīng)緯度絕對誤差的平均值Tab.4 MAE of longitude and latitude under different fault detection method

5 結(jié) 論

論文主要圍繞實現(xiàn)一種有效軟故障診斷方法以及提高導(dǎo)航系統(tǒng)可靠性的內(nèi)容展開研究工作。

(1)首先介紹并分析了傳統(tǒng)序貫概率比方法缺陷。

(2)引入了漸消因子對傳統(tǒng)SPRT 進行改進，提出了一種漸消SPRT 方法，降低了歷史信息對SPRT 統(tǒng)計量的影響，提高了統(tǒng)計量對故障變化的敏感度，減少了SPRT 的檢測延遲并解決了SPRT 無法檢測故障結(jié)束的缺陷。

(3)最后基于SINS/CNS/SRS 組合導(dǎo)航系統(tǒng)，通過仿真，對漸消SPRT 的緩變軟故障檢測能力進行了評估。仿真結(jié)果表明在軟故障下，漸消SPRT 算法的檢測延遲較低，且采用了漸消SPRT 算法的SINS/CNS/SRS的組合導(dǎo)航系統(tǒng)也顯示出了更好的可靠性，證明了漸消SPRT 算法對緩慢增長的軟故障具有較好的診斷能力。